全国各地2008年数学高考真题及答案-(陕西.理)含详解.pdf

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1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修 +选修） 一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12 小题， 每小题 5 分，共 60 分） 1复数 (2) 12 ii i 等于（） AiBiC1 D1 2已知全集1 2 3 4 5U，集合 2 |320Ax xx，|2Bx xaaA，则 集合() U ABe中元素的个数为（） A1 B2 C3 D4 3ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，若261 2 0cbB， ， 则a 等于（） A6B2 C3D2 4已知 n a是等差数列， 12 4aa， 78 28aa，则该数列前10

2、 项和 10 S等于（） A64 B100 C110 D120 5直线30xym与圆 22 220xyx相切，则实数m等于（） A3或3B3或3 3C3 3或3D3 3或3 3 6 “ 1 8 a”是“对任意的正数x，21 a x x ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 7已知函数 3 ( )2 x f x， 1( ) fx 是( )f x的反函数，若16mn（mn + R，） ，则 11 ()( )fmfn的值为（） A2B1 C4 D10 8双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）的左、 右焦点分别是 12 FF，过 1 F作倾斜角为30

3、 的直线交双曲线右支于M点，若 2 MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（） A6B3C2D 3 3 9 如图，lABAB， ，到l的距离分别是a和b，AB与， 所成的角分别是和，AB在，内的射影分别是m和n，若ab，则（） Amn，Bmn， Cmn，Dmn， 10已知实数xy，满足 1 21 y yx xym ， ， 如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等 于（） A7 B5 C4 D3 11定义在R上的函数( )fx满足()( )( )2f xyf xfyxy（xyR，） ，( 1 ) 2f， 则( 3)f等于（） A2 B3 C6 D9 12为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息

4、中按一定规则加入相关数据组成传输 信 息 设 定 原 信 息 为 012i a a a a，0 1 ，（01 2i， ，） ， 传 输 信 息 为 00121 h a a a h， 其 中 001102 haahha，运算规则为：000，011，101，110， 例如原信息为111，则传输信息为01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错，则下列接收信息一定有误的是（） A11010 B01100 C 10111 D00011 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分） 13 (1)1 lim2 n a n na ，则a 14

5、 长方 体 1111 ABCDABC D的 各 顶点 都 在球O的 球 面上 ， 其中 1 :1:1:2AB AD AAAB，两点的球面距离记为m， 1 AD，两点的球面距离记为n， 则 m n 的值为 15关于平面向量， ，abc有下列三个命题： 若a b = a c，则bc若(1)( 2 6)k，ab，ab，则3k 非零向量a和b满足| | |abab，则a与ab的夹角为60 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 16某地奥运火炬接力传递路线共分6 段，传递活动分别由6 名火炬手完成 如果第一棒火 A B a b l 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中

6、产生，则不同的传 递方案共有种 （用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6 小题，共74 分） 17 （本小题满分12 分） 已知函数 2 ( )2sincos2 3sin3 444 xxx f x （）求函数( )f x的最小正周期及最值； （）令 ( ) 3 g xfx ，判断函数( )g x的奇偶性，并说明理由 18 （本小题满分12 分） 某射击测试规则为：每人最多射击3 次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得 1 i (1 2 3)i，分，3 次均未击中目标得 0 分已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各 次射击结果互不影响 （）求该射手恰好

7、射击两次的概率； （）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望 19 （本小题满分12 分） 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为 111 A BC，90BAC ， 1 A A平面ABC， 1 3A A，2AB，2AC， 11 1AC， 1 2 BD DC （）证明：平面 1 A AD平面 11 BCC B； （）求二面角 1 ACCB的大小 20 （本小题满分12 分） 已知抛物线C： 2 2yx， 直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中点， 过M 作x轴的垂线交C于点N （）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行； （）是否存在实数k使0NA NB，若

8、存在，求k的值；若不存在，说明理由 A1 A C1 B1 B D C 21 （本小题满分12 分） 已知函数 2 1 ( ) kx fx xc （0c且1c，kR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其 中一个是xc （）求函数( )f x的另一个极值点； （）求函数( )f x的极大值M和极小值m，并求1Mm时k的取值范围 22 （本小题满分14 分） 已知数列 n a的首项 1 3 5 a， 1 3 21 n n n a a a ，1 2n， ， （）求 n a的通项公式； （）证明：对任意的0x， 2 112 1(1)3 nn ax xx ，12n，； （）证明： 2 12 1 n n aa

9、a n 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修 +选修）参考答案 一、 1D 2B 3D 4B 5C 6A 7A 8B 9D 10 B 11C 12C 二、 131 14 1 2 151696 1复数 (2) 12 ii i 等于（） AiBiC1 D1 解： (2)21 1 1212 iii ii 2已知全集1 2 3 4 5U，集合 2 |320Ax xx，|2Bx xaaA，则 集合() U ABe中元素的个数为（） A1 B2C3 D4 解：1,2,2,4AB，1,2,4AB，()3,5 U ABe 3ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，若261

10、 2 0cbB， ， 则a 等于（） A6B2 C3D2 解：由正弦定理 621 sin sin120sin2 C C ，于是30302CAac 4已知 n a是等差数列， 12 4aa， 78 28aa，则该数列前10 项和 10 S等于（） A64 B100C110 D120 解：设公差为d，则由已知得 1 1 24 21328 ad ad 1 10 1 10 9 10 12100 22 a S d 5直线30xym与圆 22 220xyx相切，则实数m等于（） A3或3B3或3 3C3 3或3D3 3或3 3 解 ： 圆 的 方程 22 (1)3xy， 圆 心( 1 , 0到 直线 的

11、距 离 等于 半 径 |3| 332 3 3 1 m m3m或者3 3m 6 “ 1 8 a”是“对任意的正数x，21 a x x ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解： 1 8 a 11 222 21 88 a xxx xxx ，另一方面对任意正数x，21 a x x 只要222 21 aa xxa xx 2 1 8 a，所以选A 7已知函数 3 ( )2 x f x， 1 ( )fx 是( )f x的反函数，若16mn（mn + R，） ，则 11 ()( )fmfn的值为（）A2B1 C4 D10 解： 31 2 ( )2( )log3 x f

12、 xfxx于是 11 222 ()( )log3log3log6fmfnmnmn 2 log 166462 8双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）的左、 右焦点分别是 12 FF，过 1 F作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M点，若 2 MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（） A6B3C2D 3 3 解：如图在 12 Rt MF F中， 1212 30 ,2MF FF Fc 1 24 3 cos303 c MFc ， 2 2 2tan303 3 MFcc 12 422 2333 333 aMFMFccc3 c e a 9 如图，lABAB， ，到l的距离分别是a和b，AB与，

13、所成的角分别是和，AB在，内的射影分别是m和n，若ab，则（） Amn，Bmn， Cmn，Dmn， 解：由勾股定理 22222 anbmAB，又ab，mn A B a b l s i n b AB ，sin a AB ,而ab，所以sinsin，得 10已知实数xy，满足 1 21 y yx xym ， ， 如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等 于（）A7 B 5C4 D3 解：画出xy，满足的可行域，可得直线21yx与直线xym的交点使目标函数 zxy取得最小值，故 21yx xym ，解得 121 , 33 mm xy， 代入1xy得 121 15 33 mm m 11定义在R上的函

14、数( )fx满足()( )( )2f xyf xfyxy（xyR，） ，( 1 ) 2f， 则( 3)f等于（）A2 B3 C6 D9 解：令0(0)0xyf，令1(2)2 (1)26xyff； 令2,1(3)(2)(1)412xyfff，再令3,3xy得 0(33)(3)( 3)18( 3)18(3)6fffff 12为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信 息 设 定 原 信 息 为 012i a a a a，0 1 ，（01 2i， ，） ， 传 输 信 息 为 00121 h a a a h， 其 中 001102 haahha，运算规则为：00

15、0，011，101，110， 例如原信息为111，则传输信息为01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错，则下列接收信息一定有误的是（） A11010 B01100 C 10111D00011 解： C 选项传输信息110， 0 011h， 102 110hha应该接收信息10110。 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分） 13 (1)1 lim2 n a n na ，则a 解： 1 (1) (1)1 limlim121 1 nn a a n n aa a na n 14长方体 1111 ABCDABC D的各顶点都在

16、球O的球面上， 其中 1 :1:1:2AB AD AAAB，两点的球面距离记为m， 1 AD，两点的球面距 离记为n，则 m n 的值为 解：设,ABa则,ADa 1 2AAa 222 222Raaaa球的直径，即Ra 则OAB是等边三角形， 11 2 63 maa， 在 1 AOD中， 11 ,3OAODa ADa 1 1 1202 3 AODna故 1 2 m n 15关于平面向量， ，abc有下列三个命题： 若a b = a c，则bc若(1)( 2 6)k，ab，ab，则3k 非零向量a和b满足| | |abab，则a与ab的夹角为60 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 解

17、：()0a ba cabc，向量a与bc垂直 abba 1 26 k 3k | | |abab, ,a b ab构成等边三角形，a与ab的夹角应为30 所以真命题只有。 16某地奥运火炬接力传递路线共分6 段，传递活动分别由6 名火炬手完成 如果第一棒火 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传 递方案共有种 （用数字作答） 解：分两类：第一棒是丙有 114 124 48CCA,第一棒是甲、乙中一人有 114 214 48CCA 因此共有方案484896种 三、 17解： （） 2 ( )sin3(12sin) 24 xx f xsin3 cos 22

18、xx 2sin 23 x ( )f x的最小正周期 2 4 1 2 T 当 sin1 23 x 时，( )f x取得最小值2；当 sin1 23 x 时，( )f x取得最大值2 （）由（）知 ( )2sin 23 x f x 又 ( ) 3 g xfx 1 ( )2sin 233 g xx 2sin 22 x 2cos 2 x ()2cos2cos( ) 22 xx gxg x 函数( )g x是偶函数 18 （）设该射手第i次击中目标的事件为(123) i A i， ，则()0.8()0.2 ii P AP A， ()() ()0.20.80.16 iiii P A AP A P A （）

19、可能取的值为0，1，2，3的分布列为 00.008 1 0.03220.163 0.82.752E. 19解法一：（） 1 A A平面ABCBC，平面ABC， 1 A ABC在RtABC中，226ABACBC， :1: 2BDDC， 6 3 BD，又 3 3 BDAB ABBC ， DBAABC，90ADBBAC，即ADBC 又 1 A AADA，BC平面 1 A AD， BC平面 11 BCC B，平面 1 AAD平面 11 BCC B （）如图，作 1 AECC交 1 CC于E点，连接BE， 由已知得AB平面 11 ACC A AE是BE在面 11 ACC A内的射影 由三垂线定理知 1

20、BECC， 0 1 2 3 P0.008 0.032 0.16 0.8 A1 A C1 B1 B D C F E （第 19 题，解法一） AEB为二面角 1 ACCB的平面角 过 1 C作 1 C FAC交AC于F点， 则1CFACAF， 11 3C FA A， 1 60C CF 在RtAEC中， 3 sin6023 2 AEAC 在RtBAE中， 26 tan 33 AB AEB AE 6 arctan 3 AEB， 即二面角 1 ACCB为 6 arctan 3 解法二：（）如图，建立空间直角坐标系， 则 11 (0 0 0)( 2 0 0)(0 2 0)(0 03)(013)ABCAC

21、， ， ， ， ， ， :1: 2BDDC ， 1 3 BDBC D点坐标为 222 0 33 ， ， 2 22 0 33 AD ， 1 (2 2 0)(0 03)BCAA， ， 1 0BC AA，0BC AD， 1 BCAA，BCAD，又 1 A AADA， BC 平面 1 A AD，又BC平面 11 BCC B，平面 1 A AD平面 11 BCC B （）BA平面 11 ACC A，取( 2 0 0)AB，m 为平面 11 ACC A的法向量， 设平面 11 BCC B的法向量为()lmn，n，则 1 00BCCC，nn 220 30 lm mn ， ， 3 2 3 lmnm， A1 A

22、 C1 B1 B D C z y x （第 19 题，解法二） 如图，可取1m，则 3 21 3 ， ，n， 2 22222 3 220 1 0 15 3 cos 5 3 ( 2)00( 2)1 3 ，mn， 即二面角 1 ACCB为 15 arccos 5 20解法一： （）如图，设 2 11 (2)A xx， 2 22 (2)B xx，把2ykx代入 2 2yx得 2 220xkx， 由韦达定理得 12 2 k xx， 12 1x x， 12 24 NM xxk xx，N点的坐标为 2 48 k k ， 设抛物线在点N处的切线l的方程为 2 84 kk ym x ， 将 2 2yx代入上式

23、得 2 2 20 48 mkk xmx， 直线l与抛物线C相切， 2 2222 82()0 48 mkk mmmkkmk ，mk 即lAB （）假设存在实数k，使0NA NB ，则 NANB，又M 是AB的中点， 1 | 2 MNAB 由（）知 121212 111 ()(22) ()4 222 M yyykxkxk xx 22 1 42 224 kk MN x轴， 222 16 | |2 488 MN kkk MNyy 又 222 121212 |1|1()4ABkxxkxxx x x A y 1 1 2 M N B O 2 222 1 14( 1)116 22 k kkk 2 22161

24、116 84 k kk，解得2k 即存在2k，使0NA NB 解法二：（）如图，设 22 1122 (2)(2)A xxB xx，把2ykx代入 2 2yx得 2 220xkx由韦达定理得 1212 1 2 k xxx x， 12 24 NM xxk xx，N点的坐标为 2 48 k k ， 2 2yx，4yx， 抛物线在点N处的切线l的斜率为4 4 k k，lAB （）假设存在实数k，使 0NA NB 由（）知 22 22 1122 22 4848 kkkk NAxxNBxx，则 22 22 1212 22 4488 kkkk NA NBxxxx 22 22 1212 4 441616 kk

25、kk xxxx 1212 14 4444 kkkk xxxx 22 12121212 14() 4164 kkk x xxxx xk xx 22 114 ( 1) 421624 kkkkk k 2 2 3 13 164 k k 0， 2 10 16 k ， 2 3 30 4 k，解得2k 即存在2k，使0NA NB 21解：（） 22 2222 ()2 (1)2 ( ) ()() k xcx kxkxxck fx xcxc ，由题意知()0fc， 即得 2 20c kcck， （*）0c，0k 由( )0fx得 2 20kxxck， 由韦达定理知另一个极值点为1x（或 2 xc k ） （）由

26、（ *）式得 2 1 k c ，即 2 1c k 当1c时，0k；当01c时，2k （i）当0k时，( )f x在()c，和(1)，内是减函数，在(1)c，内是增函数 1 (1)0 12 kk Mf c ， 2 2 1 ()0 2(2) kck mfc cck ， 由 2 1 22(2) kk Mm k 及0k，解得2k （ii ）当2k时，( )f x在()c，和(1)，内是增函数，在(1)c，内是减函数 2 ()0 2(2) k Mfc k ，(1)0 2 k mf 22 (1)1 11 2(2)22 kkk Mm kk 恒成立 综上可知，所求k的取值范围为(2)2)， 22解法一：（）

27、1 3 21 n n n a a a ， 1 121 33 nn aa ， 1 111 11 3 nn aa ， 又 12 1 3 n a ， 1 1 n a 是以 2 3 为首项， 1 3 为公比的等比数列 1 1212 1 3 33 nn n a ， 3 32 n nn a （）由（）知 3 0 32 n nn a ， 2 112 1(1)3 n x xx 2 112 11 1(1)3 n x xx 2 111 (1) 1(1) n x xxa 2 112 (1)1 n axx 2 11 1 nn n aa ax n a，原不等式成立 （）由（）知，对任意的0x，有 12 222 1121

28、12 1(1)31(1)3 n aaaxx xxxx 2 112 1(1)3 n x xx 22 1222 1(1)333 n n nx xx 取 2 21 1 12221133 1 13333 1 3 n nn x nn n ， 则 22 12 111 1 111 3 3 n nn nnn aaa n n n 原不等式成立 解法二：（）同解法一 （）设 2 112 ( ) 1(1)3 n f xx xx ， 则 2 222 22 (1)2(1)2 1 33 ( ) (1)(1)(1) nn xxxx fx xxx 0x， 当 2 3 n x时，( )0fx；当 2 3 n x时，( )0fx， 当 2 3 n x时，( )f x取得最大值 21 2 3 1 3 n n n fa 原不等式成立 （）同解法一 B 卷选择题答案： 1D 2C 3A 4B 5C 6A 7D 8C 9C 10B 11B 12D