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1、 四边形一、填空题1.如图8-47,在ABC中,ADBC于D,E、F分别是AB、AC的中点,当ABC满足条件_时,AEDF是菱形.图8-47答案：AB=AC提示：如果是等腰三角形，ADBC于D，依据等腰三角形三线合一，则D为中点，又E、F分别是AB、AC的中点，所以DEAC，DFAB.四边形是平行四边形且有一组邻边相等，所以为菱形，因此添加AB=AC.2.如图8-48,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PEBC交AB于E,PFCD交AD于F,则阴影部分的面积是_.图8-48答案：2.5提示：易证四边形AEPF也是菱形，PEF与AEP同底等高
2、，所以，SPEF=SAEP，S阴影=SABC=菱形面积的一半，菱形面积=对角线乘积的一半=5，所以S阴影=2.5.3.如图8-49,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于_.图8-49答案：30提示：使其面积为矩形面积的一半，由于两个四边形的底相等，所以平行四边形的高为矩形宽的一半，即高为CD的一半，在直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则它所对的锐角为30.4.如图8-50，在梯形ABCD中，DCB=90，ABCD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为_.
3、图8-50答案：30提示：利用折叠前后相等线段和勾股定理,AB=DB,又C=90,可求出DC=7.过D作DFAB,垂足为F,利用勾股定理可求AD=30.5.如图8-51,在梯形ABCD中,ADBC,对角线ACBD,且AC=12,BD=9,则此梯形的中位线长是_.图8-51答案：7.5提示：如图，平移对角线形成直角三角形，且AC=12，BD=9，根据勾股定理，求BE=15，即上下底的和为15，又因为中位线长为上下底和的一半，所以为7.5.6.如图8-52,ABC是等边三角形,P是ABC内一点,PEAC交AB于点E,PFAB交BC于点F,PDBC交AC于点D.已知ABC的周长是12 cm,则PD+
4、PE+PF=_ cm.图8-52答案：4提示：延长FP，交AC于M，可得到平行四边形AMPE和等边三角形MPD，所以三条线段的和为等边三角形的边长,即PE=AM，PD=MD，PF=CD，所以PD+PE+PF=4.二、解答题7.如图8-53,在四边形ABCD中,ADC=B=90,DEAB,垂足为E,且DE=EB=5,请用割补(旋转图形)的方法求四边形ABCD的面积.图8-53答案：S=25.提示：如图,把ADE绕点D逆时针旋转90后，得到的图形为边长是5的正方形，面积为25.8.如图8-54,已知在ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB
5、于Q.图8-54(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形?说明你的理由.(1)答案：2a.提示：根据平行的性质可以得到平行四边形和两个等腰三角形，由对边和腰相等，四边形的周长等于ABC的两腰之和.PMAB，QMAC,四边形AQMP为平行四边形，且1=C，2=B.又AB=AC=a,B=C.1=B=C=2.QB=QM，PM=PC.四边形AQMP的周长为AQ+QM+MP+PA=AQ+QB+PC+PA=AB+AC=2a.(2)答案：BQMMPCBAC.(3)答案：当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形.提示：四边
6、形AQMP已是平行四边形，要使之为菱形，则需有一组邻边相等.理由：M为底边BC的中点,BM=CM.由(1)知B=C，1=2,BQMCMP.PM=QM.由(1)四边形AQMP为平行四边形,四边形AQMP为菱形.9.如图8-55,是某城市部分街道示意图,AFBC,ECBC,BADE,BDAE.甲、乙两人同时从B站乘车到F站.甲乘1路车,路线是BAEF;乙乘2路车,路线是BDCF.假设两车速度相同,途中耽误时间相同,那么谁先到达F站?请说明理由.图8-55答案：同时到达.连结BE，证明四边形ABDE为平行四边形，DF为CE的垂直平分线，AB+AE+EF=DC+BD+CF.提示：找出图形中特殊图形，再根据特殊图形的性质得到边相等的结论，即可得到等式左右两对应线段相等.