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1、历届中考数学试题2013 江苏常州（第1 页，共 8 页） 常州市二一三年初中毕业、升学统一文化考试 数学试题 一选择题（本大题共有8 小题，每小题2 分，共 16 分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的） 1.在下列实数中，无理数是（ D ） A2 B 3.14 C 2 1 D3 2. 如图所示圆柱的左视图是（ C ） （第 2 题）ABCD 下列函数中，图像经过点（1， -1) 的反比例函数关系式是（ A ） A. x y 1 B. x y 1 C. x y 2 D. x y 2 4. 下列计算中，正确的是（ A ） A（ a 3b）2=a6b2 Ba*a 4=a4 Ca 6a2=
2、a3 D3a+2b=5ab 5. 已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差 12 12 甲 S，乙组数据的方差 10 12 乙 S，下列结论中正 确的是（ B ） A甲组数据比乙组数据的波动大B乙组数据的比甲组数据的波动大 C甲组数据与乙组数据的波动一样大D甲组数据与乙组数据的波动不能比较 6.已知 O的半径是6，点 O到直线 l 的距离为 5，则直线l 与 O的位置关系是（ C ） A相离 B相切 C相交 D无法判断 7. 二次函数cbxaxy 2 （a、b、c 为常数且a0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 -3
3、 -4 -3 0 5 12 给出了结论： (1) 二次函数cbxaxy 2 有最小值，最小值为-3 ； (2) 当2 2 1 x时， ya) 的矩形纸片， 5张边长为b 的正方形纸片，从其中取 出若干张纸片， 每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸片进行无空隙、无重叠拼接） ， 则拼成的正方形的边长最长可以为 （ D ） Aa+b B 2a+b C3a+b Da+2b 二填空题（本大题共有9 小题，第9 小题 4 分，其余8 小题每小题2 分，共 20 分） 历届中考数学试题2013 江苏常州（第2 页，共 8 页） 9. 计算 -(-3)=_3_,|-3|=_3_,(-3
4、)2= 1 - 3 ,(-3)2=_9_. 10. 已知点 P（3，2），则点P 关于 y 轴的对称点P1的坐标是 _(-3,2)_,点 P 关于原点O的对称点P2的坐标是 _(-3,-2)_. 11. 已知一次函数y=kx+b(k 、 b 为常数且k0) 的图象经过点A （0,-2 ） 和点 B （1,0 ） ， 则 k=_2_， b=_-2_ 。 12. 已知扇形的半径为6cm ， 圆心角为150，则此扇形的弧长是_5_cm， 扇形的面积是 _15_cm 2 （结果保留 ）。 13函数 y=3x中自变量x 的取值范围是 _x 3_，若分式 1 32 x x 的值为 0，则 x=_1.5_
5、。 14. 我市某一周的每一天的最高气温统计如下表： 最高气温（）25 26 27 28 天数1 1 2 3 则这组数据的中位数是_27_，众数是 _28_。 15. 已知 x=-1 是关于 x 的方程 2x 2+ax-a2=0 的一个根，则 a=_1,-2_ 。 16. 如图， ABC内接于 O， BAC=120 ，AB=AC ， BD为 O的直径，AD=6，则 DC=_23_. 17. 在平面直角坐标系xOy中， 已知第一象限内的点A在反比例函数 x y 1 的图象上， 第二象限内的点B在反比例函数 x k y的图象上，连接OA 、OB ，若 OA OB， OB= 2 2 OA ，则 k=
6、_-0.5_. 三、解答题（本大题共2 小题，共18 分） 18.化简（每小题4 分，共 8分） 00 60cos2)2013(4 2 1 4 2 2 xx x 解析 ： （1）原式 =2-1+21/2=2 答案： 2 （2）原式 = 1 x-2 19.解方程组和不等式组： （每小题5 分，共 10 分） 643 02 yx yx 2 5 2 7 x 解：解的x=6 y=-3 去分母，得14=5（x2） ， 去括号，得14=5x-10 ， 移项，得5x=24， 解得 24 x= 5 ， 检验：当 24 x= 5 时， 2（ x2）0 ， （第 16题） O A B C D 历届中考数学试题20
7、13 江苏常州（第3 页，共 8 页） 原方程的解为 24 x= 5 ； 四、解答题（本大题共2 小题，共15 分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步骤） 20.（本小题满分7 分） 为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统 计，并绘制了下面的统计图（1）和图（ 2） 。 （1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整； （2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为_. 解析： （1）参加乒乓球的人数=2040%（ 20+10+15）=5 人 （2）参加足球运动项目的学生占所有运动项目
8、学生的比例为， 扇形统计图中表示“ 足球 ” 项目扇形圆心角的度数为 360 =72 度 21.（本小题满分8 分） 一只不透明的箱子里共有3 个球，其中2 个白球， 1 个红球，它们除颜色外均相同。 （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的 球都是白球的概率，并画出树状图。 解析： （1）画树状图得： 历届中考数学试题2013 江苏常州（第4 页，共 8 页） 一共有3 种等可能的结果， 取出的 1 个球是白色的可能性有两种所以概率= 2 3 ； （2）取出的2 个球全是白球的有6 种情况，
9、取出的2 个球全是白球的概率是 1 3 五解答题（本大题共2 小题，共13 分） 22 （本小题满分6 分） 如图， C 是 AB 的中点， AD=BE ，CD=CE。 求证： A= B。 证明 C 是 AB 的中点AC=BC 在 ACD 和BCE 中 BCAC CECD BEAD ， ACD BCE， A=B 23.如图，在 ABC 中， AB=AC ， B=60， FAC 、 ECA是 ABC的两个外角，AD平分 FAC ， CD平分 ECA 。 求证：四边形ABCD 是菱形。 证明 AB=AC, AD平分 FAC ，CD平分 ECA B= ACB ， CAD= 2 1 CAF= 2 1
10、(B+ ACB)= ACB AD/BC D= DCE= ACD AC=AD B=60 B= ACB= BAC= CAD= D= ACD=60 AB=AC=BC=CD=AD 四边形ABCD 是菱形 六解答题（本大题共2 小题，共13 分） 24.在 Rt ABC中，C=90 ，AC=1， BC=3，点 O为 RtABC内一点， 连接 A0、BO 、CO,且 AOC= COB=BOA=120， 按下列要求画图（保留画图痕迹）： 以点 B为旋转中心，将AOB绕点 B顺时针方向旋转60，得到 AOB （得到 A、O 的对应点分别为点A、O ） ，并回答下列问题： ABC=_, ABC=_,OA+OB+
11、OC=_. 解析 ：因为 C=90， AC=1 ，BC=3, 所以 AB=2 ，所以ABC=30，A BC=90 25.（本小题满分7 分） 某饮料厂以300 千克的 A 种果汁和240 千克的 B 种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种 饮料含 0.6 千克 A 种果汁，含0.3 千克 B 种果汁；每千克乙种饮料含0.2 千克 A 种果汁，含0.4 千克 B 种果汁。饮 （第 22题）（第 23题） A B ED F B E D C C A A C B O 历届中考数学试题2013 江苏常州（第5 页，共 8 页） 料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650 千克，设该厂生产甲
12、咱饮料x（千克）。 （1）列出满足题意的关于x 的不等式组，并求出x 的取值范围； （2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1 千克 3 元，乙种饮料销售价是每1 千克 4 元，那么该饮料厂生产甲、 乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？ 解:（1）由题意可得： 240)650(4 .03.0 300)650(2.06.0 xx xx 解得： 200 425 x x 425200x （2）设销售金额为y，则2600)650(43xxxy 1ky 随 x 的增长而减小， 425200x当200x时，2400 最小 y 七解答题（本大题共3 小题，共25 分） 26（本小题满分6 分
13、） 用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1 的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形 称为格点多边形。设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b，则 1 2 1 baS(史称“皮克公式”). 小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三 角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两 个多边形： 根据图中提供的信息填表： 格点多边形各边 上的格点的个数 格点边多边形内 部的格点个数 格点多边形的面 积 多边形 1 8 1 8 多边形
14、 2 7 3 11 一般格点多边形a b S 则 S 与 a、b 之间的关系为S=_a+2b-2_( 用含 a、b 的代数式表示)。 27.（本小题满分9 分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A （6， 0） ,点 B(0,6) ， 动点 C 在以半径为3 的 O 上，连接 OC ,过 O点作 OD OC,OD 与 O相交于点 D（其中点C、O 、D按逆时针方向排列） ，连接 AB 。 （1）当 OC AB时， BOC 的度数为 _45_; （2）连接 AC ，BC ，当点C 在 O 上运动到什么位置时，ABC 的面积最大？并求出ABC 的面积的最大值。 S=18+92 （3）连接 AD
15、 ，当 OCAD时， 历届中考数学试题2013 江苏常州（第6 页，共 8 页） 求出点 C的坐标；直线BC是否为 O的切线？请作出判断，并说明理由。 解析 ： OC AB BOC= OBA A（6，0） ,点 B(0,6), 且 BOA=90 OBA=45 BOC=45 (2)要求 ABC 的面积最大， SABC= 1 2 AB h, 其中， AB=6是一个定值， 那么只要h 最大， SABC也就最大， 即转化为要找点C 到线段 AB 的最大距离。由图中可知，在第三象限中，与AB 平行的线与圆O 相切的点即为C 点，此时h 最大 过 O 作 OEAB ， OA=OB=6 AB=62 OEAB
16、 OE=32 CE=OC+ OE=3+ 32 SABC= 1 2 ABh= 1 2 62(3+ 32) =92+18 (3)、 OCAD ADO= COD=90 OD=3，OA=6 AOD=60 , BOD=30 COD=90 BOC=60 过 C作 CFx 轴 OC=3， COF=30 CF=1.5， OF=1.53 C （-1.53，1.5 ） 直线 BC是 O的切线 x x y y 备用图 第 27题 C A B O C A B O D D 历届中考数学试题2013 江苏常州（第7 页，共 8 页） 在 AOD 和 BOC 中，60 OBOA AODBOC OCOD AOD BOC， A
17、DO= BCO=9 0 直线 BC是 O的切线 28.(本小题满分10 分) 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=2x+2 的图象与x 轴交于 A，与 y 轴交于点C，点 B 的坐标为 (a,0),(其中 a0), 直线 l 过动点 M(0,m)(0m2) ，且与 x 轴平行，并与直线AC 、BC 分别相交于点D、E，P 点在 y 轴上 (P 点异于 C 点)满足 PE=CE,直线 PD 与 x 轴交点点Q，连接 PA. (1) 写出 A、C 两点的坐标；A(-1,0) C （0,2） (2) 当 0m1 时，若 PAQ是以 P为顶点的倍边三角形（注：若HNK 满足 HN=2HK, 则称
18、HNK为以 H为顶点的 倍边三角形） ，求出 m的值 ; 3 4 (3) 当 1m2时，是否存在实数m ，使 CD AQ=PQ DE ？若能，求出m的值 ( 用含 a的代数式表示) ；若不能，请 说明理由。 a+1 a xx yy 第28题备用图 B C AOB C AO 解析 ： （1）点 A（-1,0）点 C（0,2） （2）点 M（0，m） ，直线 AC：y=2x+2 ；所以点 D（ 2 2m ，m） RtCEM 和 RtPEM 中， EMEM EPCE RtCEMRtPEM CM=PM 2-m=m-y 22my 即点 P（0，22m） 设直线 DP：bkxy 点 D 和点 P 在直线
19、DP 上 22,2mbk 点 Q 为（ m-1,0） 历届中考数学试题2013 江苏常州（第8 页，共 8 页） APQ 是以 P 为顶点的倍边三角形，由图可知：AP=2PQ 又 RtAPO 和 RtPOQ 中， 222 AOPOAP， PQ2 =PO2 +QO2 )(4 2222 QOPOAOPO 整理得： 222 43AOQOPO 222 1) 1(4)22(3mm 得)( 4 5 4 3 舍或mm 4 3 m （3）点 D（m m , 2 2 ） ，点 Q（0, 1m） ，点 P（0,22m） 设直线 BC 为： 11 bxky点 B（0,a）点 C（0，2） 2, 2 11 b a k直线 BC 为：2 2 x a y 点 E 为（m ma , 2 )2( ） 2 )2(5 ) 2 2 ()2( 2222 mm mDMCMCD mmAQ)1(1 )1(5) 1()22( 2222 mmmDOPOPQ 2 )2)(1( 2 2 2 )2(mamma DE DEPQAQCD 2 )2)(1( ) 1(5 2 )2(5ma mm m 解得： a a m 1 1m2 当10a时，2m，此时 m 不存在当1a时， a a m 1