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1、 几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数yx2bxc的图像经过点P(0, 1)与Q(2, 3)（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形求正方形的ABCD的面积；联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：PADPEA 动感体验请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，PAE与PDA总保持相等，PAD与PEA保持相似请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖
2、动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，PAE与PDA总保持相等，PAD与PEA保持相似思路点拨1数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，ADAB2通过计算PAE与DPO的正切值，得到PAEDPOPDA，从而证明PADPEA满分解答（1）将点P(0, 1)、Q(2, 3)分别代入yx2bxc，得 解得所以该二次函数的解析式为yx21（2）如图1，设点A的坐标为(x, x21)，当四边形ABCD恰为正方形时，ADAB此时yA2xA解方程x212x，得所以点A的横坐标为因此正方形ABCD的面积等于设OP与AB交于点F，那么所以又因
3、为，所以PAEPDA又因为P公用，所以PADPEA图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD，总有结论PADPEA证明如下：如图2，设点A的坐标为(x, x21)，那么PFOPOF1(x21)x2所以又因为，所以PAEPDA因此PADPEA例2 2013年江西省中考第24题某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰ABC中，ABAC，分别以AB、AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DFAB于点F，EGAC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是_（填序号即可）AFAG；MDME；整个图形是轴对称图形；MDM
4、E（2）数学思考：在任意ABC中，分别以AB、AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断MDE的形状答：_图1 动感体验请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变ABC的形状，可以体验到，DFMMGE保持不变，DMEDFAEGA保持不变请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变ABC的形状，可以体验到，DFMMGE保持不变，DMEDFAEGA
5、保持不变思路点拨1本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍2三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线3两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答（1）填写序号（2）如图4，作DFAB，EGAC，垂足分别为F、G因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点又已知M是BC的中点，所以MF、MG是ABC的中位线所以，MF/AC，MG/AB所以BFMBAC，MGCBAC所以BFMMGC所以DFMMGE因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以，所以MFEG，DFNG所以DFMMGE所以DMME（3）MDE是等腰直角三角形图4 图5考点伸展第（2）题和第（3）题证明DFMMGE的思路是相同的，不同的是证明DFMMGE的过程有一些不同如图4，如图5，BFMBACMGC如图4，DFM90BFM，MGE90MGC，所以DFMMGE如图5，DFM90BFM，MGE90MGC，所以DFMMGE