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1、 二次函数的押轴题解析汇编一 二次函数 1. （2011黑龙江绥化，19，3分）已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论： a0 bo c0 9a+3b+c0,正确；因对对称轴，a、b异号，所以b0,错；图象与y轴交于负半轴，c0,错；根据对称性，图象与x轴正半轴的交点的横坐标应大3而小于4，所以当x=3，y0,即9a+3b+c0 B、方程 的两根是x1=1，x2=3 C、2ab=0 D、当x0时y随x的增大而减小。【解题思路】由图像可知a0所以ac0,因此A是错误的。因为对称轴为直线x=1，图像与x轴的一个交点是（3,0）根据对称性图像与x轴的另一个交点是（1,0）所以方程 的两根是x1=1
2、，x2=3因此B是正确的。因为对称轴为直线x=1，即所以2a+b=0，因此C是错误的。因为对称轴为直线x=1，根据图像0x1时y随x的增大而增大，因此D是错误的。【答案】B【点评】本题主要考察二次函数的有关性质：1、当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口，抛物线与y轴交于（0，c）。2、方程 的根即是与x轴的交点。3、对称轴为直线x=。4、al Cl Dl【解题思路】本题主要考察二次函数图像的性质，因a=10,所以当xm时随的增大而减小，当xm时随的增大而减大，由题意得m1，故选C.【答案】C 【点评】本题主要考察二次函数图像的性质,和变量取值范围结合是一道较好的题目，中等难度BC
3、ADNM5.（山东省威，12,3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止.设AMN的面积y（cm2）,运动时间x（秒），则下列图像中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）.1xyO1231B1xyO1231A1xyO1231C1xyO1231D【解题思路】分三种情况，即N在AD、DC、CB上分别表示出AMN，即y与x的关系，结合表达式来判断图形.【答案】B.【点评】分三种情况，点N在AD上时，y=AMAN=x3x=x2(0x1) ; N在DC上时，y=A
4、MAD=x3=x(1x2) ; N在CB上时，y=AMBN=x(9-3x)=-x+x (2x3).结合三个解析式得到相应图形.难度较小.9（2011四川绵阳12，3）若x1，x2(x1x2)是方程(xa)(xb)1(ab)的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）Ax1x2abBx1ax2bCx1abx2Dax1bx2【解题思路】作出二次函数y(xa)(xb)与直线y1的图象，两图象的交点的横坐标就是方程(xa)(xb)1的两个根，即x1，x2，而a，b是二次函数y(xa)(xb)与x轴的两个交点的横坐标，由图象知，x1abx2故选C【答案】B【点评】某个方程的解，可以看作是两个函数
5、的交点的横坐标，画出图象即可得解10（2011山东聊城 9，3分）下列四个函数图象中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（ ）【解题思路】根据函数图象，可以判断A选项是一次函数，函数值随自变量的增大而增大，B选项是反比例函数，在每一象限内函数值随自变量的增大而增大，C开口向上的二次函数，当时，有一部分是减小的，另一部分是增大的。【答案】D【点评】本题主要考查了根据图象判断函数增减性的知识，解决问题的关键是根据图像的变化趋势做出判断。11.（2011山东 济宁12、3分）将二次函数y=x2-4x+5化成 y=(x-h)2+k的形式，则y= 。【解题思路】此题要将y=x2-4x+5配方，y=x2
6、-4x+5= x2-4x+4+1=（x-2）2+1【答案】y=(x-2)2+1【点评】此题考查将二次函数的一般式转化成顶点式，实质是把代数式化成含有完全平方式，重点考查配方法。难度中等。12. （2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【解题思路】抛物线向左平移两个单位变为，再向下平移3个单位变为。【答案】B【点评】主要考察抛物线平移的理解，左右平移变化横坐标，上下平移变化纵坐标。
7、特别注意符号的不同。难度较小。13（2011山东菏泽，8，4分）如图为抛物线的图像,A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 ( ) A. B. C. b2a D. ac0 【解题思路】由题意可知A(-1，0),C（0，1），于是有，所以a-b=-1，答案D正确【答案】B【点评】二次函数的性质是二次函数中非常重要的一个内容，充分借助图形获取相关的信息是解题的关键。难度中等。14 （2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程的两个实数根、满足和，那么二次函数的图象有可能是（ ）【解题思路】因为x1x2=3，所以两根应全正或全负，即x10，x20，x20，
8、又因为x1+x2=4，所以两根应全为正数，即x10，x20，所以二次函数图象为C选项【答案】C【点拨】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c，与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系解决此题的关键是：一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是二次函数y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标难度中等yx11O（A）yx1-1O（B）yx-1-1O（C）1-1xyO（D）15（2011山东德州，6，3分）已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是第6题图 【解题思路】由二次函数图像，开口向上，a0，再由对称轴得：b0，开口向下，a0，负半轴c0，过原点c=0本题是一次函数和二次函
9、数的综合题，考查了学生对图象的理解运用能力，有一定难度16（2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x765432y27133353则当x=1时，y的值为 （ ）A.5 B.3 C.13 D.27【解题思路】由于当x=4与2时，y的值总等于3，结合抛物线的轴对称性，得抛物线的对称轴为直线x=3. 显然当x=1与x=7的函数值也相等.【答案】D 【点评】本题假如从三组x、y的值求出此题解答，那么较繁. 根据抛物线的对称性巧妙求解当x=1时y的值.，这里渗透了数形结合的数学思想. 难度较高.17（2011山东聊城 12，3分）某公园草坪的防护栏是由
10、100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为（ ）A B CDBDOxyCA【解题思路】建立如上图所示的直角坐标系，可以求得抛物线解析式为，A点的坐标为（），C点坐标为（）。把代入抛物线解析式得，即把代入抛物线解析式得，这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为.【答案】C【点评】首先根据题意建立合适的平面直角坐标系,确定抛物线解析式,然后根据二次函数的对称性进行解决，本题主要考查了学生建立合适的坐标系，运用二次函数解决实际问题的能力，具有一点难度18（2011山东 济宁8、3分
11、）已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x01234y41014点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数的图象上，则当1x12,3x2 y2 B. y1 10)只，可得到每只应降低0.1(x-10)元，若按最低价购买，则应就降低20-16=4元，即有0.1(x-10)=4；（2）应根据x的取值情况分成三种情况，当0x10时，每只售价为20元，所以y=20x-13x=7x；当10x50时，每只售价为16元，所以y=16x-13x=3x；（3）由二次函数的性质可求出最大利润。【答案】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有：0.1(x-10)=20
12、-16,解这个方程得x=50; 答一次至少买50只，才能以最低价购买；(2) （说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）；(3)将配方得，所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元。（也可用公式法求得）。【点评】在实际问题中，要充分借助相应的数量关系列出函数关系式。解本题的关键是对x的取值进行讨论，从而求出每只计算器的实际售价。难度较大。26（2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米
13、，OC=8米。（1） 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2） 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）（3） 为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）【解题思路】问题一、建立适当的直角坐标系：以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系使的二次函数的解析式最简单。只要A点的坐标即可求出函数的解析式。问题二、求在OC上一点到A、
14、B两点距离之和最短，需做A关于OC 的对称点D，在连接对称点D和另外一点B与OC 的交点即为所求。问题三、求O、P之间的距离就是直线DB与y轴交点纵坐标的长度，需要求出DB的解析式。【答案】解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系1分设抛物线的函数解析式为,2分由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，3分所以8=a，解得a=,故所求抛物线的函数解析式为4分（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D, 5分则点A、D关于OC对称。连接BD交OC于点P，则点P即为所求。6分（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，所以点B的坐标为（2，2）7分又知点A
15、的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8）8设直线BD的函数解析式为y=kx+b，9则有10解得k=-1,b=4. 故直线BD的函数解析式为y=-x+4，11把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。12【点评】本题为二次函数、几何作图相联系的一个问题，学生只有对这两部分掌握的比较好才能顺利完成，注意作图和坐标系的联系，还有坐标和线段长度的联系。难度较大。27（2011山东泰安，28 ，10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5元.（1）当售
16、价定为每件30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【解题思路】（1）一个月的获利等于该月每件小商品的利润与售出的小商品的数量之积，即：利润=（售价进价）销售量；（2）先构造二次函数，然后通过配方或利用顶点坐标公式求出最值.【答案】（1）获利：（3020）1055（3025）=800（元）；（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元.由题意，得：y=(x20)1055（x25）=5x2+330x4600=5(x33)2+845当x=33时，y的最大值是845.故当售价为定价格为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元.【点评】利用二次
17、函数解决最优化问题时，首先要根据题意构建二次函数关系式，然后再求出的其最值. 本题以实际生活中商品买卖为问题情景，考查学生数学建模能力，渗透了数学来源于生活的理念. 难度较小.28.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3,0），点B（1,0），交y轴于点E（0，-3），点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线y=-x+m过点C，交y轴于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；AxBCDHEFGKOxylABCDHEFGKOyl备用图图（3）
18、在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.【解题思路】第（1）小题用交点式表示出二次函数的表达式，再将抛物线与y轴的交点坐标代入求得a的值，得出二次函数的表达式；第（2）小题中，H、G的横坐标相同，用一字母t表示出H、G两点的坐标，其长度就是两点纵坐标之差，这样得到长度关于t的二次三项式，结合t的取值范围，求的HG的最大值；第（3）小题要分AC是对角线和边两种情况来讨论，AC为边时，点M、N的左右位置不一样，结果又不一样，考虑要周到，运算一定要仔细【答案】解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)(x+3). 抛物线交y轴于点E（0
19、，-3），将该点坐标代入得a=1, 抛物线的函数表达式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3. (2) 点C是点A关于点B的对称点，点A的坐标为（-3,0），点B的坐标（1,0）， 点C的坐标（5,0）. 将点C的坐标代入y=-x+m,得m=5，直线CD的函数表达式为y=-x+5.设K点的坐标为（t,0）,则H点坐标为(t,-t+5),点G的坐标为（t,t2+2t-3）.点K为线段AB上一动点，-3t1.HG=(-t+5)-(t2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+)2+.-3t1.当t=-时，线段HG的长度有最大值.（3）点F是线段BC的中点.点B（1,），点C（5,0），点F的坐标
20、为（3,0），直线l过点F且与y轴平行，直线l的函数表达式为x=3,点M在直线l上，点N在抛物线上，设点M的坐标为（3，m）,点N的坐标为（n,n2+2n-3）.点A（-3,0），点C（5,0）. AC=8.分情况讨论：若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的边，则须MNAC,且MN=AC=8，当点N在点M的左侧时，MN=3-n，3-n=8，解得n=-5，点N的坐标为（-5，,1）；当点N在点M的右侧时，MN= n-3，n-3=8，解得n=11，点N的坐标为（11，140）.若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C是点A关于点B的对称点”知：点M与点N关于点
21、B中心对称，取点F关于B的对称点P，则P的坐标为（-1,0），过P作NPx轴，交抛物线于点N，将x=-1代入y=x2+2x-3.得y=-4，过点N，B作直线NB交直线l于点M，在BPN与BFM中，NBP=MBFBF=BPBPN=BFM=90BPNBFM, NB=MB.四边形ANCM为平行四边形，坐标为（-1，-4）的点N符合条件.当N点的坐标为（-5,12），（11,140），（-1，-4）时，以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.【点评】本题属于有一定难度的代数与几何的综合型问题，具有一定的挑战性它综合考查了用变量t表示点的坐标、直线抛物线的解析式的求法、平行四边形的判别及相关情况的
22、讨论重点考查学生审题，挖掘出题目中的隐含条件，综合运用数学知识解决实际问题的能力，以及运用转化的思想、方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力由于此题入口比较高，不少学生在第（2）小题中就受到阻力；在第（3）小题中更是“畏缩不前”了，尤其是这一问中AC位边为对角线的讨论、AC为边时点M、N位置的考虑，让一些学生思维紊乱，糊涂难做难度较大29、（2011年四川省南充市20题8分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度
23、电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？【解题思路】由函数图象上的两个点很容易用代定系数法求出一次函数关系式，利用二次函数的性质求最值。【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价(元/千度)的函数解析式为：该函数图象过点，解得 当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润（元/千度）（3）设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：化简配方，得：由题意，当时，即
24、当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元。【点评】试题充分体现了函数知识在生活中的广泛应用，用函数知识可以解决生活中的很多问题。30. （2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线yx2bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(1，0)（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断的形状，证明你的结论；（3）点是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，求m的值ABCDxyO（第21题图）11【解题思路】（1）将A点坐标代入函数解析式，可求出字母b的值，从而求出函数解析，进而求出点D的坐标；（2）先由对称性求出AB的长，确定点B的坐标，利用勾股定理分别求出,由勾股
25、定理的逆定理可确定它是一个直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点,连接,与x轴的交点就是要求的点M；利用相似三角形的性质或先求出直线的解析式，都可以求出m的值。【答案】（1）把点A(1，0)的坐标代入抛物线的解析式yx2bx2，整理后解得，所以抛物线的解析式为 ，顶点；（2），是直角三角形；（3）作出点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小设抛物线的对称轴交轴于点。【点评】解综合题时，可先钭其划分成若干个小问题，然后采取各个击破的方式来进行。难度较大。36.（2011年四川省南充市22题8分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m4,0）和B
26、(m,0)，与直线y=x+p相交于点A和点C(2m4,m6).(1)求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P,Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当PQM的面积最大时，请求出PQM的最大面积及点M的坐标。【解题思路】(1)求函数关系式的三种方法是一般式，顶点式和交点式。此题可由A,C两点在一次函数图象上，求得m值，从而得出A,C两个点的坐标，进一步确定出B的坐标，然后选取任意一种方法求出抛物线的解析式。(2)由平行四边形的面积，及一边长，很容易求得高，再由特殊角求出PQ与y轴的交点。结合二次函
27、数求出P,Q的坐标。可能有两种情况，分别讨论。（3）PQM中PQ一定，只需PQ上的高最大则PQM的面积最大。【答案】解：点和在直线y=x+p上解得设抛物线抛物线解析式为（2）AC=，AC所在直线的解析式为：，BAC=45的面积为12中AC边上的高为过点D作DKAC与PQ所在直线相交于点K，DK=,DN=4的边PQ所在直线在直线AC的两侧可能各有一条，PQ的解析式为或解得或方程组无解即,四边形ACQP是平行四边形， 当时，当时，满足条件的P,Q点是,或,（3）设，过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线点T，则，过点M作MSPQ所在直线于点S，=当时，PQM中PQ边上高的最大值为【点评】本题综合性较强，考查了很多基础知识、还要具备较高的空间想象能力、必须考虑到各种情况，此题的运算量和难度都比较大。37 （2011四川广安，30，12