全国各地2008年数学高考真题及答案-(湖北.理)含详解.pdf

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1、绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工农医类） 本试卷共 4 面，满分 150 分，考试时间 120分钟 祝考试顺利 注意事项 ： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 巾在答题卡上指定位置。 2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。 3.非选择题用0.5 毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无 效。 4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本次题共10 小题，

2、每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.设 a=(1,-2), b=(-3,4), c=(3,2),则 (a+2b)c= A.(-15,12)B.0 C.-3 D.-11 2.若非空集合A,B,C 满足 A B=C ，且 B 不是 A 的子集，则 A.“xC”是“ xA”的充分条件但不是必要条件 B. “x C”是“ xA”的必要条件但不是充分条件 C. “x C”是“ xA”的充分条件 D. “xC”是“ x A”的充分条件也不是“xA”必要条件 3.用与球心距离为1 的平面去截球，所得的截面面积为，则球的休积为 A. 3 8 B. 3 28

3、C.28D. 3 32 4.函数 f(x)=)4323(1 122 xxxxn x 的定义域为 A.(- ,-4) 2,+ B.(-4,0) (0,1) C. -4,0（ 0，1）D. 4，0（ 0，1） 5.将函数 y=3sin （ x-） 的图象 F 按向量（ 3 ， 3） 平移得到图象F ,若 F的一条对称轴是直线x= 4 , 则 的一个可能取值是 A. 12 5 B. 12 5 C. 12 11 D. 12 11 6.将 5 名志愿者分配到3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种 数为 A.540 B.300 C.180 D.150 7.若 f(x)= 2

4、1 ln(2) 2 xbx在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 A.-1 ，+ B.（-1，+）C.（-， -1）D. （-， -1） 8.已知 mN*,a,b R，若 0 (1) lim m x xa b x ,则 ab= A-m Bm C -1 D1 9.过点 A（11，2）作圆 22 241640xyxy的弦，其中弦长 为整数的共有 A.16 条B.17 条C.32 条D.34 条 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在 月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞 行， 之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行

5、，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道 绕月飞行，若用2c1和 2c2分别表示椭轨道和的焦距，用2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子： a1+c1=a2+c2;a1-c1=a2-c2; c1a2a1c1; 3 1 c c 2 2 c a . 其中正确式子的序号是 A.B.C.D. 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设 z1=z1-z1(其中 z1表示 z1的共轭复数 )，已知 z2的实部是 -1，则 z2的虚部为 . 12在 ABC 中，三个角 A，B，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,

6、则 bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值 为. 13.已知函数f(x)=x 2+2x+a,f(bx)=9x-6x +2,其中 xR，a,b 为常数，则方程 f(ax+b )=0 的解集为 . 14.已知函数f(x)=2 x,等差数列 a x的公差为2.若 f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,则 Log2f(a1)f(a2)f(a) , f(a10)= . 15.观察下列等式： 2 1 222 1 3222 1 11 , 22 111 , 326 111 , 424 n i n i n i inn innn innn 4443 1 1111 , 52330 n i innnn

7、 2 4,( 1) (321), 3 n nnn anban , 212 11210 1 , n kkkkk kkkk i iana nanana na 可以推测，当x2（kN* ）时， 11 11 , 12 kkk aaa k ak-2= . 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12 分） 已知函数f(t)= 117 ,( )cos(sin )sin(cos ),( ,). 112 t g xx fxx fxx t （）将函数g(x)化简成 Asin( x+)+B（A 0， 0， 0，2 ）的形式； （）求函数g(x)的值域

8、. 17.（本小题满分12 分） 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个（ n=1,2,3,4）.现从袋中任 取一球 .表示所取球的标号. （）求 的分布列，期望和方差； （）若 =a-b,E=1,D=11,试求 a,b的值 . 18.（本小题满分12 分） 如图，在直三棱柱ABC-A 1B1C1中，平面 ABC 侧面 A1ABB 1. （）求证： AB BC； （） 若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ,二面角 A1-BC-A 的 大小为 的大小关系，并予以证明. 19.（本小题满分13 分） 如图，在以点O 为圆心， |AB|=4 为直

9、径的半圆ADB 中， ODAB，P 是半圆弧上一点， POB=30，曲线C 是满足 |MA|-|MB| 为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点 P. （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （）设过点D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点E、F. 若 OEF 的面积不小于 2 2，求直线l 斜率的取值范围. 20.(本小题满分12 分 ) 水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位， 年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为 V（t）= 1 2 (1440)50,010, 4(10)(341)50,1012. x ttet

10、 ttt （）该水库的蓄求量小于50 的时期称为枯水期.以 i-1tt 表示第1 月份（ i=1,2,12）,同一年 内哪几个月份是枯水期？ （）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7 计算） . 21.(本小题满分14 分 ) 已知数列 an 和bn满足： a1=,an+1= 2 4,( 1) (321), 3 n nnn anban其中 为实数， n 为正 整数 . （）对任意实数 ，证明数列 an不是等比数列； （）试判断数列 bn是否为等比数列，并证明你的结论； （）设0a b,Sn为数列 bn的前 n 项和 .是否存在实数 ，使得对任意正整数n，都有 aSnb?若存在，求 的取值范

11、围；若不存在，说明理由 . 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本次题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 5.设(1, 2)a,( 3,4)b,(3,2)c则(2 )ab c A.( 15,12)B.0C. 3 D. 11 解：2(1, 2)2( 3,4)( 5,6)ab，(2 )( 5,6) (3,2)3ab c，选 C 6.若非空集合,A B C满足ABC，且B不是A的子集，则 A. “xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 B. “xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 C.

12、 “x C”是“xA”的充要条件 D. “xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件 解：xAxC,但是xCxA不能, 所以 B 正确。 另外画出韦恩图，也能判断B 选项正确 7.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 A. 3 8 B. 3 28 C. 28D. 3 32 解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为1球的半径是2， 所以根据球的体积公式知 3 48 2 33 R V球 ，故 B为正确答案 8.函数 221 ( )ln(3234)f xxxxx x 的定义域为 A. (, 42,)B. ( 4,0)(0.1) C. -4,0)(0,1D. 4,

13、0)(0,1) 解：函数的定义域必须满足条件： C AB 2 2 22 0 320 4,0)(0,1) 34 4 0 3230xxx x xx x xx x 5.将函数3sin()yx的图象 F 按向量(,3) 3 平移得到图象F,若F的一条对称轴是直线 4 x, 则的一个可能取值是 A. 12 5 B. 12 5 C. 12 11 D. 11 12 解：平移得到图象F ， 的解析式为3sin()3 3 yx, 对称轴方程() 32 xkkZ， 把 4 x带入得 75 (1)() 1212 kkkZ，令1k， 5 12 6.将 5 名志愿者分配到3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分

14、配一名志愿者的方案种 数为A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 解：将分成满足题意的份有，与，两种， 所以共有 22 33353 533 2 2 150 C C C AA A 种方案，故正确 7.若 2 1 ( )ln(2) 2 f xxbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是 A. 1,)B. ( 1,)C. (, 1D. (,1) 解：由题意可知 ( )0 2 b fxx x ，在( 1,)x上恒成立， 即(2)bx x在( 1,)x上恒成立，由于1x，所以1b，故为正确答案 8.已知 * mN,a bR，若 0 (1) lim m x xa b x ,则a b A

15、mBmC1D1 解： 122 00 (1)(1) limlim mmm mmm xx aC xC xC xxa xx 211 0 1 lim() mm mm x a mC xC xb x 1,abma bm 另外易知1,a由洛必达法则 1 00 (1)(1) limlim 1 mm xx xamx mb x ，所以a bm 9.过点(11,2)A作圆 22 241640xyxy的弦，其中弦长为整数的共有 A. 16 条B. 17 条C. 32 条D. 34 条 解：圆的标准方程是： 222 (1)(2)13xy，圆心( 1,2)，半径13r 过点(11,2)A的最短的弦长为10，最长的弦长为2

16、6, （分别只有一条） 还有长度为11,12,25的各 2 条，所以共有弦长为整数的22 1532条。 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在 月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕 月飞行， 之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆 轨道绕月飞行， 最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆 形轨道绕月飞行，若用 1 2c和 2 2c分别表示椭轨道和的焦距， 用 1 2a和 2 2a分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子： 1122 acac; 1122 acac; 1212 c aa c; 1 1 c a 2 2 c a . 其中正确式

17、子的序号是 A. B. C. D. 解：由焦点到顶点的距离可知正确，由椭圆的离心率知正确，故应选 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分. 把答案填在答题卡相应位置上. 11.设 211 zziz(其中 1 z表示 z1的共轭复数 )，已知 z2的实部是 1，则 z2的虚部为. 解：设 1 ,zxyi 2 1zbi，由复数相等 1()()()bixyii xyixyyx i()1byxxy 12在ABC中，三个角,A B C的对边边长分别为3,4,6abc,则 coscoscosbcAcaBabC的值为. 解：由余弦定理，原式 16369936161693661 2222 1

18、3.已知函数 2 ( )2f xxxa, 2 ()962f bxxx,其中xR,a b为常数，则方程 ()0f axb的解集为. 解：由题意知 22 ()29622,3.f bxb xbxaxxab所以 2 (23)4850,0fxxx，所以解集为。 14.已知函数( )2 x f x,等差数列 x a的公差为2.若 246810 ()4f aaaaa,则 212310 log ()()()()f af af af a. 解：依题意 246810 2aaaaa，所以 13579 2528aaaaa 1210 6 12310 ()()()()22 aaa f af af af a 212310

19、log ()()()()6f af af af a 15.观察下列等式： 2 1 11 , 22 n i inn 232 1 111 , 326 n i innn 3432 1 111 , 424 n i innn 4543 1 1111 , 52330 n i innnn 56542 1 1151 , 621212 n i innnn 67653 1 11111 , 722642 n i innnnn , 212 11210 1 , n kkkkk kkkk i iana nanana na 可以推测，当x2（ * kN）时， 11 11 , 12 kkk aaa k 2k a. 解：由观察

20、可知当2k时，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以 1 12 k k a， 第四项均为零，所以 2 0 k a。 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12 分） 已知函数 117 ( ), ( )cos(sin )sin(cos ),( ,). 112 t f tg xx fxx fxx t （）将函数( )g x化简成sin()AxB（0A，0，0, 2 )）的形式； （）求函数( )g x的值域 . 解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式 的化简变形和运算能力.（满分

21、 12 分） 解：（） 1 sin1cos ( )cossin 1 sin1cos xx g xxx xx 22 22 (1 sin )(1 cos ) cossin cossin xx xx xx 1sin1 cos cossin. cossin xx xx xx 17 ,coscos , sinsin , 12 xxxxx 1sin1cos ( )cossin cossin xx g xxx xx sincos2xx 2 sin2. 4 x （）由 17 12 x，得 55 . 443 x sin t在 53 , 42 上为减函数，在 35 , 23 上为增函数， 又 5535 sinsi

22、n,sinsin()sin 34244 x（当 17 , 2 x ）， 即 2 1sin()222sin()23 424 xx， 故 g(x)的值域为 22, 3 . 17.（本小题满分12 分） 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上0 号的有 10 个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任 取一球 .表示所取球的标号. （）求的分布列，期望和方差； （）若ab, 1E,11D,试求 a,b的值 . 解：本题考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分 12 分） 解：（）的分布列为： 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1

23、 5 11131 012341.5. 22010205 E 22222 11131 (01.5)(1 1.5)(21.5)(31.5)(41.5)2.75. 22010205 （） 由 Da D 2 ，得 a22.7511，即 2.a 又,EaEb所以 当 a=2 时，由 121.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时，由 1-2 1.5+b，得 b=4. 2, 2 a b 或 2, 4 a b 即为所求 . 18.（本小题满分12 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCA BC中，平面ABC侧面 11 A ABB. （）求证：ABBC； （）若直线AC与平面 1 ABC所成的角为,二面角

24、1 ABCA 的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明. 解：本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想 象能力和推理能力.（满分 12 分） （）证明：如右图，过点A 在平面 A1ABB1内作 ADA1B于D，则 由平面A1BC侧面A1ABB1, 且平面A1BC侧面 A1ABB1=A1B,得 AD 平面A1BC, 又 BC平面 A1BC， 所以ADBC. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱， 则AA1底面ABC， 所以AA1BC. 又AA1AD=A,从而 BC侧面A1ABB1， 又AB侧面 A1ABB1，故 ABBC. （）解法1：连接 CD，则由

25、（）知ACD是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角， 1 ABA是二面角A1BCA 的平面角，即 1 ,ACDABA 于是在 RtADC 中，sin, AD AC 在 RtADB 中，sin, AD AB 由 ABAC，得sinsin，又0 2 ，所以， 解法 2：由（）知，以点B 为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分 别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b, AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 22 1 (,0,0),(0, , ),CbcAc a于是 22 1 (,0,0),(0, , ),BCbcBAc a 22

26、 1 (,0),(0,0,).ACbccAAa 设平面 A1BC 的一个法向量为 n=(x,y,z)，则 由 1 0, 0, n BA n BC 得 22 0, 0, cyaz bc x 可取 n=(0,-a,c)，于是0n ACacAC ，与 n 的夹角为锐角，则与互为余角 . 22 sincos, n ACac nACb ac 1 22 1 cos, BA BAc BABAac 所以 22 sin, a ac 于是由 cb，得 2222 , aca b acac 即sinsin,又0, 2 ，所以, 19.（本小题满分13 分） 如图，在以点O为圆心，| 4AB为直径的半圆ADB中，ODA

27、B，P是半圆弧上一点， 30POB ，曲线 C是满足|MAMB 为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C过点P. （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （）设过点D的直线 l 与曲线C相交于不同的两点E、F. 若OEF的面积不小于 2 2，求直线l斜率的取值范围. 解：本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识， 考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分 13 分） （）解法1：以 O 为原点， AB、OD 所在直线分别为x 轴、 y 轴，建立平面直角坐标系，则A（-2， 0）， B（2，0）， D(0,2),P（1 ,3），依题意得 MA-MB =PA-PB

28、221321)32( 2222 ）（ AB 4. 曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则 c2，2a22， a2=2,b2=c2-a2=2. 曲线 C 的方程为1 22 22 yx . 解法 2：同解法1 建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB= PA- PB AB 4. 曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为a b y a x (1 2 2 2 2 0，b0） . 则由 .4 , 1 1)3( 22 2 2 2 2 ba ba 解得 a2=b2=2, 曲线 C 的方程为.1 22 22 yx ()解

29、法 1：依题意， 可设直线l 的方程为ykx+2，代入双曲线C 的方程并整理得 （ 1-K 2） x2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点E、F， 2 22 10 ( 4 )46(1)0 k kk 1 , 33 k k (3,3)1kk且 设 E（x，y）， F(x2,y2)，则由式得 x1+x2= k xx k k 1 6 , 1 4 21 2 ,于是 EF 2 21 22 21 2 21 )(1()()(xxkxyxx . 1 322 14)(1 2 2 2 21 2 21 2 k k kxxxxk 而原点 O 到直线 l 的距离 d 2 1 2 k ， SDEF=

30、 . 1 322 1 322 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 k k k k k k EFd 若 OEF 面积不小于22,即 SOEF 22 ，则有 解得.22,0222 1 322 24 2 2 kkk k k 综合、知，直线l 的斜率的取值范围为 2 ,2 1kk且 解法 2：依题意，可设直线l 的方程为 ykx+2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（ 1-K2） x2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点E、F， 2 22 10 ( 4 )46(1)0 k kk 1 33 k k . (3,3)1kk且. 设 E(x1,y1),F(x2,y2),

31、则由式得 x1-x2 =. 1 322 1 4)( 2 2 2 21 2 21 k k k xxxx 当 E、F 在同一去上时（如图1 所示）， SOEF ; 2 1 2 1 2121 xxODxxODSS ODEODF 当 E、F 在不同支上时（如图2 所示） . ODFOEF SSSODE=. 2 1 )( 2 1 2121 xxODxxOD 综上得SOEF, 2 1 21 xxOD于是 由OD2 及式，得SOEF=. 1 322 2 2 k k 若OEF 面积不小于 2则有即,22,2 OEF S .22,022 1 322 24 2 2 kkk k k 解得 综合、知，直线 l 的斜率

32、的取值范围为2,21kk且 20.(本小题满分12 分) 水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的 蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为 1 2 4 (1440)50,010, ( ) 4(10)(341) 50,1012. x ttet V t ttt （）该水库的蓄求量小于50 的时期称为枯水期.以1iti表示第 1 月份（1,2,12i）,同 一年内哪几个月份是枯水期？ （）求一年内该水库的最大蓄水量（取2.7e计算） . 解：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决 实际问题能力.（满

33、分 12 分） （）当010t时， 1 2 4 ( )(1440)5050 x V ttte，化简得 2 14400tt, 解得4t，或10t，又010t，故04t. 当1012t时，( )4(10)(341)5050V ttt，化简得(10)(341)0tt, 解得 41 10 3 t，又1012t,故1012t. 综合得04t,或1012t； 故知枯水期为1 月， 2 月， 3 月， 11 月， 12 月共 5 个月 . ()( )知： V(t)的最大值只能在（4，10）内达到 . 由 V（ t）=),8)(2( 4 1 )4 2 3 4 1 ( 4 1 2 4 1 ttcttc tt 令

34、 V(t)=0,解得 t= 8(t=-2 舍去 ). 当 t 变化时， V(t) 与 V (t)的变化情况如下表： t (4,8) 8 (8,10) V(t) + 0 - V(t) 极大值 由上表， V(t)在 t8 时取得最大值V(8)8e2+50-108.52(亿立方米 ). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32 亿立方米 21.(本小题满分14 分) 已知数列 n a和 n b满足： 1 a, 1 2 4,( 1) (321), 3 n nnnn aanban其中为实数， n为正整数 . （）对任意实数，证明数列 n a不是等比数列； （）试判断数列 n b是否为等比数列，并证明你

35、的结论； （）设0ab, n S为数列 n b的前n项和 .是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 n aSb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 解：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合 分析问题的能力和推理认证能力，（满分14 分） （）证明：假设存在一个实数，使 an是等比数列，则有a 2 2=a1a3,即 ,094 9 4 94 9 4 )4 9 4 ()3 3 2 ( 222 矛盾 . 所以 an不是等比数列. ()解：因为bn+1=(-1) n+1a n+1-3(n-1)+21=(-1) n+1( 3 2 an-2n+14) =

36、 3 2 (-1) n（ a n-3n+21）=- 3 2 bn 又 b1x-(+18),所以 当 18，bn=0(nN +),此时 b n不是等比数列： 当 18 时， b1=( +18) 0,由上可知 bn0， 3 2 1 n a b b (nN +). 故当 -18 时，数列 bn是以（ 18）为首项， 3 2 为公比的等比数列. ()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. -18，故知 bn= -（+18）（ 3 2 ） n-1，于是可得 Sn=-. 3 2 1)18( 5 3 n ）（ 要使 a3a 存在实数 ，使得对任意正整数n,都有 aSnb,且的取值范围是（ b-18,-3a-18）