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1、http:/ - 1 - 中国 科技论文在线 全能近似分析下的瞬时速度微分导数概念 曹俊云 * 作者简介： 曹俊云（ 1932-），男，副教授，从事应用数学与数学基础研究. E-mail: （河南理工大学数信学院，河南焦作，454000） 摘要：没有长度的瞬时不能构成有长度的时段。瞬时速度是足够小时段上平均速度的近似值。 使用全能近似导数，才能得到函数取得极值的必要兼充分条件。使用近似导数，才能“无矛 盾地解释” 瞬时速度的物理意义。把微分看作变数，才能够恰当地解释微分与函数微分的作 用；现行教科书中的间接测量误差界计算式是不可靠的. 关键词：瞬时速度；全能足够小；微分；近似导数；理想导数

2、中图分类号：O172.1 Concept of Instantantaneous velocity and Differential,Derivative in Omnipotent approximation analysis caojunyun (Department of Mathematics,Henan Polytechnic University,jiaozuo 454000) Abstract:Instantaneousness which has not length could not compose the time segment possessed length. In

3、stantaneous velocity is approximate value of average velocity at sufficiently small time segment. Use omnipotent approximation derivative, the necessary and sufficient condition reached extreme value of function could be obtained. Use approximation derivative can be explained meaning of instantaneou

4、s velocity without contradiction. Regard differential as variable, can explain properly the application of differential and differential of function. The expression to calculate error of indirect measure in text-book is not reliable. Key words: Instantaneous velocity; Omnipotent sufficient small; Di

5、fferential; Approximation derivative; Ideal derivative 0引言 现行数学分析中存在着三个不完善的地方. 物体按照瞬时速度运动的时段长是不是0呢？关于这个问题，如果回答说它是0，那 么，根据“ 0 代表无”的意义，物体没有按照这个速度运动；所以这个回答是错误的. 如果 回答说它不是0，那么，又出现使用任何大于0 的实数表示这个时段长都不恰当的问题. 较 具体地讲， 对自由落体运动 2 2 1 gts的问题， 根据gtsv，可以得到在2t时的瞬时 速度就为gv2. 那么，在自由落体运动中，物体按照瞬时速度gv2运动的时段长是不 是 0 呢？如果

6、说是0，则物体就没有按照这个速度下落；若不是0，那么代表这个时段长的 数是什么呢？ 在现行的大部分教科书中，都把自变量x的增量x看作是微分dx， 因而有“当x 很小时，dy可以近似代替y”的论述但是，这种论述是有问题的 第一，对 2 1 1 )(xxf、 100 2)(xxf这两个函数， 若都取10x，05.0x， 则对)(1xf 有 http:/ - 2 - 中国 科技论文在线 027.0105.1y 025.005.0)1 ( fdy %8 025.0 025.0027.0 dy dyy 若以dy代替y，则相对误差约为8 但对)( 2 xf，则有 131y 5dy %2520 5 5131

7、 dy dyy 此时以dy代替y，则相对误差为2520% 很显然，对)( 2 xf的这种代替是不能容许的这两个例子说明：在dy近似代替y时， 仅仅根据“x是不是很小”是不行的 第二， 在高等数学 中曾讲到： “按公式)(xyy计算y值时，如果已知测量值x的 误差界为 x，那么当 0 y时，y值的绝对误差限约为 xy y” 1 这个论述可靠吗？事实上，根据拉格朗日中值公式，只能得到表达式 xfy)( (5-1) 根据这个式子，间接误差界的可靠计算公式应该是： xy ymax(5-2) 其中， yman 表示y在区间, 00xxxx 上的最大值， 0x 表示x的测定数值 因此， 高等数学中的这个“

8、绝对误差限约为 xy y”的说法是不可靠的，不恰 当的他们得出这个不可靠计算公式的原因在于他们存在着：“自变量x的增量x是微分 dx和函数微分dy近似等于y”的不确切的观点. 函数 0,1 0, 0 )( t t tfy，（3-1-1） 在 0t 处取得极大值. 但在现行数学分析中找不到判断它取得极大值的定理. 为了解决上述问题，本文采取理论联系实践的全能近似方法改善微分与导数的概念. 全 能近似方法就是对任意小误差界都成立的逐步逼近理想境界的近似方法. 1瞬时速度概念问题与非标准分析 早在 1962 年春笔者就还发现了“物体按照瞬时速度运动的时段长是不是0 呢？”与 “没 有大小的点怎么能构

9、成有长度的线段呢？”的问题. 在 1062-1965 年期间，笔者认为：解决 这两个问题时， 都需要使用一种 “大于 0 而小于一切正实数的数”. 因此，笔者曾经认为 “实 数需要再扩充”，并将实变函数论（. 那汤松著）下册中超限数扩充为可以进行除 法运算的扩充实数域. 这个扩充实数域与非标准分析数域同构 2 . 笔者曾经认为：有了这种 http:/ - 3 - 中国 科技论文在线 扩充实数域，就可以解决上述两个问题了. 例如，在回答上述瞬时速度时，可以说：下落物 体按照gv2下落的时段长是一个扩充实数域中的“实无穷小数”. 但后来，笔者又发现： 这种回答是不行的，因为：在承认实无穷小数存在的

10、情况下，又存在着“实无穷小时段上各 个非标准时刻上的瞬时速度是什么呢”的问题. 更重要的是：笔者发现了那个超限数和A.鲁宾逊的非标准分析中的超实数理论都 是建立在“无穷集合是完成了的集合”的“实无穷” 2 概念下的理论 . 根据文献 3 ，这样的 “实无穷”观点是违反实践的观点；因此，非标准分析中超实数数域是不能提出的数域 3 . 2瞬时与时段长的关系 要想解决瞬时速度是什么的问题，必须事先讨论瞬时是什么. 瞬时可以是没有时间长度 的瞬时，也可以是长度足够小的瞬时. 这个问题与空间问题中点的概念类似. 关于点的概念 文352 页中讲到如下的定义与公理. 定义2.1(理想点、近似点与全能近似点)

11、 只有位置而没有大小的点，叫做理想点；而 满足一定的“误差界要求”的、有大小但其大小可以忽略不计的点，叫做近似点. 设 nn 10 1 是以 0 为极限的误差界序列，我们称：随着这个序列逐步得到的、能近似表达 一个理想点位置的近似点序列为全能近似点序列，简称为全能近似点. 公理 2.1(理想点的极限性) 随着“误差界”趋近于0，全能近似点序列的极限是一个唯 一的理想点 . 文献 3中还讲到：“有了上述点的辩证概念，就可以说：“线段可以被看作是连接有 限个近似点构成的； 但不是由理想点构成的”. 采用这种线段构成的观点，就可以消除 “点 能不能构成线段的矛盾或称说不清的问题”. 同理，“ 球体、

12、球面也不是由理想点组成的” . 因 此，分球奇论等疑问也就不存在了. ” 瞬时的概念与点类似，瞬时也有理想瞬时与近似瞬时两种，只有后者才能构成有长度的 时段，而前者不能构成有长度的时段. 由于理想瞬时没有长度，讨论理想瞬时上的运动速度 无有意义；事实上，对于一个没有长度的时段，无论说它的运动速度是多大，对物体位置都 没有影响 . 这样的理解，可以消除芝诺的“飞矢不动”的悖论. 事实上，由于理想瞬时不能 构成有长度的时段，所以可以说：在每一个时刻（即理想瞬时）上，飞矢是静止不动的，但 在任何有长度的时段上，飞矢总是运动了一段距离，所以飞矢又不是不动的；芝诺“飞矢不 动”的论述不能成立. 根据理想

13、瞬时是近似瞬时序列极限（即理想点是近似点序列的极限）的概念，可知：理 想瞬时速度（即导数）的计算需要使用计算极限方法. 这样就可以消除使用极限方法计算导 数的不自然的感觉问题. 3瞬时速度与量子力学中的“测不准原理” 由于“在绝对准意义下，时间与空间坐标是不能测出的；所以不能在绝对准意义下，讨 论一个理想时刻处的瞬时速度”. 事实上，在量子力学中的有测不准关系 4 ： m h vx x （3-1） http:/ - 4 - 中国 科技论文在线 根据这个关系， x vx,都不能为零 . 这说明：按照“绝对准方式”讨论gtv的物理 意义是行不通的. 按照近似方法， 我们可以回答说： 自由落体近似地

14、按照瞬时速度gv2运 动的时段长， 是包含了2t的一个足够小的时段. 即下落物体在包含2t的一个足够小的 时段上近似按照速度gv2下落 . 但不能在“绝对准意义下” 讨论2t时刻的瞬时速度. 因 为：按照（ 3-1）式，当0t时，v就成为无穷大了. 文4对“ 1 微米低速运动的尘粒”做了分析，得出 x v与 x v之比为“千分之一”的结 果后，并指出：“对速度的测量来说，这点误差应该使我们满意了. 绝少的速度计能有更高 的精确度” . 文4 还对电子做了分析，结论是：“电子位置的测不准量为其线度的几百亿 倍” . 这说明：讨论电子的下落的瞬时速度是无意义的；对空气中的氧粒子、氢离子，自由 落体

15、运动中的下落速度公式gtv也是不成立的. 但是，从文 4对尘粒的讨论来看，瞬时 速度作为导数 （在下文中称它为理想导数）的物理意义， 在近似意义下对尘粒是可以讲的. 这 就说明：对于比尘粒重的物体，自由落体下落速度公式gtv是成立的，但这种成立只能 在近似意义下的成立. 从现行教科书中导数的定义来看，导数是平均变化率的极限；因此gtv与足够小时 段上平均速度有近似相等的关系；平均速度有确切的物理意义，那么gtv就通过它与这 种平均速度近似相等的关系，也有了物理意义. 而且也只有在这种近似代替意义下，才可以 说：gtv是物体下落的瞬时速度. 但是，必须知道：作为导数的瞬时速度，只有把它理解 为足

16、够小时段上平均速度的近似值时，才有物理意义. 4自变数微分与函数微分概念的改革 从牛顿到当前的非标准分析来看，微分是什么的问题是一个争论着的基本问题 5： 牛顿曾经把微分看作是无穷小数，非标准分析也是如此；不同的地方仅仅是：非标准分析使 用模型论的方法推导了这种数的结构. 但文献 3指出：非标准分析 中实无穷小数的提出， 使用了违反实践的实无穷观点. 本文第 2 节，又指出：使用非标准分析中实无穷小数解 释瞬时速度的问题是行不通的. 对于现行微积分学中无穷小，文献6 中讲到：“由于历史性所形成的术语无穷小 量是不十分恰当的” 6 . 为此， 笔者参照现行数学分析中无穷小的定义与牛顿把微分看作“

17、流 数”的做法，提出自变数的微分与函数微分定义如下. 定义 4.1(全能足够小 ) 若数列 n a满足条件：)0(0 nn aa，且对于任意小误差界 ，总有自然数N存在，使得Nn时， n a成立，则称数列 n a为针对任意小误差 界的正（负）全能足够小（简称为全能足够小）； 记作)0(0 . 这种全能足够小在现行数学分析中叫做“无穷小”；但由于历史的原因“无穷小”这 个名词不是很恰当的，全能足够小是绝对值能够无限变小的无穷数列，它是定义在自然数集 合上的变数，而不是常数. 例如，表达“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，的数列 n 2 1 ，就是一个0 意义的 全能足够小 . 这个数列的每一项都不

18、是0，但它的极限却是0.；由于它的每一项都不是0， 所以在计算导数时，它可以被用作除数；但在求极限值时，却可以把它看作0. 因此还可以 http:/ - 5 - 中国 科技论文在线 称这种全能足够小的变数为辩证数. 定义 4.2 （自变数的微分）函数)(xfy的自变数x的微分是 0意义下的任意正全 能足够小；自变数x的微分是一种无穷数列意义的变数自变数微分可以记作dx，虽然它 是一种无穷数列意义的变数，但在数列四则运算法意义下，它的通项才可以被看作是定数， 也只有这时dx才可以被看作是一个常数. 究竟如何， 应根据上下文去确定. 这是使用这个符 号应当注意的一个问题. 根据这个定义， 自变数的

19、微分就是以0 为极限的无穷数列，而且这种数列是定义1中的 全能正足够小，它的极限是0，但它本身却不是0这种数列具有性质：针对某一任意小误 差界，总有足够大自然数N 存在，当Nn时，这个数列中的 n a（即dx）可以近似看作 0. 定义 4.3 若数列 n a收敛于实数a，则称数列 n a与实数a有全能近似相等（或称等 价）的关系；记作aan . 其意义是对任意小的误差界，总有足够大的自然数N 存在， 使 Nn 时， n a与实数a相互近似代替时的误差小于误差界. 例如： 数列 n 2 1 与 0 是全能近似相等的；即成立极限等式 0 2 1 lim n n 与全能近似等 式0 2 1 n .

20、同理：当 dx被看作数列时，成立全能近似等式0dx . 定义 4.4(函数微分 ) 在函数)(xf的导数（即下文给出的理想导数）存在且不为0，也 不为无穷大的条件下，分别称dxxf)( 0 、dxxf)( 0 为理想函数)(xf在 0 x处的右、左微 分，可简称为函数微分并分别记作 0 xx dy， 0 xx dy 需要说明的是：这里的dx是定义 4.1，定义 4.2 提出的全能足够小，是 0意义下全能 足够小的数列，因此，函数微分也是收敛于零的数列. 下一节定理5.2 将证明： 函数微分与函数增量是等价全能足够小；对于函数增量y计 算的任意小误差界，都有自变量增量x的误差界 存在， 当x是满

21、足x的足够小 时，可以由xxf)( 0 或xxf)( 0 来代替函数的增量，这个代替的绝对误差小于. 使用 这样的函数微分概念，就可以避免引言中指出的错误. 5三种导数的定义及其应用 5.1 三种导数的定义 定义5.1(理想导数与全能近似导数、近似导数) 设：理想函数)(xf在 0 x的右侧邻域 00, x x内有定义，若对0意义的任意全能足够小（即自变数的微分） n a，数列 n n a xfaxf)()( 00 http:/ - 6 - 中国 科技论文在线 收敛于同一个理想实数或都发散于或， 则称这个数列为)(xf在 0 x的右全能近似导 数，并称这个数列的极限为)(xf在 0 x的右理想

22、导数；而当n足够大时，数列中的项叫做右 近似导数其中，右全能近似导数和右理想导数分别记作 0 xx dx y ，)( 0 xf 同理，有左全能近似导数与左理想导数，并记作 0 xx dx y ，)( 0 xf 根据自变数的微分的表达符号，右理想导数可以写作 dx xfdxxf xf dx )()( lim)( 00 0 0 （5-1） 而右全能近似导数则可以写作 dx xfdxxf dx y xx )()( 00 0 （5-2） 在此，需要指出：当dx被看作数列时，（5-2 ）式两端都是数列. 从微分与理想导数的定义 可以看出：理想导数是“ 0 0 型”的极限，这与马克思数学手稿 7 中的论述

23、较为接近. 例 5.1 求 2 xy在0x的左、右全能近似导数与理想导数 解： 0 0)0( 22 n n n a a a 依定义 5.1 则有 0 0 2 x dx x ，0)0( f 同理，可得 0 0 2 x dx x ，0)0( f 根据理想、近似、全能近似三种导数的定义可知：这三种导数有着相互依赖的关系；而 且，这个关系对于“导数的理论与实际应用问题”的解决，有着重要的作用. 5.2 全能近似导数的一个应用 定理 5.1 (极值定理 ) 设函数)(xf在 0 x的左、右全能近似导数都存在，则)(xf在 0 x取 得极大 (小)值的充要条件是： )0(0 0 xx dx y ，)0(0

24、 0 xx dx y 证：由于类似性，仅对极大值的情形加以证明 http:/ - 7 - 中国 科技论文在线 (1) 必要性 设)(xf在 0 x取得极大值， 则对0意义的任意全能足够小 n a，必有 N 存在， 使Nn时， 0)()( 00 xfaxf n 0)()( 00 xfaxf n 都成立，于是则有 0 )()( 00 n n a xfaxf 0 )()( 00 n n a xfaxf 依据定义 5.1，当全能近似导数存在时，必有 0 0 xx dx y ，0 0 xx dx y 成立，必要性获证 (2) 充分性 设0 0 xx dx y ，0 0 xxdx y 采用反证法证明 设函

25、数)(xf在 0 x处不能取得极大值，则不存在 0 x的足够小邻域，使在这个 邻域内， 0 x两边的函数值都小于)( 0 xf因此，对于任意的 n n 10 1 ，在 0 x的每 一个右邻域),( 00 0 n xxU内，都有正数 na存在，并使 0)()( 00 xfaxf n 不成立 同理，在 0 x的每一个左邻域),( 00 0 n xxU内，都有正数 n a存在，并使 0)()( 00 xfaxf n 不成立 这与0 0 xx dx y 、0 0 xx dx y 的条件相矛盾又由于这可以被看作是一个可 判断真假的二值性逻辑问题，所以可以使用反证法根据反证法，在得到这个矛 盾后，就可以肯

26、定这个函数在 0 x处必定取得极大值证毕 例 5.2 求函数 2 xy的极小值 . 解：在0x左、右全能近似导数分别为 0、0，根据定理5.1，函数在0x处取得 极小值 0 例 5.3 函数xy，在0x左、右全能近似导数分别为 1、+1，根据定理5.1，可以 得到在0x处函数的极小值0 http:/ - 8 - 中国 科技论文在线 例 5.4 函数理想函数 0,1 0, 0 )( t t tfy， 在0t处取得极大值， 但这个函数在这一点不连续. 依据定义5.1， 这个函数在0t处 的左、右导数分别为,；依据定理5.1，这个函数在0t处取得极大值 . 但在现行数 学分析中没有这样可依据的定理.

27、 5.3 近似导数的应用 在第 3节中讲到：“自由落体近似地按照瞬时速度gv2运动的时段长， 是包含了2t 的一个足够小的时段. ”“gtv与足够小时段上平均速度有近似相等的关系；平均速度有 确切的物理意义，那么gtv就通过它与这种平均速度近似相等的关系，才有物理意义. 即 只有在这种近似相等意义下，才可以说：gtv是物体下落的瞬时速度. ”这说明：理想导 数只有通过近似导数，才可以在近似意义具有瞬时速度的物理意义. 这说明：近似导数与理 想导数一样，也是需要提出的有用的术语. 5.4 函数微分与函数增量的关系 定理 5.2(函数增量与微分的等价关系) 设)(xfy在 0 x的左 (右)理想导

28、数存在且不为 0，也不为无穷大， 则对自变数为非0 全能足够小的增加量dx、dx，函数绝对准的增量 y与它的微分之间具有全能近似相等关系，更明确的讲，有等价全能足够小的关系： dxxfxfdxxfy xx )( )()( 000 0 （5-3） dxxfxfdxxfy xx )( )()( 000 0 （5-4） 证：由于类似性，这里只证明定理中的第二个表达式根据等式（5-1） ，表达式 dx xfdxxf dx y xx )()( 00 0 收敛于)( 0xf，于是有 dx xfdxxf dx y xx )()( 00 0 )( 0 xf 两端乘以dx，即为 dxxfxfdxxfy xx )

29、( )()( 000 0 证毕 这个定理说明：函数的微分与函数增量是等价全能足够小即对于函数增量y计算的 任意小误差界，都有自变量增量x的误差界 存在，当x是满足x的足够小时， 可以由xxf)( 0 或xxf)( 0 来代替函数的增量；这个代替的绝对误差小于这种说法， 不同于现行教科书中“x很小”的说法因“x是足够小”有着“相互比较”的意思， 而很小的说法则没有这个意思“相互比较”的含义，就是要求在计算函数绝对准增量y 时，应当针对y的计算误差界 ，算出x为足够小的划分界限 ；“x是足够小”就是 x之意但“x很小”的说法，却无有这个“相互比较”的意义 由此还可以知道：当x固定时，这种近似计算就

30、不一定满足误差界的要求. 此时，就 http:/ - 9 - 中国 科技论文在线 需要采取其它的、更为精确的计算方法，如使用高阶泰勒(Taylor) 多项式去计算函数增量的 方法 进一步地研究可知：对于连续可导函数应用拉格朗日中值公式，可以得到误差界计算公 式 xxfxfxxff)( )( m ax)( )( 00 (5-5) 2 0 )( )( “max)( )( xfxxff(5-6) （式中，、x位于 0 x与xx0 之间） 当对于确定的x，采用式 (5-5)、式 (5-6)所计算出的误差界超出要求的范围时，就不能 用xxf)(代替函数增量 例 5.5 分别在误差界为 1000 1 、

31、100000 1 的要求下，试计算01.1的近似值 解：根据函数微分的定义，取函数xxf)(，1 0 x，01.0x 若x是关于误差界的足够小，则有 005.0)( 0 xxfy 故，005.101.1 那么 x是否是满足要求的足够小呢？因函数在区间01.1 ,1 上存在二阶导数，那么根 据误差界判断公式(5-6)，有 2 2 3 2 )( 1 4 1 )()(xxf 此式在区间01.1 ,1 上的最大值为 000025.0)01.0( 4 1 2 因此满足误差界 1000 1 的要求 . 但对于误差界为 100000 1 的要求， 这个y的近似计算结果不 能满足误差界的要求，就需要使用高阶泰

32、勒公式去计算y的近似值 6结论 作为导数的瞬时速度，只有把它理解为足够小时段上平均速度的近似值时，才有物 理意义 . 近似导数与全能近似导数都是需要提出的技术术语. 函数微分与自变数的微分都应当是无穷数列意义的变数. 本文解决问题的方法与文献8、9 有着本质上的共同点：文献8 解决十进位小数 与理想实数 3 1 的关系时使用的就是全能近似方法 8 ；文献 9 提出的全能近似函数也是在全 能近似方法下进行的 9. 数学是理想与现实、精确与近似相互依存的“交响乐”. 以下为系统生成表格，切勿修改表格内容. http:/ - 10 - 中国 科技论文在线 参考文献 (References) 1 同济

33、大学数学教研室编高等数学上册M ，北京教育出版社，1988，156-157 2 陆传务余明曦马继芳罗汝梅译, A. 鲁宾逊著非标准分析 M ，华中工学院出版，1979，35-36， 41-44，168 3 曹俊云杨健辉著全能近似分析数学理论基础及其应用M ，中国水利水电出版社2009,42-43 ， 51-57,74-78 4 黄宏荃彭 灏 译苏 . . 瑞德尼克著量子力学史话M ，科学出版社1979, 87-90 5 吴咸 怎样认识微分J，自然辩证法杂志1974 年第 2 期 46-55 6 叶彦谦等译， . . 菲赫金哥尔茨著微积分学教程 M ，第一卷第一分册，人民教育出版社1956， 3

34、8 7 马克思数学手稿?导函数的概念 J， 自然辩证法杂志 1974 年第 2 期 1-13 8 曹俊云实数理论中的问题及其改革J/OL. 中国科技论文在线(http:/). 刊载日期 2010，11，10 9 曹俊云全能近似函数的概念及其应用J/OL. 中国科技论文在线(http:/). 刊载日期 2010，12，28 项目基金 中文作者曹俊云 英文作者caojunyun 中文工作单位河南理工大学数信学院，河南焦作，454000 英文工作单位Department of Mathematics,Henan Polytechnic University,jiaozuo 454000 通信联系人曹俊云 作者邮箱 作者电话03913980600 作者手机13782778583 作者简介曹俊云（ 1932- ），男，副教授，从事应用数学与数学基础研究 作者邮编454000 作者地址河南焦作市和平中街3 号院 9 号楼 232 室