全国各地2008年数学高考真题及答案-(山东.理)含详解.pdf

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1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 第卷（共 60 分） 参考公式： 球的表面积公式： 2 4SR，其中R是球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生 k次的概率：( )(1)(01 2) kkn k nn P kC ppkn， ， ， ， 如果事件AB，互斥，那么()()()P ABP AP B 如果事件AB，相互独立，那么()()()P ABP AP B 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1满足 1234 Maaaa，且 12312 Maaaaa，

2、的集合M的个数是 （） A1 B2 C3 D4 解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合M中必含有 12 ,a a, 则 12 ,Ma a或 124 ,Ma a a.选 B. 2设z的共轭复数是z，若4zz，8z z，则 z z 等于（） AiBiC1Di 解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设2zbi，由8z z 得 2 48,2.bb 2 2 22 . 88 i zz i z 选 D. 3函数 ln cos 22 yxx 的图象是（） y x 2 2 O y x 2 2 O y x 2 2 O y x 2 2 O ABCD 解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。l

3、n cos () 22 yxx是偶函数， 可排除 B、D，由cos1ln cos0xx排除 C,选 A. 4设函数( )1f xxxa的图象关于直线1x对称，则a的值为（） A3B2 C1 D1 解：1x、xa在数轴上表示点x到点1、a的距离，他们的和( )1f xxxa 关于1x对称，因此点1、a关于1x对称，所以3a （直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） 5已知 4 cossin3 65 ，则 7 sin 6 的值是（） A 2 3 5 B 2 3 5 C 4 5 D 4 5 解： ： 334 cos()sincossin3 6225 ， 134 cossin 22

4、5 ， 7314 sin()sin()sincos. 66225 6右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何 体的表面积是（） A9B10 C11D12 解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合 而成的，其表面及为 22 411221 312 .S 7在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1 2 318， ，的 18 名火炬手若从中任选3 人， 则选出的火炬手的编号能组成以3 为公差的等差数列的概率为（） A 1 51 B 1 68 C 1 306 D 1 408 解：古典概型问题，基本事件总数为 3 18 17 16 3C。 选出火炬手编号为 1 3(1) n aan，

5、1 1a时，由1,4,7,10,13,16可得 4 种选法； 1 2a时，由2,5,8,11,14,17可得 4 种选法； 1 3a时，由3,6,9,12,15,18可得 4 种选法。 4441 . 17 16368 P 8右图是根据山东统计年鉴2007中的资料作成的1997 年至 2006 年 俯视图正 (主)视图侧(左)视图 2 3 2 2 29 1 1 5 8 3 0 2 6 3 1 0 2 4 7 我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家 庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字从 图中可以得到1997 年至 2

6、006 年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（） A304.6 B303.6 C302.6 D301.6 解： 99522610121417 3.6 10 9 12 3 1 x x 展开式中的常数项为（） A1320B1320 C220D220 解： 4 12 1212 33 1121212 3 1 ()( 1)( 1), rr rrrrrrrr r TC xC xxC x x 令 4 120 3 r 得9r 993 101212 12 11 10 ( 1)220. 32 1 TCC 常数项 10设椭圆 1 C的离心率为 5 13 ，焦点在x轴上且长轴长为26若曲线 2 C上的点到椭圆 1

7、C的 两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 2 C的标准方程为（） A 22 22 1 43 xy B 22 22 1 135 xy C 22 22 1 34 xy D 22 22 1 1312 xy 解：对于椭圆 1 C，13,5,ac曲线 2 C为双曲线，5,c4a，3,b标准方程为： 22 22 1. 43 xy 11已知圆的方程为 22 680xyxy设该圆过点(3 5)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为（） A10 6B20 6C30 6D40 6 解：化成标准方程 22 (3)(4)25xy，过点(3,5)的最长弦为10,AC 最短弦为 22 2 5

8、14 6,BD 1 2 06 . 2 SA CB D 12设二元一次不等式组 2190 80 2140 xy xy xy ， ， 所表示的平面区域为M，使函数 (01) x yaaa，的图象过区域M的a的取值范围是（） A1 3，B210，C2 9，D 10 9， 解：区域M是三条直线相交构成的三角形（如图） 显 然1a， 只 需 研 究 过(1,9)、(3,8)两 种 情 形 ， 1 9a且 3 8a即29.a 第卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分 13执行右边的程序框图，若0.8p，则输出的n 解： 111 0.8 248 ，因此输出4.n 14设

9、函数 2 ( )(0)f xaxc a，若 1 0 0 ( )()f x dxf x ， 0 01x，则 0 x的值为 解： 11 231 0 00 1 ( )() 3 f x dxaxc dxaxcx 2 0 3 a caxc 0 3 3 x 15已知abc， ，为ABC的三个内角ABC， ，的对边， 向量( 31)，m，(cossin)AA，n若mn， 且coscossinaBbAcC，则角B 解：mn3cossin0AA, 3 AsincossincossinsinABBACC 2 sincossincossin()sinsinABBAABCC. 2 C 6 B 16若不等式34xb的解

10、集中的整数有且仅有1 2 3，则b的取值范围为 解：34xb 44 33 bb x， 4 01 3 57 4 34 3 b b b 即范围为(5,7) 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分 开始 10nS， Sp? 是 输入 p 结束 输出n 1 2 n SS 否 1nn 17 （本小题满分12 分） 已知函数 ( )3sin()cos()f xxx （0，0）为偶函数，且函数 ( )yf x图象的两相邻对称轴间的距离为 2 （）求 8 f 的值； （）将函数( )yf x的图象向右平移 6 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长 到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数( )yg x的图

11、象，求( )g x的单调递减区间 解： （）( )3sin()cos()f xxx 31 2sin()cos() 22 xx 2sin 6 x 因为( )f x为偶函数，所以对xR，()( )fxf x恒成立， 因此 sin()sin 66 xx 即 sincoscossinsincoscossin 6666 xxxx ， 整理得 sincos0 6 x 因为0，且xR，所以 cos0 6 又因为0，故 62 所以 ( )2sin2cos 2 f xxx 由题意得 2 2 2 ，所以2故( )2cos 2f xx 因此 2cos2 84 f （）将( )f x的图象向右平移 6 个单位后，得到

12、 6 fx 的图象，再将所得图象横坐标 伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到 46 x f 的图象 所以 ( )2cos 22cos 464623 xxx g xf 当 2 2 23 x kk（kZ） ， 即 28 4 4 33 kxk（kZ）时，( )g x单调递减， 因此( )g x的单调递减区间为 28 4 4 33 kk ，（kZ） 18 （本小题满分12 分） 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3 人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答 错得零分假设甲队中每人答对的概率均为 2 3 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 2 2 1 3 3 2 ，且 各人回答正确与否相互之间没有影响

13、用表示甲队的总得分 （）求随机变量的分布列和数学期望； （）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于 乙队总得分”这一事件，求()P AB 解： （）解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且 3 0 3 21 (0)1 327 PC ， 2 1 3 222 (1)1 339 PC ， 2 2 3 224 (2)1 339 PC， 3 3 3 28 (3) 327 PC 所以的分布列为 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 的数学期望为 1248 01232 279927 E 解法二：根据题设可知， 2 3 3 B ， 因此的分布列为

14、3 333 222 ()1 333 kk k kk PkCC ，012 3k， ， 因为 2 3 3 B ，所以 2 32 3 E （）解法一：用C表示“甲得2 分乙得 1 分”这一事件，用D表示“甲得3 分乙得 0 分” 这一事件，所以ABCD，且CD，互斥，又 2 2 3 22211121111 ()1 33332332332 P CC 4 10 3 ， 3 3 35 21114 () 33323 P DC ， 由互斥事件的概率公式得 455 1043434 ()()() 333243 P ABP CP D 解法二：用 k A表示 “甲队得k分”这一事件， 用 k B表示 “乙队得k分”这

15、一事件，01 2 3k， ， 由于事件 30 A B， 21 A B为互斥事件，故有 30213021 ()()()()P ABP A BA BP A BP A B 由题设可知，事件 3 A与 0 B独立，事件 2 A与 1 B独立，因此 30213021 ()()()() ()() ()P ABP A BP A BP A P BP A P B 3 2 21 32 2222 2112111234 33232323243 CC 19 （本小题满分12 分） 将数列 n a中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a

16、10 a , 记表中的第一列数 1247 aaaa，构成的数列为 n b， 11 1ba n S为数列 n b的前 n项和，且满足 2 2 1(2) n nnn b n b SS （）证明数列 1 n S 成等差数列，并求数列 n b的通项公式； （） 上表中， 若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为 同一个正数当 81 4 91 a时，求上表中第(3)k k行所有项的和 解： （）证明：由已知，当2n时， 2 2 1 n nnn b b SS ，又 12nn Sbbb， 所以 1 2 1 2() 1 () nn nnnn SS SSSS 1 1 2() 1 nn

17、nn SS SS 1 111 2 nn SS ， 又 111 1Sba所以数列 1 n S 是首项为1，公差为 1 2 的等差数列 由上可知 111 1(1) 22 n n n S ， 2 1 n S n 所以当2n时， 1 222 1(1) nnn bSS nnn n 因此 11 2 2 (1) n n b n n n ， ， ， （）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且0q 因为 12 13 121278 2 ， 所以表中第1 行至第 12 行共含有数列 n a的前 78 项，故 81 a在表中第31 行第三列， 因此 2 8113 4 91 abq又 13 2 13 14 b ，

18、所以2q 记表中第(3)k k行所有项的和为S， 则 (1)2(1 2 )2 (1 2 )(3) 1(1)1 2(1) kk kk bq Sk qk kk k 20 （本小题满分12 分） 如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD， P B E C D F A 60ABC，E F，分别是BCPC，的中点 （）证明：AEPD； （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角 EAFC的余弦值 解： （）证明：由四边形ABCD为菱形，60ABC，可得ABC为正三角形 因为E为BC的中点，所以AEBC 又BCAD，因此AEAD 因为PA平面A

19、BCD，AE平面ABCD，所以PAAE 而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA， 所以AE平面PAD又PD平面PAD， 所以AEPD （）解：设2AB，H为PD上任意一点，连接AHEH， 由（）知AE平面PAD， 则EHA为EH与平面PAD所成的角 在RtEAH中，3AE， 所以当AH最短时，EHA最大， 即当AHPD时，EHA最大 此时 36 tan 2 AE EHA AHAH ， 因此2AH又2AD，所以45ADH， 所以2PA 解法一：因为PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以平面PAC平面ABCD 过E作EOAC于O，则EO平面PAC， 过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为

20、二面角EAFC的平面角， 在RtAOE中， 3 sin30 2 EOAE， 3 cos30 2 AOAE， 又F是PC的中点，在RtASO中， 3 2 sin 45 4 SOAO， 又 22 3930 484 SEEOSO， P B E C D F A H O S 在RtESO中， 3 2 15 4 cos 530 4 SO ESO SE ， 即所求二面角的余弦值为 15 5 解法二：由（）知AEADAP，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系，又EF，分别为BCPC，的中点，所以 (0 0 0)( 310)( 310)(0 2 0)ABCD， ， ， ， 3 1 (0 0

21、2)( 3 0 0)1 22 PEF ， ， 所以 3 1 ( 3 0 0)1 22 AEAF ， ， 设平面AEF的一法向量为 111 ()xyz， ，m， 则 0 0 AE AF ， ， m m 因此 1 111 30 31 0 22 x xyz ， 取 1 1z，则(0 21)，m， 因为BDAC，BDPA，PAACA， 所以BD平面AFC， 故BD为平面AFC的一法向量 又(33 0)BD， ， 所以 2315 cos 5 512 BD BD BD ， m m m 因为二面角EAFC为锐角， 所以所求二面角的余弦值为 15 5 21 （本小题满分12 分） P B E C D F A

22、y z x 已知函数 1 ( )ln(1) (1) n f xax x ，其中 * xN，a为常数 （）当2n时，求函数( )f x的极值； （）当1a时，证明：对任意的正整数n，当2n时，有 ( )1f xx 解： 21 （）解：由已知得函数( )fx的定义域为|1x x， 当2n时， 2 1 ( )ln(1) (1) f xax x ，所以 2 3 2(1) ( ) (1) ax fx x （ 1）当0a时，由( )0fx得 1 2 11x a ， 2 2 11x a ， 此时 12 3 ()() ( ) (1) a xxxx fx x 当 1 (1)xx，时，( )0fx，( )f x单

23、调递减； 当 1 ()xx，时，( )0fx，( )f x单调递增 （2）当0a时，( )0fx恒成立，所以( )f x无极值 综上所述，2n时， 当0a时，( )f x在 2 1x a 处取得极小值，极小值为 22 11ln 2 a f aa 当0a时，( )f x无极值 （）证法一：因为1a，所以 1 ( )ln(1) (1) n f xx x 当n为偶数时， 令 1 ( )1ln(1) (1) n g xxx x ， 则 11 12 ( )10 (1)11(1) nn nxn g x xxxx （2x） 所以当2x，时，( )g x单调递增， 又(2)0g， 因此 1 ( )1ln(1)

24、(2)0 (1) n g xxxg x 恒成立， 所以( )1f xx成立 当n为奇数时， 要证( )1f xx，由于 1 0 (1) n x ，所以只需证ln(1)1xx， 令( )1ln(1)h xxx， 则 12 ( )10 11 x h x xx （2x） ， 所以当2x，时，( )1ln(1)h xxx单调递增，又(2)10h， 所以当2x时，恒有( )0h x，即ln(1)1xx命题成立 综上所述，结论成立 证法二：当1a时， 1 ( )ln(1) (1) n f xx x 当2x时，对任意的正整数n，恒有 1 1 (1) n x ， 故只需证明1ln(1)1xx 令( )1(1l

25、n(1)2ln(1)h xxxxx，2x， 则 12 ( )1 11 x h x xx ， 当2x时，( )0h x，故( )h x在2，上单调递增， 因此当2x时，( )(2)0h xh，即1ln(1)1xx成立 故当2x时，有 1 ln(1)1 (1) n xx x 即( )1f xx 22 （本小题满分14 分） 如图，设抛物线方程为 2 2(0)xpy p，M为直线2yp上任意一点，过M引抛物线 的切线，切点分别为AB， （）求证：AMB，三点的横坐标成等差数列； （）已知当M点的坐标为(22 )p，时， 4 10AB 求此时抛物线的方程； （）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称

26、点D在抛物线 2 2(0)xpy p上， 其中，点C满足OCOAOB（O为坐标原点） 若存在，求出所有适合题意的点M的 坐标；若不存在，请说明理由 解： （）证明：由题意设 22 12 12120 (2 ) 22 xx A xB xxxM xp pp ， 由 2 2xpy得 2 2 x y p ，得 x y p ， 所以 1 MA x k p ， 2 MB x k p 因此直线MA的方程为 1 0 2() x ypxx p ， 直线MB的方程为 2 0 2() x ypxx p 所以 2 11 10 2() 2 xx pxx pp ， 2 22 20 2() 2 xx pxx pp 由、得 1

27、2 120 2 xx xxx， 因此 12 0 2 xx x，即 012 2xxx 所以AMB，三点的横坐标成等差数列 （）解：由（）知，当 0 2x时， 将其代入、并整理得： 22 11 440xxp， 22 22 440xxp， 所以 12 xx，是方程 22 440xxp的两根， y x B A O M 2p 因此 12 4xx， 2 12 4x xp， 又 22 21 012 21 22 2 AB xx xxxpp k xxpp ， 所以 2 AB k p 由弦长公式得 222 12122 4 1()4116 16ABkxxx xp p 又 4 10AB ， 所以1p或2p， 因此所求

28、抛物线方程为 2 2xy或 2 4xy （）解：设 33 ()D xy，由题意得 1212 ()C xxyy， 则CD的中点坐标为 123123 22 xxxyyy Q ， 设直线AB的方程为 0 11 () x yyxx p ， 由点Q在直线AB上，并注意到点 1212 22 xxyy ，也在直线AB上， 代入得 0 33 x yx p 若 33 ()D xy，在抛物线上，则 2 3303 22xpyx x， 因此 3 0x或 30 2xx 即(0 0)D，或 2 0 0 2 2 x Dx p ， （1）当 0 0x时，则 120 20xxx，此时，点(02 )Mp，适合题意 （2）当 0

29、0x，对于(0 0)D，此时 22 12 0 2 2 xx Cx p ， 22 12 0 2 2 CD xx p k x 22 12 0 4 xx px ， 又 0 AB x k p ，ABCD， 所以 2222 01212 2 0 1 44 ABCD xxxxx kk ppxp ， 即 222 12 4xxp，矛盾 对于 2 0 0 2 2 x Dx p ，因为 22 12 0 2 2 xx Cx p ，此时直线 CD平行于y轴， 又 0 0 AB x k p ， 所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以 0 0x时，不存在符合题意的M点 综上所述，仅存在一点(02 )Mp，适合题意