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1、 圆的有关性质一、选择题1. （2014山东潍坊，第6题3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在0上，顶点C在O直径BE上，连接AE，E=36，则ADC的度数是( ) A,44 B54 C72 D53考点：圆周角定理；平行四边形的性质分析：根据平行四边形的性质得到ABC=ADC，再根据圆周角定理的推论由BE为O的直径得到BAE=90，然后根据三角形内角和定理可计算出ABE的度数解答：BE为O的直径，BAE=90，ABC =90AEB=54四边形ABCD为平行四边形，ADC=ABC=54，故选B点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
2、角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径也考查了平行四边形的性质2.(2014年贵州黔东南6（4分）)如图，已知O的直径CD垂直于弦AB，ACD=22.5，若CD=6cm，则AB的长为（）A4cmB3cmC2cmD2cm考点：圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理菁优网专题：计算题分析：连结OA，根据圆周角定理得AOD=2ACD=45，由于3O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE=BE，且可判断OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算解答：解：连结OA，如图，ACD=22.5，AOD=2ACD=45，O的直径CD垂直于弦AB，
3、AE=BE，OAE为等腰直角三角形，AE=OA，CD=6，OA=3，AE=，AB=2AE=3（cm）故选B点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理3. （2014山东临沂,第9题3分）如图，在O中，ACOB，BAO=25，则BOC的度数为（）A25B50C60D80考点：圆周角定理；平行线的性质分析：由ACOB，BAO=25，可求得BAC=B=BAO=25，又由圆周角定理，即可求得答案解答：解：OA=OB，B=BAO=25，ACOB，BAC=B=25，BOC=2BAC=50故选B点评：此题考查了
4、圆周角定理以及平行线的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用4（2014四川凉山州，第12题，4分）已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）AcmBcmCcm或cmDcm或cm 考点：垂径定理；勾股定理专题：分类讨论分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论解答：解：连接AC，AO，O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；当C点位
5、置如图2所示时，同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，AC=2cm故选C点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键5（2014四川泸州，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数y=x的图象被P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A4BCD解答：解：作PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连结PB，如图，P的圆心坐标是（3，a），OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，D点坐标为（3，3），CD=3，OCD为等腰直角三角形，PED也为等腰直角三角形，PEAB，AE=
6、BE=AB=4=2，在RtPBE中，PB=3，PE=，PD=PE=，a=3+故选B点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质6（2014四川内江，第7题，3分）如图，O是ABC的外接圆，AOB=60，AB=AC=2，则弦BC的长为（）AB3C2D4考点：垂径定理；圆周角定理；解直角三角形分析：如图，首先证得OABC；然后由圆周角定理推知C=30，通过解直角ACD可以求得CD的长度则BC=2CD解答：解：如图，设AO与BC交于点DAOB=60，OB=OA，OAB是等边三角形，BAO=60，即BAD=60又AB=AC，=ADBC，
7、BD=CD，在直角ABD中，BD=ABsin60=2=，BC=2CD=2故选：C点评：本题考查了解直角三角形，圆周角定理等知识点推知OAB是等边三角形是解题的难点，证得ADBC是解题的关键7（2014甘肃兰州,第13题4分）如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）AAE=BEB=COE=DEDDBC=90考点：垂径定理；圆周角定理分析：由于CDAB，根据垂径定理有AE=BE，弧AD=弧BD，不能得出OE=DE，直径所对的圆周角等于90解答：解：CDAB，AE=BE，=，CD是O的直径，DBC=90，不能得出OE=DE故选C点评：本题考查了垂径定理解题的
8、关键是熟练掌握垂径定理的内容二、填空题1. （2014四川巴中，第17题3分）如图，已知A、B、C三点在O上，ACBO于D，B=55，则BOC的度数是考点：圆周角定理分析：根据垂直的定义得到ADB=90，再利用互余的定义计算出A=90B=35，然后根据圆周角定理求解解答：ACBO，ADB=90，A=90B=9055=35，BOC=2A=70故答案为70点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半2（2014湖南张家界，第16题，3分）如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，
9、P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为考点：垂径定理；等腰梯形的性质专题：压轴题分析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解答：解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，OE=3，OF=4，CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为点评：正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键3. （2014江西抚州，第13题，3分） 如图，ABC内接
10、于O ,OAB=20,则C的度数为.解析：OA=OB,OBA=OAB=20,AOB=140,C=AOB=70 4. (2014年山东东营,第16题4分)在O中，AB是O的直径，AB=8cm，=，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是8cm考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理菁优网分析：作点C关于AB的对称点C，连接CD与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出CD为直径，从而得解解答：解：如图，作点C关于AB的对称点C，连接CD与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，=，=，=，AB为直径
11、，CD为直径，CM+DM的最小值是8cm故答案为：8点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键5（2014四川南充，第14题，3分）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是（结果保留）分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2），以及勾股定理即可求解解：设AB于小圆切于点C，连接OC，OBAB于小圆切于点C，OCAB，BC=AC=AB=8=4cm圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2）
12、又直角OBC中，OB2=OC2+BC2圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2）=BC2=16cm2故答案是：16点评：此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系6（2014甘肃兰州,第18题4分）如图，ABC为O的内接三角形，AB为O的直径，点D在O上，ADC=54，则BAC的度数等于 考点：圆周角定理分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得ACB=90，继而求得答案解答：
13、解：ABC与ADC是所对的圆周角，ABC=ADC=54，AB为O的直径，ACB=90，BAC=90ABC=9054=36故答案为：36点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用三、解答题1. （2014上海，第25题14分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）联结AP，当APCG时，求弦EF的长；（3）当AGE是等腰
14、三角形时，求圆C的半径长考点：圆的综合题分析：（1）当点A在C上时，点E和点A重合，过点A作AHBC于H，直接利用勾股定理求出AC进而得出答案；（2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF的长；（3）当AEG=B时，A、E、G重合，只能AGE=AEG，利用ADBC，得出GAEGBC，进而求出即可解答：解：（1）如图1，设O的半径为r，当点A在C上时，点E和点A重合，过点A作AHBC于H，BH=ABcosB=4，AH=3，CH=4，AC=5，此时CP=r=5；（2）如图2，若APCE，APCE为平行四边形，CE=CP，四边形APCE是菱形，连接A
15、C、EP，则ACEP，AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则ACB=B，CP=CE=，EF=2=；（3）如图3：过点C作CNAD于点N，cosB=，B45，BCG90，BGC45，AEG=BCGACB=B，当AEG=B时，A、E、G重合，只能AGE=AEG，ADBC，GAEGBC，=，即=，解得：AE=3，EN=ANAE=1，CE=点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出AGE是等腰三角形时只能AGE=AEG进而求出是解题关键2. （2014山东烟台，第24题8分）如图，AB是O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂
16、足为点B，点D在PC上设PCB=，POC=求证：tantan=考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接AC先求出PBDPAC，再求出=，最后得到tantan=解答：证明：连接AC，则A=POC=，AB是O的直径，ACB=90，tan=，BDAC，BPD=A，P=P，PBDPAC，=，PB=0B=OA，=，tanatan=点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出PBDPAC，再求出tantan=3.（2014遵义26（12分）如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB=90，且ABC=60，AB=BC，ACD的外接圆O交BC于E点，连接
17、DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F（1）求证：CF=DB；（2）当AD=时，试求E点到CF的距离考点：圆的综合题专题：综合题分析：（1）连结AE，由ABC=60，AB=BC可判断ABC为等边三角形，由ABCD，DAB=90得ADC=DAB=90，则根据圆周角定理可得到AC为O的直径，则AEC=90，即AEBC，根据等边三角形的性质得BE=CE，再证明DCEFBE，得到DE=FE，于是可判断四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质得CF=DB；（2）作EHCF于H，由ABC为等边三角形得BAC=60，则DAC=30，在RtADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DC=AD=
18、1，AC=2CD=2，则AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理计算出BD=，DF=2，所以CF=BD=，EF=DF=，接着根据等边三角形的性质由AEBC得CAE=BAE=30，根据圆周角定理得EDC=CAE=30，而DCA=BAC=60，得到DPC=90，在RtDPC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得PC=DC=，再证明RtFHERtFPC，利用相似比可计算出EH解答：（1）证明：连结AE，如图，ABC=60，AB=BC，ABC为等边三角形，ABCD，DAB=90，ADC=DAB=90，AC为O的直径，AEC=90，即AEBC，BE=CE，CDBF，DCE=FBF，在
19、DCE和FBE中，DCEFBE（ASA），DE=FE，四边形BDCF为平行四边形，CF=DB；（2）解：作EHCF于H，如图，ABC为等边三角形，BAC=60，DAC=30，在RtADC中，AD=，DC=AD=1，AC=2CD=2，AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，在RtABD中，BD=，在RtADF中，DF=2，CF=BD=，EF=DF=，AEBC，CAE=BAE=30，EDC=CAE=30，而DCA=BAC=60，DPC=90，在RtDPC中，DC=1，CDP=30，PC=DC=，HFE=PFC，RtFHERtFPC，=，即=，EH=，即E点到CF的距离为点评：本题考查了圆的综合题
20、：熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会运用勾股定理和相似比进行几何计算4. (2014年湖北咸宁13（3分）)如图，在扇形OAB中，AOB=90，点C是上的一个动点（不与A，B重合），ODBC，OEAC，垂足分别为D，E若DE=1，则扇形OAB的面积为考点：三角形中位线定理；垂径定理；扇形面积的计算菁优网分析：连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长利用勾股定理、OA=OB，且AOB=90，可以求得该扇形的半径解答：解：连接AB，
21、ODBC，OEAC，D、E分别为BC、AC的中点，DE为ABC的中位线，AB=2DE=2又在OAB中，AOB=90，OA=OB，OA=OB=AB=，扇形OAB的面积为：=故答案是：点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键5（2014四川南充，第24题，8分）如图，已知AB是O的直径，BP是O的弦，弦CDAB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BFBO试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知O的半径为3，sinB=求弦CD的长
22、分析：（1）连接OP，先由EP=EG，证出EPG=BGF，再由BFG=BGF+OBP=90，推出EPG+OPB=90来求证，（2）连接OG，由BG2=BFBO，得出BFGBGO，得出BGO=BFG=90得出结论（3）连接AC、BC、OG，由sinB=，求出r，由（2）得出B=OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度（1）证明：连接OP，EP=EG，EPG=EGP，又EPG=BGF，EPG=BGF，OP=OB，OPB=OBP，CDAB，BFG=BGF+OBP=90，EPG+OPB=90，直线EP为O的切线；（2）证明：如图，连接OG，BG2=BFBO
23、，=，BFGBGO，BGO=BFG=90，BG=PG；（3）解：如图，连接AC、BC、OG，sinB=，=，OB=r=3，OG=，由（2）得EPG+OPB=90，B+BGF=OGF+BGO=90，B=OGF，sinOGF=OF=1，BF=BOOF=31=2，FA=OF+OA=1+3=4，在RTBCA中，CF2=BFFA，CF=2CD=2CF=4点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值6（2014福建福州,第20题11分）如图，在ABC中，B=45，ACB=60，点D为BA延长线上的一点，且D=ACB，O为ABC的外接圆.（1）求B
24、C的长；（2）求O的半径.【答案】（1）.（2）2.【解析】.（2）由（1）得，在RtACE中，EAC=30，EC=，AC=.D=ACB，B=B，BACBCD. ，即.DM=4.O的半径为2.考点：1. 锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理.7、（2014广州,第23题12分） 如图6，中，（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点（保留作图痕迹，不写作法）：（2）综合应用：在你所作的圆中，求证：；求点到的距离 【考点】（1）尺规作图；（2）圆周角、圆心角定理； 勾股定理，等面积法【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆. （2）要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化. 首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.【答案】（1）如图所示，圆为所求 （2）如图连接，设, 又 则 连接,过作于,过作于cosC=, 又 ,又为直径 设，则，在和中，有即解得：即又即