专题等腰三角形(含答案).pdf

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1、1 / 9 9、等腰三角形 【知识精读】 （）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合。 推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依 据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶

2、角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两 条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化 为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3、 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和 底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重 合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解读】 例 1. 如图，已知在等边三角形ABC中， D 是 AC 的中点， E为 BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为 M。求证： M 是 2 / 9 BE 的中点。 A D 1 B M C E 分析： 欲证 M 是 B

4、E 的中点，已知DMBC，所以想到连结BD，证 BDED。因为 ABC 是等边三角形，DBE 2 1 ABC，而 由 CECD，又可证 E 2 1 ACB，所以 1 E，从而问题得证。 证明： 因为三角形ABC是等边三角形， D 是 AC 的中点 所以 1 2 1 ABC 又因为 CECD，所以 CDE E 所以 ACB2E 即 1 E 所以 BDBE，又 DMBC，垂足为 M 所以 M 是 BE的中点（等腰三角形三线合一定理） 例 2. 如图，已知：ABC中，ACAB，D 是 BC上一点，且CADCDBAD，求BAC的度数。 A B C D 分析： 题中所要求的 BAC 在 ABC 中，但仅

5、靠 ACAB 是无法求出来的。因此需要考虑 DBAD 和 CADC 在题 目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解： 因为ACAB，所以CB 因为DBAD，所以CDABB； 因为CDCA，所以CDACAD（等边对等角） 而DABBADC 所以 BDACBADC22， 所以B3BAC 又因为180BACCB 3 / 9 即 180B3CB 所以 36B 即求得108BAC 说明 1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。 本条性质在解题中发挥着重要的作

6、用，这一点在后边的解题中将进一步体现。 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。 3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 例 3. 已知：如图，ABC中，ABCDACAB，于 D。求证：DCB2BAC。 A 1 2 D B C E 3 分析： 欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB 的关系。 证明： 过点 A作BCAE于 E，ACAB 所以BAC 2 1 21（等腰三角形的三线合一性质） 因为90B1 又ABCD，所以90CDB 所以90B3（直角三角形两锐角互余） 所以31（同角的余

7、角相等） 即DCB2BAC 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助 线； 2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造 “半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB的等角等。 4、中考题型： 1.如图，ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别为ABC与ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的 4 / 9 等腰三角形有（） A. 6 个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 A 36 E D F B C 分析： 由已知条件根据

8、等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8 个，故选择 C。 2.）已知：如图，在ABC中，ABAC，D 是 BC 的中点， DEAB，DFAC，E、F分别是垂足。求证：AEAF。 A E F B D C 证明： 因为ACAB，所以CB 又因为ACDFABDE， 所以90CFDBED 又 D 是 BC的中点，所以DCDB 所以)AAS(CFDDEB 所以CFBE，所以AFAE 说明： 证法二：连结AD，通过AEDAFD证明即可 5、题形展示： 例 1. 如图，ABC中，100AACAB，BD 平分ABC。 求证：BCBDAD。 A D 1 B 2 E F C 分析一：从要证明的结

9、论出发，在BC 上截取BDBF，只需证明ADCF，考虑到21，想到在BC 上截取 5 / 9 BABE， 连 结DE， 易 得 ， 则 有FDAD， 只 需 证 明CFDE， 这 就 要 从 条 件 出 发 ， 通 过 角 度 计 算 可 以 得 出 DEDFCF。 证明一： 在 BC上截取BDBFBABE，连结 DE、DF 在ABD和EBD中，BDBD21BEBA， 80DEF100ABEDDEAD )SAS(EBDABD ， 又100AACAB， 40)100180( 2 1 CABC 2040 2 1 21 而BFBD 80)20180( 2 1 )2180( 2 1 BDFBFD AD

10、BDFCBFBC FCDFDEADFCDFCFDC 404080CDFEFDC 40C80DFE DFDE80DFEDEF ， 即BCBDAD 分析二： 如图，可以考虑延长BD 到 E，使 DEAD，这样BDAD=BD+DE=BE ，只需证明BEBC，由于 202，只 需证明 80BCEE A D E 1 B 2 F C 3 4 5 6 易 证 6020100180ADBEDC ， 120BDC ， 故 作B D C的 角 平 分 线 ， 则 有 FBDABD，进而证明DFCDEC，从而可证出80E。 证明二： 延长 BD 到 E，使 DEAD，连结 CE，作 DF 平分BDC交 BC于 F。

11、 由证明一知：100A2021， 则有12060180BDC603660201001803， DF 平分 6054BDC 6 / 9 606543 ，在ABD和FBD中 43BDBD21， )ASA(FBDABD 100ABFDFDAD，而DEDFDEAD， 在DEC和DFC中，DCDC65DFDE， )SAS(DFCDEC 80100180BFD180DFCE 在BCE中，803202， BCEEBCE，80 BCBDADBEBC， 说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从 不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力

12、。 【实战模拟】 1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（） A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或 8cm D. 以上都不对 2. 如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD， ，则1的度数是 _ 。 C A 1 D B 2 3 3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上. 4. ABC中，120AACAB，AB 的中垂线交AB 于 D，交 CA 延长线于 E，求证：BC 2 1 DE。 7 / 9 A E D O B C 1 2 【试卷答案】 1. B 2. 分析： 结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三

13、角形性质的重要应用。 解： 因为ABC是等边三角形 所以60ABCBCAB， 因为BCBD，所以 BDAB 所以23 在ABD中，因为60ABC90CBD， 所以150ABD，所以152 所以75ABC21 3. 分析： 首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。 已知： 如图，在ABC中，ACAB，D、E 分别为 AC、AB 边中点， BD、CE交于 O 点。求证：点O 在 BC的垂直平分 线上。 分析： 欲证本题结论，实际上就是证明OCOB。而 OB、OC 在ABC中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题 就转化为证含有21、的两个三角形全等。 证明： 因为在ABC中，ACAB

14、所以ACBABC（等边对等角） 又因为 D、E分别为 AC、AB 的中点，所以EBDC（中线定义） 在 BCD 和 CBE 中， 8 / 9 )(CBBC )(EBCDCB )(EBDC 公共边 已证 已证 所以)SAS(CBEBCD 所以21（全等三角形对应角相等）。 所以OCOB（等角对等边）。 即点 O 在 BC的垂直平分线上。 说明： （1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在 底边的垂直平分线上”正确地理解成“OBOC”是关键的一点。 （2）实际上，本题也可改成开放题：“ABC 中， ABAC，D、E分别为 AC、AB 上的中点， BD、CE 交于

15、 O。连结 AO 后， 试判断 AO 与 BC 的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。 4.分析： 此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。 证明： 过点 A作 BC边的垂线 AF，垂足为 F。 E A 3 1 2 D B F C 在ABC中， 120BACACAB， 所以 30CB 所以BC 2 1 BF6021， （等腰三角形三线合一性质）。 所以 603（邻补角定义）。 所以 31 又因为 ED 垂直平分 AB，所以 30E（直角三角形两锐角互余）。 AB 2 1 AD（线段垂直平分线定义）。 又因为 AB 2 1 AF （直角三角形中角所对的边等于斜边的一半）。 所以AFAD 在ABFRt和AEDRt中， 1 3 9 / 9 90ADEAFB )(ADAF )(31 已证 已证 所以)ASA(AEDRtABFRt 所以BFED 即BC 2 1 ED。 说明： （1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功； （2）直角三角形中 30角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。