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1、1 第 26 届北京市高中力学竞赛决赛试题 （景山学校杯 ） 一、填空题（ 6 小题，每小题 8 分，共 48 分） 1. 北京在地球表面的位置约是东经117o、北纬 37o，莫斯科的位置 约是东经 37o、北纬 56o. 据报道说，习近平主席计划莫斯科时间上午10 点在莫 斯科国际关系学院举行报告. 试估计在北京的时间应是，理由是 . 2. 如图 1 所示，光滑轨道PABCDE 由直轨道和两个半径均相同的圆弧轨道 连接而成 . 小滑块由高 h 的 P 点释放滑下，无论h 取何值，滑块不会脱离轨道 的部分是，可能最先脱离轨道的部分是，经过该部分之后可能 脱离轨道的部分是. 3. 如图 2 所示
2、，一块密度为水密度的1/2 的塑料块连接到轻弹簧的一端，弹 簧另一端固定在桶底，塑料块完全浸没在水中时弹簧伸长5mm。如果水桶以加 速度ga 2 1 匀加速上升，塑料块达到稳定状态 后弹簧伸长mm，理由是 。 4. 体重 60kg 的短跑运动员，在50m 的比 赛中，起跑后的1.0s 内加速，后来匀速，经8.0s 跑到终点 . 我们可估算出运动 员在跑动中的最大功率是 W. （保留两位有效数字） 5. 有一种绳系卫星，母星在确定的轨道上运动，母星上用细绳悬吊一个子 星，如图 3 所示. 稳定时母星和子星间的细绳方向应指向地心，但有时子星会发 生摆动，子星上无动力装置，为消除摆动使细绳方向指向地
3、心，可采取的措施 是，理由是 . 6. 如图 4 所示，一鼓轮放在粗糙地面上，右边紧靠光滑的竖直墙壁，鼓轮 得 分 h A B C D E F O1 O2 R R R R R 图 1 P 图 2 2 图 5 A B C D v1 v1 v2 x y 重量不计，其上由绳索悬吊一重物G，已知 r =R/3，鼓轮与地面间的摩擦因数为 ，鼓轮处于静止平衡状态 . 如果增大 r，其他条件不变，鼓轮是否能处于平衡 状态？答：， 理由是. 二、计算题（共102分） 7. （ 16 分 ） 如图 5 所 示 ， 球 与台 阶 相 碰的 恢 复 系 数 为 e )(接近速度分离速度e ，每级台阶的宽度和 高度相
4、同，均等于l，该球在台阶 上弹跳，每次均弹起同样高度且在 水平部分的同一位置，即AB=CD， 求球的水平速度和每次弹起的高 度，球与台阶间无摩擦 . 8 （16 分）特警战士距墙S0，以速度 0起跳，如图 6 所示，再 用脚蹬墙面一次， 身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙与鞋 底之间的静摩擦因数为 求能使人体重心有最大总升高的起跳角. 9 （20 分）如图 7 所示， A、B、C、D、 E 五 个 杂 技 图 6 S0 图 4 图 3 母星 子星 地心 得 分 得 分 得 分 3 演员在连续靠近放置的跳板上表演杂技他们各自的质量分别为m1，m2，m3， m4和 m5. A 演员从 h1高度跳
5、到第一个跳板上 . B、C、D 接着一个个被竖直向上 弹起后又竖直落下到相邻的跳板上跳板的质量可以忽略，试求E 演员被弹起 的高度 h5是多少？ 10. （25分）如图 8 所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分 别固连着质量为m 的小球 B、D 和 C，开始时静止在光滑的水平桌面上. 桌 面上另有一质量为M 的小球 A，以一给定速度v0 沿垂直于杆DB 的方向与右端小球B 作弹性碰撞 . 求刚碰后小球A、B、C、D 的速度，并详细讨论以 后可能发生的运动情况. 11.（25 分）如图 9 所示，一均匀圆盘， 质量为 M，半径为 R，静止放在一光滑 水平地面上，中心不固定. 质
6、量为 m 的人，初始静止站在圆盘边缘上（人可看 作质点），当人以相对速率u 沿圆盘边缘走动后，盘的转动角速度大小为 )( 3 2 R u Mm m ，求盘心 O 的速度大小 . 第 26 届北京市高中力学竞赛 决赛试题答案 （景山学校杯 ） 一、填空题 1下午 3 点多（2 分）. 地球由西向东自转， 24 小时转一周，经度为360o， 每隔 15o差 1 小时， 117o-37o=80o，约 5 个多小时（ 6 分）. 图 7 图 8 得 分 得 分 O R A .m 图 9 4 2ABC （2 分） .CD（3 分） . EF （3 分）. 37.5 （2 分）. 水和塑料块都超重，F弹=
7、F浮-m塑（g+a）=（水-塑） V 塑（g+a） （6 分）. 42.710 3 （8 分） a= Pm=mav=W 3 107.2 3 20 3 20 60 5子星摆动最低处放绳， 最高 处收绳，放绳时绳拉力对子星做 负功，收绳时做正功，半个周期内 负功绝对值大于正功，拉力总功为 负，子星机械能减小 . （8 分） 6. 能，不能（2 分）.平衡方程为fR=Gr ， ，平衡时（6 分） 二、计算题 7、解：球每次弹起的速度v1都相同，每次落地的速度v2也相同，由能量守 恒： glvvvvglvv yxyx 2,2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 （2 分） 由牛顿碰撞公式：
8、 yy evv 21 （2 分） 在水平方向动量守恒： xxxx vvmvmv 2121 , 由可求得：)2( 1 2 )2(, 1 2 2 2 2 1 分分 e gl v e gl ev yy 平抛公式：， 2 2 1 111 ,gttvytvlgtvv yxyy 令 vy=v2y，由可求得球从弹起到落地的时间： T2 T1 T1T2 A B C D v1 v1 v2 x y 5 代入中即可求得球的水平速度： 令 vy=0，由可求得球达最大高度所需时间： 代入中即可求得球所能达到的最大高度： 8、分析和解：在解答本题时，注意摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量，抓住 主要因素忽略次要因素，是经常
9、用到的手段. 人以角 起跳，水平初速度和竖直初速度分别为 00cosx ， 00siny 从起跳到蹬墙时空中飞行的时间为 则人蹬墙前竖直方向的速度为 人重心升高： 222 000 1000 000 111 sin()tan() 2cos2cos2cos y sss htgtgsg（6 分） 设人蹬墙的时间为 t，因t 很小，则静摩擦力的冲量远大于人体重力的冲 量，即 fG II ，由动量定理得： fy IN tm 而在水平方向同样由动量定理可知：cos xxo N tmmm （3 分） 人蹬墙后获得竖直向上的速度： 0 00 0 sincos cos yyy gs 人蹬墙后再上升的高度 人体重
10、心上升的总高度： 22 0 120 (sincos ) 2 Hhhs g 令 tan=，则 对 0 、s0一定时，当 2 时 H 最大 6 即 1 arctan时，人体的重心总升高最大 （7 分） 9、 解：首先我们注意一下图中的翘板，中间是一个无限重的支柱A 演员跳到 翘板的一端，同时把B 演员弹到空中，我们可以看作是演员间“通过”翘板的 碰撞假定碰撞的持续时间很短，由此我们可以不考虑 重力对碰撞本身的影响，因为在碰撞的时间t 里，每一个演员和重力相关的冲 量矩（对翘板中心计算）与t 成正比，是非常小的 碰撞时翘板支点是不动的， 我们可以采用角动量守恒定律来研究又由于翘 板非常轻，我们可以认
11、为翘板的转动惯量为零. 根据题中后面的说明和上面的假 设我们可以认为碰撞时机械能是守恒的，也就是说是弹性碰撞. 令 1表示 A 演员碰撞后的速度 .1与图上的1指向同一个方向 . 由系统的角 动量和机械能守恒，可以写出 111122 mrmrmr（4 分） 222 111122 111 222 mmm（4 分） 解这个方程组，我们得到两组解 1） 1，2 0 2） 12 1 12 mm mm ， 1 21 12 2m mm （2 分） 第一组解相当于碰撞之前；而第二组解相当于碰撞之后. B 演员跳到相邻的 翘板上， 在碰撞的瞬间速度是 2. 相继而来的过程和第一次完全相似 . 因此以后 的演员
12、弹起的速度相应地为 2 32 23 2m mm ， 3 43 34 2m mm ， 4 54 45 2m mm （5 分） 将前面的计算结果代人，可得E 演员弹起的速度为 7 m m m M D B C A V0 22222 0ABCD 11111 + 22222 MMmmvvmvvv 1234 5 12233445 16 ()()()() mm m m mmmmmmmm （3 分） 所求的高度 h5可以利用下式计算 11 2gh ， 55 2gh 于是得到 2 1234 51 12233445 16 ()()()() m m m m hh mmmmmmmm （2 分） 10、解析小球 A、B
13、 碰撞瞬间，球A 挤压 B，其作用力方向垂直于 杆，使球B 获得沿 0 v 方向的速 度 Bv . 从 而在 碰撞 瞬间使 小球 C、D 的速度也沿 0 v 方向 . 对质 点组 B、C、D 与 A 组成的系统， 碰撞前后动量守恒。 由于小球 C位于由 B、 C、 D 三球组成的质点组的质心处， 所以小球 C的速度也就是质点组的质心速度. 可得： 0AC 3MMmvvv （1）（4 分） 质点组 B、C、D 与 A 是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等。碰撞 后 A、B、C、D 的速度分别为 Av 、 Bv 、 Cv 、 Dv ，得 （2） （4 分） 对质点组B、C、D 在碰撞瞬间，在B 处
14、受到A 球的作用力，若取B （与 B 球重合的空间固定点）为参考点，则质点组B、C、D 在碰撞前后，外 力矩等于零，所以质点组角动量守恒. 可得 CD 02mlmlvv （3） （4 分） 由杆的刚性条件有： DccB vvvv （4）（4 分） 由（ 1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）式，可得 8 C0 4 56 M Mm vv （ 5 ） A0 56 56 Mm Mm vv （ 6） B0 10 56 M Mm vv （7） D0 2 56 M Mm vv （8） （4 分） 碰撞后各小球的运动 碰撞 后， 质 点 组 B、C、 D 不 受 外 力 作 用 ， 其 质 心 作 匀 速
15、 运 动 ， 即 C0 4 56 M Mm vv ， （2 分） 碰撞后， B、D 两小球将绕小球C 作匀角速度转动，角速度的大小为 0 6 56 B M lMm C vvv l. （2 分）方向为逆时针方向. 由（ 6）式可知，碰 后小球 A 的速度的大小和方向与M、m 的大小有关，由于M、m 取值不同而 导致运动情形比较复杂，即可以使 A 0v = ； A 0v 且 AC vv ； AC vv 情景的出现，在此不作详细讨论. （1 分） 11、解：如图，人相对盘边沿P处的速度为u P相对盘心的速度Rvpo 0 盘心 O对地速度为 0 v 人对地速度 00 vRuv人 （5 分） 人、盘系统质心 C静止 某一时刻 t ，O 、C、m总共线， 人v 、 0 v 、u、 R 0 垂直此直线。 根据动量守恒定律的 建立图示正方向，则 0 v 、R 0 沿正方向，u沿负方向，因此 0 00 uRvmMv（10 分） ) 3 2 ( )( )( 0 Mm mu um Rum RmmuvmM （5 分） P m . + O C 9 （5 分） Mm mu v 3 0