中考数学-2013年四川省广安市中考数学试卷及答案(word解析版).pdf

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1、- 1 - 四川省广安市 2013 年中考数学试卷 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将符合要求的选项的代号填涂在 机读卡上（本大题共10 个小题，每小题3 分，共 30 分） 1 （3 分） （2013?广安） 4 的算术平方根是（） A 2 B C2D2 考点 ： 算术平方根 分析： 根据算术平方根的定义即可得出答案 解答： 解： 4 的算术平方根是2， 故选 C 点评： 本题主要考查了算术平方根，注意算术平方根与平方根的区别 2 （3 分） （2013?广安）未来三年，国家将投入8450 亿元用于缓解群众“ 看病难、看病贵 ” 的问题将8450 亿元用科学记

2、数法表示为（） A0.845 104亿元B8.45 103亿元C8.45 104亿元D84.5 102亿元 考点 ： 科学记数法 表示较大的数 分析： 科学记数法的表示形式为a 10n的形式，其中1 |a|10，n 为整数确定n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正 数；当原数的绝对值1 时， n 是负数 解答： 解：将 8450 亿元用科学记数法表示为8.45 103亿元 故选 B 点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a 10n的形式，其中1 |a|10，n 为整 数，表示时关键要正确确定a

3、的值以及 n 的值 3 （3 分） （2013?广安）下列运算正确的是（） Aa 2 ?a 4=a8 B2a 2+a2=3a4 Ca 6 a2=a3 D（ab 2）3=a3b6 考点 ： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 分析： 分别利用合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的判断得出即可 解答： 解： A、a2?a4=a6，故此选项错误； B、2a 2+a2=3a2，故此选项错误； C、a 6 a2=a4，故此选项错误； D、 （ab 2）3=a3b6，故此选项正确 故选： D 点评： 本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的

4、乘法、积的乘方，解题的关键是掌握相 关运算的法则 4 （3 分） （2013?广安）有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是（） - 2 - A BCD 考点 ： 简单组合体的三视图 分析： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 解答： 解：从正面看易得第一层有3 个正方形，第二层最左边有一个正方形 故选 B 点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图 5 （3 分） （2013?广安）数据21、12、18、16、20、21 的众数和中位数分别是（） A21 和 19 B21 和 17 C20 和 19 D20 和 18 考点 ：

5、 众数；中位数 分析： 根据众数和中位数的定义求解即可 解答： 解：在这一组数据中21 是出现次数最多的，故众数是21； 数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（ 18+20） 2=19，故中位数为19 故选 A 点评： 本题考查了中位数，众数的意义找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来 确定中位数如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平 均数众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个 6 （3 分） （2013?广安）如果a 3xby 与 a 2y b x+1 是同类项，则（） A BCD 考点 ：

6、解二元一次方程组；同类项 3718684 专题 ： 计算题 分析： 根据同类项的定义列出方程组，然后利用代入消元法求解即可 解答： 解：a3xby与a2ybx+1是同类项， ， 代入 得， 3x=2（x+1） ， 解得 x=2， 把 x=2 代入 得， y=2+1=3， - 3 - 所以，方程组的解是 故选 D 点评： 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数 相等或互为相反数时用加减消元法较简单，根据同类项的“ 两同 ” 列出方程组是解题的关键 7 （3 分） （2013?广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（） A25

7、B25 或 32 C32 D19 考点 ： 等腰三角形的性质；三角形三边关系 3718684 分析： 因为已知长度为6 和 13 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论 解答： 解： 当 6 为底时，其它两边都为13， 6、13、13 可以构成三角形， 周长为 32； 当 6 为腰时， 其它两边为6 和 13， 6+613， 不能构成三角形，故舍去， 答案只有32 故选 C 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种 情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的 关键 8 （3 分）

8、 （2013?广安）下列命题中正确的是（） A 函数 y=的自变量 x 的取值范围是x3 B 菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 C 一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形 D三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 考点 ： 命题与定理 3718684 分析： 根据菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质分别判断得出即可 解答： 解： A、函数 y=的自变量 x 的取值范围是x 3，故此选项错误； B、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； C、一组对边平行，另一组对边相等四边形是也可能是等腰梯形，故此选项错误； D、根据外心的性质，三角形的外心到三角形的三个

9、顶点的距离相等，故此选项正确 故选： D 点评： 此题主要考查了菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质，熟练掌握相关定理和性 质是解题关键 9 （3 分） （2013?广安）如图，已知半径OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点C，若 AB=8cm ，CD=3cm ，则 圆 O 的半径为（） - 4 - A cm B5cm C4cm D cm 考点 ： 垂径定理；勾股定理3718684 分析： 连接 AO，根据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则 OC=x3，根据勾股定理即可求得x 的值 解答： 解：连接AO， 半径 OD 与弦 AB 互相垂直， AC=AB=4cm ， 设半

10、径为x，则 OC=x3， 在 RtACO 中， AO 2=AC2+OC2， 即 x2=42+（x3）2， 解得： x=， 故半径为cm 故选 A 点评： 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容， 难度一般 10 （3 分） （2013?广安）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1下列结论： abcO， 2a+b=O， b 24acO， 4a+2b+cO 其中正确的是（） - 5 - A B只有C D 考点 ： 二次函数图象与系数的关系 3718684 分析： 由抛物线开口向下，得到a 小于 0，再由对称轴在y 轴右

11、侧，得到a 与 b 异号，可得出b 大于 0，又 抛物线与y 轴交于正半轴，得到c大于 0，可得出 abc 小于 0，选项 错误；由抛物线与x 轴有 2 个交点，得到根的判别式b24ac 大于 0，选项 错误；由 x=2 时对应的函数值小于0，将 x= 2 代入抛物线解析式可得出4a2b+c 小于 0，最后由对称轴为直线x=1 ，利用对称轴公式得到b= 2a，得到选项 正确，即可得到正确结论的序号 解答： 解：抛物线的开口向上，a0， 0， b0， 抛物线与y 轴交于正半轴，c0， abc0， 错误； 对称轴为直线x=1，=1，即 2a+b=0， 正确， 抛物线与x 轴有 2 个交点， b24

12、ac0， 错误； 对称轴为直线x=1， x=2 与 x=0 时的函数值相等，而x=0 时对应的函数值为正数， 4a+2b+c0， 正确； 则其中正确的有 故选 C 点评： 此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c（a 0） ，a 的符号由抛物线开口方向 决定； b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定； c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；抛物线 与 x 轴的交点个数，决定了b24ac 的符号，此外还要注意x=1， 1，2 及 2 对应函数值的正负 来判断其式子的正确与否 二、填空题：请将最简答案直接填写在题目后的横线上（本大题共6 个小题，每小题3 分共 18

13、 分） 11 （3 分） （2013?广安）方程x 23x+2=0 的根是 1 或 2 考点 ： 解一元二次方程-因式分解法3718684 专题 ： 因式分解 分析： 由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至 少有一式值为0，求出方程的解 解答： 解：因式分解得， （x1） （x2）=0， 解得 x1=1，x2=2 点评： 本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0 后方程的左边能因 式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0 的特点解出方程的根，因式分解法 是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用 1

14、2 （3 分） （2013?广安）将点A（ 1，2）沿 x 轴向右平移3 个单位长度，再沿y 轴向下平移4 个长度单 位后得到点 A 的坐标为（2， 2） 考点 ： 坐标与图形变化-平移3718684 分析： 根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变即可解 - 6 - 的答案 解答： 解：点 A（ 1，2）沿 x 轴向右平移3 个单位长度， 再沿 y轴向下平移4 个长度单位后得到点A ， A 的坐标是（ 1+3，24） ， 即： （2， 2） 故答案为：（2， 2） 点评： 此题主要考查了点的平移规律，正确掌握规律是解题的关键 13 （3 分） （201

15、3?广安）如图，若1=40 ， 2=40 ， 3=116 30 ，则 4=63 30 考点 ： 平行线的判定与性质3718684 分析： 根据 1=2 可以判定 ab，再根据平行线的性质可得3=5，再根据邻补角互补可得答案 解答： 解： 1=40 ， 2=40 ， ab， 3=5=116 30 ， 4=180 116 30 =63 30 ， 故答案为： 63 30 点评： 此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行 14 （3 分） （2013?广安）解方程：1=，则方程的解是x= 考点 ： 解分式方程 3718684 专题 ： 计算题 分析： 分式方程去分母转化为整式

16、方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解 解答： 解：去分母得：4xx+2=3， 解得： x=， 经检验是分式方程的解 故答案为： x= - 7 - 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“ 转化思想 ” ， 把分式方程转化为整式方程求解解 分式方程一定注意要验根 15 （3 分） （2013?广安）如图，如果从半径为5cm 的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围 成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是3cm 考点 ： 圆锥的计算 3718684 分析： 因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长=8 ，所 以圆锥的底面半

17、径r=4cm，利用勾股定理求圆锥的高即可； 解答： 解：从半径为5cm 的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形， 留下的扇形的弧长=8 ， 根据底面圆的周长等于扇形弧长， 圆锥的底面半径r=4cm， 圆锥的高为=3cm 故答案为： 3 点评： 此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形， （2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长解此类题目要根据所构成 的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解 16 （3 分） （2013?广安）已知直线y=x+（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积 为 Sn，则 S1+S2+S3+S2012= 考点

18、： 一次函数图象上点的坐标特征3718684 专题 ： 规律型 分析： 令 x=0，y=0 分别求出与y 轴、 x 轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出 Sn，再利用拆项 法整理求解即可 解答： 解：令 x=0，则 y=， - 8 - 令 y=0，则x+=0， 解得 x=， 所以， Sn= ?=（） ， 所以，S1+S2+S3+ +S2012= （ + +）= （）= 故答案为： 点评： 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出 Sn，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关 键，也是本题的难点 三、解答题（本大题共4 个小题，第17 小题 5 分，第 18、19、20 小题各 6 分

19、，共 23 分） 17 （6 分） （2013?广安）计算：（） 1+|1 |2sin60 考点 ： 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 3718684 分析： 分别进行负整数指数幂、绝对值、开立方、特殊角的三角函数值等运算，然后按照实数的运算法则 计算即可 解答： 解：原式 =2+1+22=3 点评： 本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数幂、绝对值、开立方、特殊角的三角函数值等知识，属 于基础题 18 （6 分） （2013?广安）先化简，再求值： （），其中 x=4 考点 ： 分式的化简求值3718684 分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算

20、即可 解答： 解：原式 =（） = =， 当 x=4 时，原式 = 点评： 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 19 （6 分） （2013?广安）如图，在平行四边形ABCD 中， AE CF，求证： ABE CDF - 9 - 考点 ： 平行四边形的性质；全等三角形的判定 3718684 专题 ： 证明题 分析： 首先证明四边形AECF 是平行四边形，即可得到AE=CF ， AF=CF，再根据由三对边相等的两个三 角形全等即可证明：ABE CDF 解答： 证明：四边形ABCD 是平行四边形， AE CF，AD=BC ，AB=CD ， AE CF， 四边形AEC

21、F 是平行四边形， AE=CF ，AF=CF ， BE=DE ， 在ABE 和CDF 中， ， ABE CDF（SSS） 点评： 此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定的理解和掌握，难度不大，属于 基础题 20 （6 分） （2013?广安）已知反比例函数y=（k 0）和一次函数y=x6 （1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P（2，m） ，求 m 和 k 的值 （2）当 k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点？ 考点 ： 反比例函数与一次函数的交点问题 3718684 分析： （1）两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系式 和一

22、次函数关系式即可求得待定的系数； （2）函数的图象没有交点，即无解，用二次函数根的判别式可解 解答： 解： （1）一次函数和反比例函数的图象交于点（2，m） ， m=26， 解得 m=4， 即点 P（2， 4） ， 则 k=2 （ 4）=8 m=4，k=8； （2）由联立方程y=（k 0）和一次函数y=x6， 有=x6，即 x 26xk=0 - 10 - 要使两函数的图象没有交点，须使方程x26xk=0 无解 =（ 6）24 （ k）=36+4k0， 解得 k 9 当 k 9 时，两函数的图象没有交点 点评： 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意先代入一次函数解析式，求得两个函数的交点

23、坐 标 四、实践应用： （本大题共4 个小题，其中第21 小题 6 分，地 22、23、24 小题各 8 分，共 30 分） 21 （6 分） （2013?广安） 6 月 5 日是 “ 世界环境日 ” ，广安市某校举行了“ 洁美家园 ” 的演讲比赛，赛后整理 参赛同学的成绩，将学生的成绩分成A、B、C、D 四个等级，并制成了如下的条形统计图和扇形图（如图 1、图 2） （1）补全条形统计图 （2）学校决定从本次比赛中获得A 和 B 的学生中各选出一名去参加市中学生环保演讲比赛已知A 等中 男生有 2 名， B 等中女生有3 名，请你用 “ 列表法 ” 或“ 树形图法 ” 的方法求出所选两位同学

24、恰好是一名男生 和一名女生的概率 考点 ： 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法3718684 专题 ： 计算题 分析： （1）根据等级为A 的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出等级B 的人数，补全条形统计 图即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率 解答： 解： （1）根据题意得： 3 15%=20（人） ， 故等级 B 的人数为 20（ 3+8+4）=5（人）， 补全统计图，如图所示； - 11 - （2）列表如下： 男男女女女 男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）（女，男） 男（男，男）（男，男）（女，男）（女，男）（女，男） 女

25、（男，女）（男，女）（女，女）（女，女）（女，女） 所有等可能的结果有15 种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有8 种， 则 P恰好是一名男生和一名女生= 点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键 22 （8 分） （2013?广安）某商场筹集资金12.8 万元，一次性购进空调、彩电共30 台根据市场需要，这 些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5 万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格 空调彩电 进价（元 /台）5400 3500 售价（元 /台）6100 3900 设商场计划购进空调x 台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为

26、y 元 （1）试写出 y 与 x 的函数关系式； （2）商场有哪几种进货方案可供选择？ （3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？ 考点 ： 一次函数的应用 3718684 分析： （1）y=（空调售价空调进价）x+（彩电售价彩电进价） （30x） ； （2）根据用于一次性购进空调、彩电共30 台，总资金为12.8 万元，全部销售后利润不少于1.5 万 元得到一元一次不等式组，求出满足题意的x 的正整数值即可； （3）利用 y 与 x 的函数关系式y=150x+6000 的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大 利润即可 解答： 解： （1）设商场计划购进空调x 台，则计划

27、购进彩电（30x）台，由题意，得 y=（61005400）x+（39003500） （30x）=300x+12000； （2）依题意，有， 解得 10 x 12 x 为整数， x=10，11，12 即商场有三种方案可供选择： 方案 1：购空调 10 台，购彩电20 台； 方案 2：购空调 11 台，购彩电19 台； 方案 3：购空调 12 台，购彩电18 台； （3） y=300x+12000，k=3000， y 随 x 的增大而增大， 即当 x=12 时， y 有最大值， y最大=300 12+12000=15600 元 - 12 - 故选择方案3：购空调 12 台，购彩电18 台时，商场获

28、利最大，最大利润是15600 元 点评： 本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润y 与购 进空调 x 的函数关系式是解题的关键在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还 必须使实际问题有意义 23 （8 分） （2013?广安） 如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400 米，高 8 米，背水坡的坡角为45 的防洪大堤（横截面为梯形ABCD ）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水 坡面用土石进行加固，并使上底加宽2 米，加固后，背水坡EF 的坡比 i=1：2 （1）求加固后坝底增加的宽度AF 的长； （2）求完成这项工

29、程需要土石多少立方米？ 考点 ： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题3718684 专题 ： 应用题 分析： （1）分别过 E、D 作 AB 的垂线， 设垂足为 G、H在 RtEFG 中，根据坡面的铅直高度（即坝高） 及坡比，即可求出FG 的长，同理可在RtADH 中求出 AH 的长；由 AF=FG+GH AH 求出 AF 的 长 （2）已知了梯形AFED 的上下底和高，易求得其面积梯形AFED 的面积乘以坝长即为所需的土 石的体积 解答： 解： （1）分别过点E、D 作 EGAB 、DHAB 交 AB 于 G、H， 四边形ABCD 是梯形，且ABCD， DH 平行且等于EG， 故四边形EGHD

30、 是矩形， ED=GH ， 在 RtADH 中， AH=DH tanDAH=8 tan45 =8（米） ， 在 RtFGE 中， i=1：2=， FG=2EG=16 （米） ， AF=FG+GH AH=16+2 8=10（米） ； （2）加宽部分的体积V=S梯形 AFED 坝长 = （2+10） 8 400=19200（立方米） 答： （1）加固后坝底增加的宽度AF 为 10 米； （2）完成这项工程需要土石19200 立方米 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利 用三角函数表示相关线段的长度，难度一般 - 13 - 24 （8 分）

31、（2013?广安）雅安芦山发生7.0 级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张 纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友已知如图，是腰长为4 的等腰直角三角形ABC，要求 剪出的半圆的直径在ABC 的边上，且半圆的弧与 ABC 的其他两边相切， 请作出所有不同方案的示意图， 并求出相应半圆的半径（结果保留根号） 考点 ： 作图 应用与设计作图3718684 专题 ： 作图题 分析： 分直径在直角边AC、BC 上和在斜边AB 上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可 解答： 解：根据勾股定理，斜边AB=4， 如图 1、图 2，直径在直角边BC 或 AC 上时， 半圆的弧与

32、 ABC 的其它两边相切， =， 解得 r=44， 如图 3，直径在斜边AB 上时，半圆的弧与ABC 的其它两边相切， =， 解得 r=2， 作出图形如图所示： 点评： 本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求 出半圆的半径是解题的关键 五、理论与论证（9 分） 25 （9 分） （2013?广安） 如图，在ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径作半圆0，交 BC 于点 D，连接 AD， 过点 D 作 DEAC，垂足为点E，交 AB 的延长线于点F （1）求证： EF 是 0 的切线 （2）如果 0 的半径为 5，sinADE=，求 BF 的长

33、 - 14 - 考点 ： 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形 3718684 分析： （1）连结 OD，AB 为 0 的直径得 ADB=90 ，由 AB=AC ，根据等腰三角形性质得AD 平分 BC， 即 DB=DC ，则 OD 为ABC 的中位线，所以ODAC，而 DEAC ，则 ODDE，然后根据切线 的判定方法即可得到结论； （2）由 DAC= DAB ，根据等角的余角相等得ADE= ABD ，在 RtADB 中，利用解直角三 角形的方法可计算出AD=8 ，在 RtADE 中可计算出AE=，然后由 ODAE， 得FDO FEA ，再利用相似比可计算出BF 解答： （1

34、）证明：连结OD，如图， AB 为 0 的直径， ADB=90 ， AD BC， AB=AC ， AD 平分 BC，即 DB=DC ， OA=OB ， OD 为ABC 的中位线， ODAC， DEAC， ODDE， EF 是 0 的切线； （2）解： DAC= DAB ， ADE= ABD ， 在 RtADB 中， sinADE=sin ABD=，而 AB=10 ， AD=8 ， 在 RtADE 中， sinADE=， AE=， ODAE， FDO FEA ， =，即=， - 15 - BF= 点评： 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线也考查了等腰三角 形的性

35、质、圆周角定理和解直角三角形 六、拓展探究（10分） 26 （9 分） （2013?广安）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A、B、C 三点，已知 点 A（ 3，0） ，B（0，3） ，C（1，0） （1）求此抛物线的解析式 （2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点， （不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为F，交 直线 AB 于点 E，作 PDAB 于点 D 动点 P 在什么位置时， PDE 的周长最大，求出此时P点的坐标； 连接 PA， 以 AP 为边作图示一侧的正方形APMN ， 随着点 P 的运动，正方形的大小、 位置也

36、随之改变 当 顶点 M 或 N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P 点的坐标（结果保留根号） 考点 ： 二次函数综合题 3718684 专题 ： 代数几何综合题 分析： （1）把点 A、B、C 的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； （2） 根据点 A、B 的坐标求出 OA=OB ，从而得到 AOB 是等腰直角三角形，根据等腰直角三 角形的性质可得BAO=45 ，然后求出 PED 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD 越大， PDE 的周长最大，再判断出当与直线AB 平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD 最大， 再求出直线AB 的解析式为y=x+3

37、，设与 AB 平行的直线解析式为y=x+m ，与抛物线解析式联立消 掉 y，得到关于x 的一元二次方程，利用根的判别式=0 列式求出 m 的值，再求出x、y 的值，从 而得到点P的坐标； 先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点 M 在对称轴上时，过点P 作 PQ对称轴于Q，根据 同角的余角相等求出APF= QPM，再利用 “ 角角边 ” 证明 APF 和MPQ 全等，根据全等三角形 对应边相等可得PF=PQ，设点 P的横坐标为n，表示出 PQ 的长，即 PF，然后代入抛物线解析式计 算即可得解；（ii）点 N 在对称轴上时，同理求出APF 和ANQ 全等，根据全等三角形对应边相 等可得 PF=

38、AQ，根据点 A 的坐标求出点P 的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到 - 16 - 点 P的坐标 解答： 解： （1）抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A（ 3，0） ，B（0，3） ，C（1，0） ， ， 解得， 所以，抛物线的解析式为y=x22x+3； （2） A（ 3，0） ，B（0，3） ， OA=OB=3 ， AOB 是等腰直角三角形， BAO=45 ， PFx 轴， AEF=90 45 =45 ， 又 PDAB ， PDE 是等腰直角三角形， PD 越大， PDE 的周长越大， 易得直线AB 的解析式为y=x+3， 设与 AB 平行的直线解析式为y=x+m ， 联立

39、， 消掉 y 得， x2+3x+m3=0， 当=3 24 1 （m3）=0， 即 m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时 x=，y=+=， 点 P（，）时， PDE 的周长最大； 抛物线 y=x 22x+3 的对称轴为直线 x=1， （i）如图 1，点 M 在对称轴上时，过点P 作 PQ对称轴于Q， - 17 - 在正方形APMN 中， AP=PM， APM=90 ， APF+ FPM=90 ， QPM+FPM=90 ， APF= QPM， 在 APF 和MPQ 中， ， APF MPQ（AAS ） ， PF=PQ， 设点 P 的横坐标为n（n0） ，则 PQ=1n， 即 PF=

40、1n， 点 P 的坐标为（ n， 1n） ， 点 P 在抛物线 y=x22x+3 上， n22n+3=1n， 整理得， n2+n4=0， 解得 n1= （舍去），n2=， 1n=1=， 所以，点P的坐标为（，） ； （ii）如图 2，点 N 在对称轴上时，设抛物线对称轴与x 轴交于点 Q， PAF+FPA=90 ， PAF+ QAN=90 ， FPA=QAN ， 又 PFA=AQN=90 ，PA=AN ， - 18 - APF NAQ ， PF=AQ ， 设点 P 坐标为 P（x， x22x+3） ， 则有 x22x+3= 1（ 3）=2， 解得 x=1（不合题意，舍去）或x=1， 此时点 P坐标为（1，2） 综上所述，当顶点M 恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，） ，当 顶点 N 恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（1，2） 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性 质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出 PDE 是等腰 直角三角形，从而判断出点P为平行于 AB 的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键， （3）根据全等三角形的性质用点P 的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键 - 19 -