初一下生活中的轴对称、性质、及简单轴对称图形+.pdf

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1、知识清单： 1. 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对 称图形 ，这条直线叫做对称轴. 2. 对称轴是一条直线，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴. 如图 1，有 3 条对称轴 . 图 2 有无数条对称轴 3把一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图 形成轴对称 ，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点. 4轴对称图形与轴对称的区别： 区别： 轴对称是两个图形的位置关系，而轴对称图形是一个具有特殊形状的图形. 经典例题 【例 1】等边三角形的对称轴有_条 【例 2】下列图形中，不是轴对称图形的是()

2、A B C D 一、轴对称现象 图 2 图 1 图 3 【例 3】如图所示，是小明用棋子摆成的字母“ T” ，它的主要特点是轴对称图形请你再用 棋子摆出两个轴对称图形的字母（用 代表棋子） 【例 4】数的计算中有一些有趣的对称形式，如：12231=13221；仿照上面的形式填 空，并判断等式是否成立： （1）12 462= （）（2）18891= （） （3）24 231= （）（4）18462= （） 【变式 1】下列图形中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【变式 2】 将一张矩形的纸对折后，用笔尖在上面扎出“ B” ， 再把它铺平， 你可能见到的是() A. B. C. D.

3、 【变式 3】下面的希腊字母中，是轴对称图形的是（） A. B. C, D. 【变式4】下列说法正确的是() A任何一个图形都有对称轴B两个全等三角形一定关于某条直线对称 C若 ABC 与 ABC成轴对称，则ABC ABC D点 A、点 B 在直线 l 的两旁，且AB 与直线 l 交于点 O，若 AOBO，则点 A 与点 B 关 于直线 l 对称 【变式5】下面是轴对称图形的有（）个 圆、一个角为30 度的直角三角形、长方形、正方形、等腰梯形 A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个 【变式6】如图所示，在33 的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其 余小正方形任意涂黑一个，使整个图

4、案构成一个轴对称图形的办法有() A3 种B 4种C5 种D6 种 【变式 7】如图是汽车牌照在水中的倒影，则该车牌照上的数字是_ 【变式 8】如图，从轴对称的角度来看，你觉得哪一个图形比较独特？简单说明你的道理 【变式 9】如图， ACAD，BCBD，AB 与 CD 相交于 O 点，试猜想AB 与 CD 的关系， 并说明理由 【变式10】图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后 的图形成为轴对称图形 方法总结： 判断图形是否是轴对称图形 1. 找到一条对称轴 2. 沿着对称轴折叠，看两边的图形是否完全重合，重合的是轴对称图形。 （二）轴对称的性质 1. 在轴对称图形

5、中对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 如图 4，线段 AE,BF,DH,CG均被对称轴平分 2. 对应线段相等，对应角相等. 如图 4，AB=EF,BC=FG,CD=GH,AD=EH 3. 轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置. 4. 成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上. 经典例题： 【例 1】以下结论正确的是（） A两个全等的图形一定成轴对称 B两个全等的图形一定是轴对称图形 C两个成轴对称的图形一定全等 D两个成轴对称的图形一定不全等 【例 2】下列说法中正确的有（） 角的两边关于角平分线对称 两点关于连接它的线段的中垂线为对称 成轴

6、对称的两个三角形的对应点，或对应线段，或对应角也分别成轴对称 到直线L 距离相等的点关于L 对称 A 1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、轴对称的性质 图 4 图 5 【例 3】（ 1）已知 RtABC中，斜边 AB=2BC ，以直线AC为对称轴，点B的对称点是B， 如图所示， 则与线段BC相等的线段是_， 与线段 AB相等的线段是 _和_ ? 与 B相等的角是 _和_，因此， B=_ （2）如图， AOB内一点 P，分别画出P 关于 OA 、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交 OA 于 M ， 交 OB于 N，若 P1P2=5cm，则 PMN 的周长为 【例 4】 （1） 如图，已

7、知 C=90，1= 2， 若 BC=10 ， BD=6 ， 则点 D到边 AB的距离为 _ (2)如图，在 ABC中， A=90， BD是 ABC的平分线， DE是 BC的垂直平分线， 则 C=_ 【例 5】如图，在 ABC中， AB=AC ， BAC=120 ， D、F 分别为 AB 、 AC的中点， ?DE? AB ， GF AC ，E 、 G在 BC上， BC=15cm ，求 EG的长度 A D C E B （三）简单的轴对称图形 1、等腰三角形 （1）等腰三角形是轴对称图形 （2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边的高互相重合（也称三线合一） 它们所在的直线是等腰三角形的对称轴

8、 （3）等腰三角形的两个底角相等，简称为等边对等角 2、等边三角形 （1）等边三角形定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，又称正三角形。 （2） 等边三角形具备等腰三角形的一切性质（等边三角形是腰与底相等的特殊等腰三角形）。 （3）等边三角形有三条对称轴，三角形的高、 角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。 （4）等边三角形的性质：等边三角形三条边都相等，三个角都是60。 3、 线 段 是 轴 对 称 图 形 （ 1） 线 段 的 对 称 轴 有 两 条 ， 一 条 是 它 的 垂 直 平 分 线 ， 另 一 条 是 线 段 本 身 所 在 的 直 线 。 （ 2） 线 段 垂 直 平 分

9、 线 ： 垂 直 一 条 线 段 ， 并 且 平 分 这 条 线 段 的 直 线 ， 叫 做 这 条 线 段 的 垂 直 平 分 线 （ 简 称 中 垂 线 ） 。 （ 3） 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 ： 线 段 垂 直 平 分 线 上 的 点 到 这 条 线 段 两 个 端 点 的 距 离 相 等 。 4、角是轴对称图形 （1）角平分线所在的直线是它的对称轴，角只有这一条对称轴 （2）角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 三、简单的轴对称图形 等腰三角形 【例 1】若等腰三角形的顶角为80，则它的底角度数为() A80B 50C40D20 【例 2】 如图，A

10、BC中，ABAC， A36，BD是AC边上的高，则DBC的度数是 ( ) A18B24C30D36 例 2 图例 3 图例 4 图 【例 3】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也 是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（） A 6 B 7 C 8 D 9 【例 4】 如图， 在梯形 ABCD 中， ADBC， CA 平分 BCD， CD5， 则 AD 的长是 _ 【变式 1】如图，在ABC中，ABAC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个 条件使DABEAC，则添加的条件不能为( ) ABD CE BAD AE CDA DE D

11、 BECD 第 1题第 2 题 【变式2】如图所示，在ABC中，ABAC，A36，BD，CE分别为ABC，ACB 的平分线，则图中等腰三角形共有（） A 5 个B 6 个C 7 个D 8 个 【变式 3】如图，在ABC中，ABAC，DEBC，ADE48，则下列结论中不正确的是 ( ) A B48B AED 66C A 84D B C96 第 3 题第 4题第 5 题 【变式 4】 如图， ABCD ，点 E 在 BC 上，且 CD CE，D74， 则 B 的度数为 () A68B32C22D16 【变式 5】如图所示，在ABC中，ADBC于D请你再添加一个条件，就可以确定ABC 是等腰三角形你

12、添加的条件是_ 【变式7】在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点O，过O点作EFBC，交AB于 点E，交AC于点F，写出图中所有的等腰三角形 方法总结： 1. 等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边的高互相重合（也称三线合一） 它们所在的直线是等腰三角形的对称轴 2. 等腰三角形的两个底角相等，两条腰相等。 3. 在求角度时，经常和方程思想、内角和结合在一起。 等边三角形 【例 1】已知：在ABC中，A 60，如要判定ABC是等边三角形，还需添加一个条 件现有下面三种说法： 如果添加条件“ABAC”，那么ABC是等边三角形； 如果添加条件“BC”，那么ABC是等边三角形； 如果添加条件“

13、边AB、BC上的高相等”，那么ABC是等边三角形上述说法中，正确 的说法有 ( ) A3 个 B 2 个 C 1 个D 0 个 【例 2】如图所示，已知ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CGCD， DFDE，则E_ 例 2图例 3 图 【例 3】已知ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CECD1，连接DE，则 DE _ 【例 4】如 图 ， 点 C 在 线 段 AB上 ， DAC和 DBE都 是 等 边 三 角 形 （ 1） 求 证 ： DAB DCE； （ 2） 求 证 ： DA EC 【变式2】已 知 ： 如 图 ， 在 等 边 三 角 形 ABC的 AC 边

14、 上 取 中 点 D， BC 的 延 长 线 上 取 一 点 E， 使 CE=CD 求 证 ： BD=DE 【变式3】如 图 ， 分 别 以 Rt ABC的 直 角 边 AC， BC 为 边 ， 在 Rt ABC外 作 两 个 等 边 三 角 形 ACE和 BCF， 连 接 BE， AF 求 证 ： BE=AF 方 法 总 结 ： 1. 等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。 2. 等边三角形的性质：等边三角形三条边都相等，三个角都是60 3. 经 常 和 全 等 三 角 形 一 起 证 明 线 段 和 角 相 等 。 垂 直平 分线 的 性 质的 考 查

15、 【例 1】在ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，BE5 cm，BCE的周 长为 18 cm ，求BC 【例 2】如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( ) AAB AD BAC平分 BCD C AB BD D BEC DEC 【例3】如图，已知线段AB (1) 用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l( 保留 作图痕迹， 不要求写作法 ) ；(2) 在(1) 中所作的直线l 上任意取两点M 、N(点 M ，N在线段 AB 的上方 ) ，连接 AM 、AN 、 BM 、BN ，求证： MAN MBN 【变式 1】点P在线段AB的垂直平

16、分线上，PA7，则PB_ 【变式 2】如图， ABC中， AB AC 6cm ，BC的垂直平分线l 与 AC相交于点D，则 ABD 的周长为 _cm 第 2 题第 3题 【变式3】如图，在ABC中，ABAC，A36，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足 为点D，连接BE，则EBC的度数为 _ 【变式 4】如图所示，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧， 两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD若ADC的周长为10，AB7，则 ABC的周长为（） A7 B 14 C 17 D20 【变式 5】如图，ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE3 cm，ABD的周长为1

17、3 cm， 求ABC的周长 【变式6】如图，在ABC中，ABAC，BAC120，D、F分别为AB、AC的中点， DEAB，GFAC，点E、G均在BC上，BC15cm，求EG的长 方法总结： 1. 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 ： 线 段 垂 直 平 分 线 上 的 点 到 这 条 线 段 两 个 端 点 的 距 离 相 等 。 2. 尺规作中垂线的做法：（1）分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度 为半径画弧线。得到两个交点( 两交点交于线段的两侧) 。（ 2）连接这两个交点。 考点六：角平分线的性质的考查 【例 1】如图，在ABC中作出ABC的内角平分线AD( 要求：

18、尺规作图，保留作图痕迹 【例 2】如图所示，在ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB，交BC于D，DEAB 于E，且AB6cm，则BDE的周长为 _ 【例 3】如图，AOB40，OM平分AOB，MAOA于点A，MBOB于点B，则MAB的度 数为 ( ) A50 B 40 C30 D20 【例 4】如图，以 AOB的顶点 O为圆心，适当长为半径画弧， 交 OA于点 C，交 OB于点 D再分别以点C、D为圆心，大于的长 CD 为半径画弧，两弧在 AOB内部交于点E，过点 E作射线 OE ，连接 CD 则下列说法错误的是( ) A射线 OE是 AOB的平分线 B COD 是等腰三角形 CC、D两

19、点关于OE所在直线对称DO 、E两点关于CD所在直线对称 【例 5】如图，已知ABC，求作一点P，使P到A的两边的距离相等，且 PAPB 【变式 1】如图所示，点P在AOB的角平分线上，C，F在OA上，D，E在OB上，且CD过 点P且与OA垂直，EF过点P与OB垂直，则下列说法正确的是( ) APC PD B PC PF C PC PE D PE PF 【变式 2】如图， AOB70，QCOA于C，QDOB于D，若QCQD，则AOQ _ 第 2 题第 3 题第 4 题 【变式 3】如图，在RtABC中，A90，ABC的平分线BD交AC于点D，AD3，BC 10，则BDC的面积是 _ 【变式 4

20、】如图，BD是ABC的平分线，P是BD上的一点，PEBA于点E，PE 4cm，则点 P到边BC的距离为 _cm 【变式5】如图，ADBC，ABC的角平分线BP与BAD的角平分线AP相交于点P，作 PEAB于点E若PE2，则两平行线AD与BC间的距离为 _ 第 5题第 6 题 【变式6】如图，ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60其三条角平分线交 于点O，则SABOSBCOSCAO_ 【变式7】如图，在ABC中，C90，B30，以A为圆心，任意长为半径画 弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交 于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中

21、正确的个数是( ) AD是BAC的平 分线；ADC60；点D在AB的中垂线上 A1 B 2 C 3 D 0 【变式18】如图，在长方形ABCD的台球桌上有三个台球M，N，P，且M，N，P在同 一直线上，现在要求主球P在不撞击其他彩球的情况下击彩球M( 不能跳过N击M) ，问能否 击中M？若不能，就请说明理由；若能击中M，就请画出主球P的运动路线？画出两种不同 的击法并简要地说明理由 方法总结： 1. 角平分线是一条射线，角平分线所在的直线是它的对称轴，角只有这一条对称轴。 2. 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相。 3. 尺规做角平分线的方法：（1）以点 O为圆心，以任意长为

22、半径画弧，两弧交角AOB两边 于点 M ，N。（2）分别以点M ，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。 （3）作射线OP 。则射线OP为角 AOB的角平分线。 4. 经常和全等三角形一起证明线段和角相等。 课后作业 1、如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点：若PA2，则PQ 的最小值为（） A1 B 2 C3 D4 2、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( ) A三条中线的交点 B三条高的交点 C三条边的垂直平分线的交点 D三条角平分线的交点 3、如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离 相等，则

23、可供选择的地址有( ) A一处 B两处C三处 D四处 4、在RtABC中，BD是角平分线，DEAB，垂足为E，AEBC与AB相等吗？为什么？ 【变式1】如 图 ，已 知 ABC 为 等 边 三 角 形 ，点D、 E 分 别 在 BC、 AC边 上 ， 且 AE=CD， AD 与 BE 相 交 于 点 F （ 1） 求 证 ： ABE CAD； （ 2） 求 BFD 的 度 数 【变式6】已知：如图，点P、Q是ABC的边BC上两点，并且BPPQQCAPAQ， 求BAC的度数 【变式16】张庄、李庄、马庄的位置如图所示，每两个村庄之间都有笔直的公路相连，他 们计划共同投资打一眼机井，希望机井的位置到三庄的距离相等，试确定机井的位置 【变式 17】如图，已知AM平分BAC，点O是AM上的一点，ODBM，垂足为D，OECM， 垂足为E(1)OD与OE相等吗？为什么？(2) 请你增加一个条件，使ODOE，并说明理由