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1、1 授课主题万有引力与重力的关系 教学目的理解万有引力与重力之间的关系及会运用知识解此类问题 授课日期及时段 ;3课时 教学内容 一， 本周错题讲解 二， 知识归纳 考点梳理 (1). 基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供， 即： r v m r Mm 2 2 r T 2 2 4 (2).估算天体的质量和密度 由 G 2 r Mm r T 2 2 4 得： 2 32 4 Gt r 即只要测出环绕星体M运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出 中心天体的质量. 由 V M ， 3 4 得： 32 3 3 RGT r R为中心天体的星体半径 特殊 : 当时，即卫
2、星绕天体M表面运行时， 2 3 GT (2003 年高考 ) ，由此可以测量天体的密度. (3) 行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题 2 表面重力加速度g0, 由 0 2 GMm mg R 得： 0 2 GM g R 轨道重力加速度g，由 2 () GMm mg Rh 得： 2 2 0 () () GMR gg RhRh () 卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系 (1) 由 r v m r Mm 2 2 得: r GM 即轨道半径越大，绕行速度越小 (2) 由 2 r Mm 得： 3 r GM 即轨道半径越大，绕行角速度越小 (3) 由 2 22 4Mm Gmr rT 得： 3 2
3、r T GM 即轨道半径越大，绕行周期越大. () 地球同步卫星 所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T24h要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正 上方某一确定高度h 由: 2 22 4 () Mm m RhT （）得： 2 3 2 4 hR GMT =3.6 10 4 =5.6 表示地球半径 三.热身训练 1把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得 A火星和地球的质量之比B火星和太阳的质量之比 C火星和地球到太阳的距离之比D火星和地球绕太阳运动速度之比 2. 宇航员在探测某星球时，发现该星球均匀带电，且电性为负，电荷量为Q在一次实验时，宇
4、航员将一带负电 q （qmv 2/r, 故它将偏离原轨道做向 心运动。所以无论如何c 也追不上b，b 也等不到c，故 C 选项错。对这一选项，不能用 GM v r 来分析 b、c 轨道半 径的变化情况。对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视 为稳定运行，由 GM v r 知， r 减小时 V 逐渐增大，故项正确。常见错解：；认为 c 加速可追上b 而错选 C。 4.设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有x 2+h2=L2 由平抛运动规律得知，当初速度增大到2 倍时，其水平射程也增大到2x，可得 （2x） 2+h2= ( 3L) 2
5、 设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：h= 2 1 gt 2 在星球表面上，由万有引力定律与牛顿第二定律得：mg= G 2 R Mm 联立式解得： 2 2 2 3 3 LR M Gt 5. 如果周期是12 小时，每天能对同一地区进行两次观测。如果周期是6 小时，每天能对同一纬度的地方进行四 4 次观测。如果周期是 n 24 小时，每天能对同一纬度的地方进行n 次观测。 设上星运行周期为T1，则有 2 1 2 2 )(4 )(T Rh m Rh Mm G 物体处在地面上时有gm R GMm 02 0 解得： g Rh R T 3 1 )(2 在一天内卫星绕地球转过的圈数为 1 T n
6、 T ，即在日照条件下有n 次经过赤道上空，所以每次摄像机拍摄的赤道 弧长为 1 22RR ST nT ，将 T1结果代入得 g Rh T S 32 )(4 真题演练 12010重庆 1月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统， 他们都围绕月球连线上某点O 做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O 点运动生物线速度大小之比约为 A1：6400 B.1:80 C. 80:1 D:6400:1 2. 2010天津 6 探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前 相比 A.轨道半径变小B.向心加速度变小 C
7、.线速度变小D.角速度变小 3. 2010 全国卷 21 已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6 倍。若某行星的平均密度为地球平均密度 的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5 倍，则该行星的自转周期约为 A 6 小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时 4. 2010 江苏物理62009 年 5 月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道进入椭 圆轨道， B 为轨道上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 （A）在轨道上经过A 的速度小于经过B 的速度 （B）在轨道上经过A 的动能小于在轨道上经过A 的动能 （C）在轨道上
8、运动的周期小于在轨道上运动的周期 （D）在轨道上经过A 的加速度小于在轨道上经过A 的加速度 5 52010海南物理10 火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公 转半径的1.5 倍。根据以上数据，以下说法正确的是 A火星表面重力加速度的数值比地球表面小 B火星公转的周期比地球的长 C火星公转的线速度比地球的大 D火星公转的向心加速度比地球的大 6. 2010 全国卷25 如右图，质量分别为m 和 M 的两个星球A 和 B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球 A 和 B 两者中心之间距离为L。已知 A、B 的中心和O 三点始终共线，A 和 B 分别
9、在 O 的两侧。引力常数为G。 求两星球做圆周运动的周期。 在地月系统中， 若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常 认 为 月 球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量 分 别 为 5.98 10 24kg 和 7.35 10 22kg 。求 T 2与 T1两者平方之比。（结果保留 3 位小数） 1 月球和地球绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球和 地球和O 始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有RMrm 22 ，
10、所以 m M R r V v ，线速度 和质量成反比，正确答案C。 2A 312 小时。地球的同步卫星的周期为T1=24 小时，轨道半径为r1=7R1，密度 1。某行星的同步卫星周期为 T2，轨道 半径为 r2=3.5R2，密度 2。根据牛顿第二定律和万有引力定律有 1 2 1 1 2 1 3 111 ) 2 ( 3 4 r T m r RGm 4ABC 5AB 6. )( 2 3 mMG L T 1.01 A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动， 它们之间的万有引力提供向心力，则 A 和 B 的向心力相等。 且 A 和 B 和 O 始终共线， 6 A O 说明 A 和 B 有相同的角速度和周期。
11、因此有 RMrm 22 ，LRr，连立解得L Mm m R，L Mm M r 对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L mM M T m L GMm 2 2 ) 2 ( 化简得 )( 2 3 mMG L T 将地月看成双星，由得 )( 2 3 1 mMG L T 将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得L T m L GMm 2 2 ) 2 ( 化简得 GM L T 3 2 2 所以两种周期的平方比值为 01.1 1098.5 1035.71098. 5 )( 24 2224 2 1 2 M Mm T T 五，课后作业 1 【2012?湖北联考】经长期观测发现，A 行星运
12、行的轨道半径为R0，周期为T0 但其实际运行的轨道与圆轨道总存 在一些偏离， 且周期性地每隔t0 时间发生一次最大的偏离如图所示， 天文学家认为形成这种 现 象 的 原 因可能是 A 行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B 运动轨道半径为（） A 0 3 0 00 2 ()2 t RR tT B Tt t RR 0 0 0 C 3 2 00 0 0 )(Tt t RR D 3 00 2 0 0 Tt t RR 2 【2012?北京朝阳期末】2011 年 12 月美国宇航局发布声明宣布，通过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第一颗 类似地球的、可适合居住的行星。该行星被命名为开普勒一22b（K
13、epler 一 22b） ，距离地球约600 光年之遥，体积是 地球的24 倍。这是目前被证实的从大小和运行轨道来说最接近地球形态的行星，它每290 天环绕着一颗类似于太 阳的恒星运转一圈。若行星开普勒一22b 绕恒星做圆运动的轨道半径可测量，万有引力常量G 已知。根据以上数据可 以估算的物理量有（） A.行星的质量B行星的密度C恒星的质量D恒星的密度 3 【2012?江西联考】如右图，三个质点a、b、 c 质量分别为m1、m2、 M（M m1，M m2） 。在 c 的万有引力作 用下， a、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta Tb=1k；从图示位置开始，在b
14、 运动一周的过程中，则（） Aa、b 距离最近的次数为k 次 Ba、b 距离最近的次数为k+1 次 Ca、b、c 共线的次数为2k Da、b、c 共线的次数为2k-2 7 4 【2012?安徽期末】 2011 年 8 月 26 日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾 经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成。若已知万有引力常量，还需知道哪些信息可以 计算该行星的质量（） A该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径 B该行星的自转周期与星体的半径 C围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径 D围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期
15、及公转线速度 5 【2012?黄冈期末】质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质 量为 M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（） A线速度 GM v R B角速度= gR C运行周期 2 R T g D向心加速度 2 Gm a R 1 【答案】 A 【解析】 A 行星发生最大偏离时，A、B 行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧，设行星B 的运行周期为T、半 径为 R，则有 0 0 22 2 TT t ，所以 00 00 t T T tT 同开普勒第三定律得 3 3 2 RR TT 0 2 0 ，
16、0 3 0 00 2 ()2 t RR tT 所以选项A 正确 . 2【答案】 C 【解析】由万有引力定律和牛顿第二定律卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，由 2 2 2 4 T mr r Mm G 求得地球质量 2 32 4 GT r M ，所以选项C 正确 3 【答案】 D 【解析】在b 转动一周过程中，a、b 距离最远的次数为k-1 次， a、 b 距离最近的次数为k-1 次，故 a、b、c 共线的次 数为 2k-2，选项 D 正确。 4 【答案】 CD 【解析】由万有引力定律和牛顿第二定律卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛 顿第二定律得 2 2 2 2 2 4 T mrmr r v m r Mm G ；若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T、角速度或线速度 v，可求得中心天体的质量为 G r GT r G rv M 32 2 322 4 ，所以选项CD 正确 5 【答案】 AC 8 【解析】由万有引力等于向心力G 2 Mm R =m 2 v R 可得线速度 GM v R ，选项 A 正确；角速度=v/R= 3 GM R = g R ， 选项 B 错误；运行周期T=2R/v=2 R g ，选项 C 正确；由 G 2 Mm R =ma 可得向心加速度 2 GM a R ，选项 D 错误。