中考数学专题复习.pdf

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1、中考数学专题复习 （一）分类讨论问题 【简要分析】 分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究 和求解的一种数学解题思想对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问 题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决分类思想方法实质上是按照数学对象的共 同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解要注意，在 分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏 【典型考题例析】 例1 ： 已 知 直 角 三 角 形 两 边x、y的 长 满 足 22 4560xyy， 则 第 三 边 长 为 例 2：

2、O的半径为 5 ，弦 AB CD ，AB=6， CD=8，则 AB和 CD的距离是（） （A）7 （B）8 （C）7 或 1 （D）1 例 3： 如图 2-4-2 ， 正方形 ABCD 的边长是 2， BE=CE ， MN=1 ， 线段 MN 的两端在 CD 、 AD上滑动当 DM= 时， ABE与以 D、M 、N为项点的三角形相似 例 4：如图 2-4-3，在直角梯形ABCD中， ADBC ， C=90 0，BC=16 ，DC=12 ，AD=21 ，动点 P从 D出发， 沿射线 DA的方向以每秒2 个单位长度的速度运动，动点Q从点 C出发，经线段CB上以每秒 1 个单位长度 的速度向点B运动

3、，点 P、Q分别从 D、C 同时出发，当点Q运动到点 B 时，点 P随之停止运动设运动时 间为t秒 （1）设 BPQ的面积为 S，求 S与t之间的函数关系式 （2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？ 题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的 前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证 【提高训练12】 1已知等腰 ABC的周长为 18 ，BC=8若 ABC A B C，则 A B C中一定有一定有条边等 于（） A7 B2 或 7 C5 D2 或 7 2已知 O的半径为 2，点 P是 O外一

4、点， OP的长为 3，那么以 P 这圆心，且与 O相切的圆的半 径一定是（） A1 或 5 B1 C5 D1 或则 3A、B两地相距450 千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行已知甲车速度为120 千米 /时，乙车速度为80 千米 / 时，以过 t小时两车相距 50 千米，则 t的值是（ ） A2 或 25 B2 或 10 C10 或 125 D2 或 125 已知点是半径为的外一点，PA是 O的切线， 切点为 A，且 PA=2，在 O内作了长为22 的弦 AB，连续 PB，则 PB的长为 5在直角坐标系 xoy中，一次函数 3 2 3 yx的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B

5、（1）苈 以原点 O 这圆心的圆与直线AB 切于点 C，求切点 C 的坐标（2）在 x轴上是否存在点 P，使 PAB为等腰 三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【提高训练12 参考答案】 1 D 2 A 3 A 42或 255 （1） 3 3 (, ) 22 （ 2）满足条件的点P 存在，它的坐标是 23 (23,0)(,0)(42 3,0)( 423,0) 3 或或或 （二）信息题 【简要分析】 信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实 际问题的一类题 解答信息题时，首先要仔细观阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信息（如

6、数据间的关系与规律图 象的形状特点、 变化趋势等），然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换， 使问题顺利获解 【典型考题例析】 例 1：长沙市某公司的门票价格如下表所示 购票人数，150 人51100 人100 人以上 票价10 元/人8 元/ 人5 元/人 某校初三年级甲、乙两个班共100 多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50 多人，乙班不足 50 人如果以班为单位分别购买门票，两个班一共应付920 元；如果两个班联合起来作为一个团体购票， 一共只付 515 元问甲、乙班分别有多少人？ 说明：本题书籍条件由图表给出，题型新颖，是近年来的热点题型解这类问题要

7、学会读懂图表信 息，分析题设与图表信息的联系，巧设未知数，建立方程或方程组求解 例 2：张欣和李明相约到图书城去买书，请你根据全心全意的对话内容（图2-4-4） ， ， 图出李明上次买书籍的原价 例 3：某商定公司为指导某种应季商品的生产和销售，对3 月份至 7 月份该商品的售价和生产进行 了调研， 结果如下： 一件商品的售价M（元）与时间t(月)的关系可用一长线段上的点来表示（如图 2-4-5） ； 一件商品的成本Q（元）与时间 t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中 6 月份成本最高（如图 2-4-6） 根据提供的信息解答下列问题： (1)一件商品在3 月份出售时的利润是多少? (

8、2)求图 226 中表示的一件件的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式， (3)你能求出 3 月份至 7 月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗？若该公司能在 一个月内售出此种商品30000 件，请你计算一下该公司在一个月内的最少获利 说明： 此题紧密联系点生产、经营实际，用函数图象反映售价、成本与时间的关系，解题目时，要善于 读民生图象所给信息，弄清图象反映的是哪些变量之间的关系，然后再用相关的函数知识给予解答 【提高训练13】 1某超市购进了一批不同价格的皮鞋,下表是该超市在近几年统计的平均数据： 皮鞋价 (元) 160 140 120 100 销售百分率60%

9、75% 83% 95% 要使该超市销售皮鞋收入最大，该超市应多购进( )皮鞋. A160 元B140 元C120 元D100 元 3南宁市是广西最大的罗非鱼养殖产区，被国家农业部列为罗非鱼优势区域，某养殖场计划下半年养殖无 公害标准化罗非鱼和草鱼，要求这两个品种总产值G （吨）满足：1580 1600G ， 总产值为 1000 万元已 知相关数据如上表所示，问该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在什么范围？（产值 =产量单价）4某 公司推销一种新产品，设x（件）是推销新产品的数量， y（元）是推销费，图 2-4-8 表示了公司每月付 给推销员推销费的两种方案看图解答下列问题：（1）求 12 ,yy

10、与x的函数关系式 （2）解释图中表示的 两 种 方 案 是 如 何 付 推 销 费 的 （ 3 ） 如 果 你 是 推 销 员 ， 应 该 如 何 选 择 付 费 方 案 ？ 10 20 30 40 50 60 100 200 300 400 500 600 x( 件 ) y( 元 ) y1 y2 【提高训练13 参考答案】 1 B 2每件T 恤衫20 元，每瓶泉水2 元 3设该该养殖场下半年罗非鱼的产量为x吨，则 10000.45 15801600 0.85 x x， 解得 857 5X900 故该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制有在857 5 吨到 900 吨的范围 4 （1） 12 20

11、,10300yx yx（2） 1 y是不推销产品没有推销费, 每推销 10 件产 品得推销费 200 元， 2 y是保底工资300 元，每推销 10 件产品再提成100 元（3）若业务能力强，平均每 月能保证推销30 件时，就选择 1 y的付费方案，否则选择 2 y的付费方案 （三）阅读理解题 【简要分析】 阅读理解题的篇幅一般都较长，试题结构大致分两部分：一部分是阅读材料，别一部分是根据阅读材 料需解决的有关问题阅读材料既有选用与教材知识相关的内容的，也有广泛选用课外知识的考查目标 除了初中数学和基础知识外，更注重考查阅读理解、分析转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能 力 【典型考题例

12、析】 例 1：若关于x的一元二次方程 2 (1)40xmxm两实数根的平方和是2，求m的值 解：设方程的两个实数根为 1 x， 2 x，那么 1212 1,4xxmx xmg 21222 121212()2(1)2(4)72xxxxx xmmmg ，即 2 9.3mm解得 答：m的值是 3 请把上述解答过程的错误或不完整之处写出来，并给出正确解答 例 2：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋 转对称图形， 转动的这个角度称为这图形的一个转角例如：下班正方形绕着它的对角线的交点旋转 0 90 后 能与自身重合（如图2-4-9） ，所以正方形是一个旋转

13、对称图形，它有一个转角为 0 90 （1）判断下列命题的真假（在相应的特号内填上“真”、 “假”） ： 等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180 0 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180 0 （2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个转角是1200的是 （写出所有正确结论的 序号）正三角形正方形正六边形正八边形 （3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72 0，并且分别满足下列条件； 是轴对称图形，但不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形 例 3：阅读：我们知道，在数轴上， 1x 表示一个点而在平面直角坐标系中， 1x 表示一条直线； 我们还知

14、道，以二元一次方方程210xy的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21yx的 图象，它也是一条直线，如图2-4-10 可以得出：直线 1x 与直线21yx的交点 P 的坐标（ 1，3）就是 方程组 1 3 x y 在直角坐标系中， 1x 表示一个平面区域， 即直线 1x 以及它左侧的部分， 如图 2-4-11；21yx 也表示一个平面区域，即直线21yx以及它下方的部分， 如图 2-4-12 回答下列问题： 在直角坐标系 （图 2-4-13）中， （1）用作图象的方法求出方程组 2 22 x yx 的解 （2）用阴影表示 2 22 0 x yx y ，所围成的区域 图2-4-12图2-4-

15、11图2-4-10 y x O y=2x+1 y x O1 3 y=2x+1 1 P(1,3) O x y P O y x x=-2 y=-2x+2 1 图 2-4-13 【提高训练14】 1 先阅读下列材料，然后解答题后的问题 材料： 从 A、B、C 三人中选择取二人当代表，有A 和 B、A 和 C、B 和 C 三种不同的选法，抽象成数学 模型是：从 3 个元素中选取2 个元素组合，记作 2 3 3 2 3 2 1 C 一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作 (1)(2)(1) (1)(2)321 n m m mmmn C n nn L L 问题： 从 6 个人中选取4 个人当代表，不同

16、的选法有种 2 阅读下列一段话，并解决后面的问题 观察下面一列数从第2 项起，每一项与它前一项的比都等于2 一般地，如果一列数等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 （1）等比数列5，-15，45，的第4 项是 （ 2 ） 如 果 一 列 数 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 是 等 比 数 列 ， 且 公 比 为q， 那 么 根 据 规 定 ， 有 3244 1233 , aaaa qqqq aaaa L L 所以 223 213214311 ,(),(),aa q aa qa q qqaa qa qqa qL L n a（用 1 a和q的代数式表示） （3

17、）一大体上等比数列的第2 项是 10，第 3 项是 20，求它的第1 项与第 4 项 先阅读下材料，然后按要求解答有关问题 已知关于 x的一元二次方程 2 (12 )0xk xk有两个实数根 1 x和 2 x，且 1212 ()30xxx xg， 求实数k的值 小虹同学对上面的问题是这样解的： 解：由根与系数的关系有： 2 1212 21,xxkxxkg 1212 ()30xxxxg， 2 2130kk，即 2 3210.kk 解方程，得 12 1 1, 3 kk，k的值为1或 1 3 老师看了小虹的这个解答后，写了如下评语：“你的解题方向是正确的，但过程欠严密，请再思 考一下，相信你一定会求

18、出正确结果”请你帮助小虹同学订正此题，好吗？ 3 如果将点 P 绕定点 M 旋转 180 0 后与点 Q 重合那么称点P 与点 Q 关于点 M 对称，定点M 叫做对称中 心此时 P与点 O 关于点 M 是线段 PQ的中点 如图 2-4-14，在直角坐标系中，ABO的顶点 A、B、O 的坐标分别为（ 1，0） 、 （0，1） 、 （0， 0） ，点列 1 P， 2 P， 3 P，中的相信两点都关于ABO的一个顶点对称； 点 1 P与点 2 P关于点 A 对称， 点 2 P与点 3 P关于点 B 对称，点 3 P与 4 P关于 O对称，点 4 P与点 5 P关于点 A 对称，点 5 P与点 6 P

19、关于 点 B 对称点 6 P与点 7 P关于点 O，对称中心分别是A、B、O、A、B、O、且这些对称中心依次循环， 已知点 1 P坐标是（ 1，1） ，试求出点 2 P， 7 P， 100 P坐标 A B P1 O1 x y 4 阅读以下短文，然后解决问题 如果一个三角形和一个矩形满期足下列条件：三角形的三边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对 的顶点在矩形的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”如图 2-4-15 所示，矩形 ABEF即为 ABC 的“友好三角形” 显然，当 ABC是钝角三角形时，其“友好三角形”只有一个 图2-4-17 图 2-4-16图2-4-15 FE C C C

20、 B B B A A A （1）仿照以上叙述，说明了什么是一个三角形的“友好平行四边形” （2）如图 2-4-16 中画出 ABC所有 的“友好矩形” （3）若 ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图 2-4-17 中画出 ABC年有的“友 好矩形” 【提高训练14 参考答案】 1152 （1）135（2） 1 1 n a q（3） 14 5,40aa 3 由 方 程 有 两 个 实 数 根 知 = 22 1 (1 2 )4140, 4 kkkk即 由 根 与 系 数 的 关 系 有 2 1212 21,xxkx xk, 而 1212 ()30xxx x, 2 2130kk, 即 2 321

21、0kk 解 得 12 1 1, 3 kk又 1 4 k， 1 3 k舍去k的值为1 4 2 P的坐标为（ 1， -1） ， 7 P的坐标为（ 1，1） 100 P的坐标为（ 1，-3） 5 （1）如果一个三角形和一个平行四边形满足 条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合， 且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的 对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友 好平行四边形”（2）共有 2 个友好矩形， 如图（1） 的四边形 BCAD、ABEF （3）共有 3 个友好矩形， 如图（ 2）的 BCDE 、CAFG及 ABHK （四）综合题 图(2) 图(1) K H G F ED CB A F

22、E D C B A 综合题一直是中考复习最后阶段的重点和难点综合题所考查的内容涉及初中代数或几何中若干不同 的知识点，这就需要我们既要扎实地掌握好数学基础知识，又具备灵活综合运用数学知识解决问题的能 力在近年的中考命题中，综合题的难度有所下降，形式与内容也有一定程度的创新 （）方程型综合题 【简要分析】 方程是贯穿初中代数的一条知识主线方程型综合题也是中考命题的热点，中考中的方程型综合题主 要有两类题：一类是与地、一元二次方程根的判别式、根与系数有关的问题，另一类是与几何相结合的问 题 【典型考题例析】 例 1：已知关x的一元二次方程 2 30xxm有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两实

23、数根分别为 1 x和 2 x，且 1 xx 22 12 11xx求m的值 例： 已知关于x的方程 2 (2)20axaxa有两个不相等的实数根 1 x和 2 x，并且抛物线 2 (21)25yxaxa与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁 （1）求实数 a的取值范围 当 12 22xx时，求a的值 说明运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系数不为零， 运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存在的前提，即要保证 0 例 3： 如图 2-4-18， 0 90B，O是 AB上的一点，以O为圆心， OB为半径的圆与AB交于点 E，与 AC切于点 D若 AD=2 3，且 AB的长 是关于x

24、的方程 2 80xxk的两个实数根 （1）求 O的半径（2）求 CD的长 【提高训练15】 1已知关于 x的方程 221 (1)10 4 xkxk的两根是一矩形两邻边的长 （1）k取何值时， 方程 有两个实数根？（2）当矩形的对角线长为 5时，求k的值 2已知关于 x的方程 22 2(1)230xmxmm 的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否 存在实数k，使关于x的方程 22 ()520xkm xkmm的两个实数根 1 x、 2 x之差的绝对 值为 1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 3已知方程组 2 2 1 yx ykx 有两个不相等的实数解 （1）求k有取值范围（2）若 图2

25、-4-18 E D C B A O 图2-4-19 E O D C BA 方程组的两个实数解为 1 1 xx yy 和 2 2 xx yy 是否存在实数k，使 1122 1xx xx？若存在，求出k的值； 若不存在，请说明理由 4如图 2-4-19，以 ABC的直角边 AB 为直径的半圆O 与斜边 AC交于点 D，E是 BC边的中点， 连结 DE （1）DE 与半圆 O 相切吗？若不相切，请说明理由（2）若 AD、AB 的长是方程 2 10240xx 的个根，求直角边BC的长 【提高训练15 答案】 （1） 3 2 k（2）2k存在，24k或 （1） 1 2 k（2）满 足条件的k存在，3k

26、（1）相切，证明略（2）35 （）函数型综合题 【简要分析】 中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思 想的运用能力以及探究能力此类综合题， 不仅综合了 函数及其图象 一章的基本知识， 还涉及方程 （组） 、 不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问 题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键 【典型考题例析】 例 1：如图 2-4-20，二次函数的图象与 x轴交于 A、B 两点，与y轴 交于点 C，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过 点 B、D （1）求 D 点的坐标

27、（2）求一次函数的解析式 （3）根据图 象写出使一次函数值大于二次函数的值的 x的取值范围 说明： 本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称 性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运 用等 例 2 如图 2-4-21，二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象与x轴 交于 A、B 两点，其中A 点坐标为（ 1，0） ，点 C（0，5） 、D（1，8） 在抛物线上， M 为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式 （2）求 MCB的面积 说明： 以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图 形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点解 决这类

28、问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行 分割，转化为特殊几何图形的面积求解 例 3 ：已知抛物线 2 (4)24yxmxm与x轴交于 1 (,0)A x、 2 (,0)B x，与y轴交于点 C，且 1 x、 2 x满足条件 1212 ,20xxxx （1）求抛物线的角析式； （2）能否找到直线ykxb与抛物线交于P、 Q 两点，使y轴恰好平分 CPQ的面积？求出k、b所 满足的条件 说明本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线解题时要注意运 用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化例如：二次函数与x轴有交点可转化

29、为一元二 次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解点在函数图象上，点的坐标就满足该 函数解析式等 图2-4-20 3 y x 3 2 1 -3 -2 -1 O C BA N M D C B AO 图2-4-21 y x 例 4 已知：如图 2-4-23，抛物线 2 yaxbxc经过原点（0，0） 和 A（ 1，5） （1）求抛物线的解析式 （2）设抛物线与 x轴的另一个交点为 C以 OC为直径作 M， 如果过抛物线上一点P 作 M 的切线 PD， 切点为 D，且与y轴的正半 轴交于点为 E， 连结 MD 已知点 E的坐标为（0，m） ， 求四边形 EOMD 的面积（用含 m的

30、代数式表示） （3）延长 DM 交 M 于点 N，连结 ON、OD，当点 P在（ 2）的 条件下运动到什么位置时，能使得 DONEOMD SS 四边形 ？请求出此时点 P的坐标 【提高训练16】 1已知抛物线的解析式为 2 (21)yxmxmm， （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的 交点（2）若此抛物线与直线34yxm的一个交点在y轴上，求 m的值 2如图 2-4-24，已知反比例函数 12 y x 的图象与一次函数4ykx的图象相交于P、Q 两点，并且P 点的纵坐标是6 （1）求这个一次函数的解析式（2）求 POQ的面积 3在以 O 这原点的平面直角坐标系中，抛物线 2 (0)yaxb

31、xc a与y轴交于点 C （0，3） 与x 轴正半轴交于A、B 两点（ B 点在 A 点的右侧），抛物线的对称轴是2x，且 3 2 AOC S （1）求此 抛物线的解析式 （2）设抛物线的顶点为D，求四边形ADBC的面积 OABC是一张平放在直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点， 点 A 在x 轴上，点 C 在y轴上， OA=10，OC=6 （1）如图 2-4-25，在 AB 上取 一点 M，使得 CBM沿 CM 翻折后，点 B 落在x轴上，记作B点， 求所 B点的坐标（2）求折痕 CM所在直线的解析式 （3）作 BG AB交 CM于点 G ，若抛物线 21 6 yxm过点 G ，求抛物线的解析

32、 式，交判断以原点O为圆心， OG为半径的圆与抛物线除交点G外，是 否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标 5如图 2-4-26，在 RtABC中， ACB=90 0， BCAC，以斜 边 AB所在直线为 x轴，以斜边 AB上的高所在的直线为y轴， 建立直角坐标系，若 22 17OAOB，且线段 OA 、OB的长 是 关 于x的 一 元 二 次 方 程 2 2(3)0xmxm的 两 根 （1）求点 C 的坐标（2）以斜边 AB 为直径作圆与y轴交 于另一点E ，求过 A、B、E 三点的抛物线的解析式，并画出此 抛物线的草图 （3）在抛物线的解析式上是否存在点P，使 ABP和 ABC全等？若相聚

33、在， 求出符合条件的P点的坐标； 若 A D E P N M y O 图 2-4-21 x 图 2-4-25 C y x B M G B AO f x = 2 x2 E 图2-4-25 C y BA O f x = 2 x2 不存在，请说明理由 【提高训练16 答案】 1 （ 1） 22 (21)4()10mmm， 抛 物 线 与x轴 必 有 两 个 不 同 的 交 点 （ 2 ） 15m或15m 2 （1）4yx （2）16 POQ S 3 （1） 2 43yxx （2） 4 ADBC S四边形 4 （1）B（ 8，0） ； （2） 1 6 3 yx（3）抛物线方程为 2122 63 yx除

34、了 交点 G外，另有交点为点G 关于y轴的对称点，其坐标为（8， 10 3 ） 5 （1）C（0，2） （2） 2 13 2 22 yxx （3）存在，其坐标为（0， 2）和（ 3，-2） （）几何型综合题 【简要分析】 几何型综合题包括几何论证型综合题和几何计算型综合题两大类，一般以相似为中心，以圆为重点， 还常与代数综合它以知识上的综合性与中考中的重要性而引人注目 值得一提的是，在近两年各地的中考试题，几何综合题的难度普遍下降，出现了一大批探索性试题， 根据新课标的要求，减少几何中推理论证的难度，加强探索性训练，将成为几何型综合题命题的新趋势 【典型考题例析】 例 1：如图 2-4-27，

35、四边形 ABCD是正方形， ECF是等腰直角三角形，其 中 CE=CF ，G 是 CD与 EF的交点 （1）求证： BCF DCE （2）若 BC=5 ，CF=3 ， BFC=90 0，求 DG：GC的值 例 2：已知如图2-4-28，BE是 O的走私过圆上一点作O的切线 交 EB 的延长线于 P过 E点作 ED AP交 O于 D，连结 DB并延长交 PA 于 C，连结 AB、AD （1）求证： 2 ABPB BD （2）若 PA=10，PB=5，求 AB和 CD的长 例 2：如图 2-4-29， 1 O和 2 O相交于 A、B两点，圆心 1 O在 2 O上，连心线 1 O 2 O与 1 O交

36、于点C 、D，与 2 O交于点E，与AB 交于点 H，连结 AE （1）求证： AE为 1 O的切线 （2）若 1 O的半径 r=1， 2 O的半径 3 2 R，求公共弦AB的长 （3）取 HB的中点 F，连结 1 OF，并延长与 2 O相交于点 G ，连结 EG ，求 EG的长 例 4 如图 2-4-30，A 为 O的弦 EF上的一点， OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA 的延长线交 O于点 C，过点 C 作O的切线与 EF的延长线交于点D （1）求证： DA=DC 图2-4-28 C 3 2 1 O E P B A O2 O1 H G F E D B C A 图2-4-28 图2-4

37、-27 G F E D C B A （2）当 DF：EF=1：8 且 DF=2时，求AB AC的值 （3）将图2-4-30 中的 EF 所在的直线往上平移到O 外，如图 2-4-31 ，使 EF与 OB的延长线交 O于点 C，过点 C 作 O的切线交EF于 点 D试猜想 DA=DC 是否仍然成立，并证明你的结论 【提高训练17】 1如图 2-4-32，已知在 ABC中，AB=AC ，D、E分别是 AB 和 BC上的点， 连结 DE并延长与 AC的延长线相交于点F若 DE=EF ， 求证：BD=CF 2点 O 是 ABC所在平面内一动点，连结OB 、OC ，并将 AB、OB 、OC 、AC的中点

38、 D、E、F、G依次连结，如果DEFG 能构成四边形 （1）如图 2-4-33 ，当 O 点在 ABC内时，求证四边形DEFG 是平行四边形（2） 当点 O移动到 ABC 外时， （1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由（3）若四边形 DEFG 为矩形， O点所在位置应满足什么条件？试说明理由 3如图 2-4-35，等腰梯形ABCD 中， ADBC， DBC=45 0翻折梯形 ABCD，使 点 B 重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点 F、E若 AD=2，BC=8 ，求： （1）BE 的长 （2） CDE的正切值 4 如图 2-4-35，四边形 ABCD内接于 O ， 已知直径 AD=2

39、 ， ABC=120 0，ACB=450， 连结 OB交 AC于点 E （1）求 AC 的长 （2）求 CE ：AE的值（3）在 CB 的延长 上取一点P，使 PB=2BC ，试判断直线PA 和 O 的位置关系，并加以证明你的结 论 5如图 2-4-36，已知 AB 是 O的直径， BC 、CD分别是 O的切线，切点分 别为 B、D，E 是 BA和 CD的延长线的交点 （1）猜想 AD与 OC的位置关系， 并另以证明（2）设AD OC的值为 S，O的半径为 r ，试探究 S与 r 的关 系 （3）当 r=2 ， 1 sin 3 E时，求 AD和 OC的长 【提高训练17 答案】 1过 D 作

40、DGAC交 BC于 G，证明 DGE FCE 2 （1）证明 DG EF即可 （2）结论仍然成立，证明 略 （3） O点应在过A点且垂直于BC的直线上（A点除外）， 说理略 3（1） BE=5 （2） 3 tan 5 CDE 4 （1）3AC（2） 1 : 2 CEAE（3） 1 : 2 CE AE，PB=2BC ， CE ：AE=CB ：PBBEAP AO AP PA为 O的切线 5 （1）AD OC ，证明略（2）连结 BD ，在 ABD和 OCB 中， AB是直径， ADB= OBC=90 0 又OCB= BAD ，RtABD RtOCB A DA B O BOC 2 22SAD OCA

41、B OBr rr， 2 2Sr（3） 4 3 3 AD，23OC （）动态几何综合题 【简要分析】 函数是中学数学的一个重要概念加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的考查是近年中 考试题的一个显著特点大量涌现的动态几何问题，即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体 K 图2-4-30 H FED O C B A 图 2-4-33 O G FE D CB A 图 2-4-34 F E D C B A O 图 2-4-35 P E D C B A 图 2-4-36 OE D C B A 现这类题目的三乱扣帽子解法是抓住变化中的“不变”以“不变”应“万变” 同时，要善于利用相似 三角形

42、的性质定理、勾股定理、圆幂定理、面积关系，借助议程为个桥梁，从而得到函数关系式，问题且 有一定的实际意义，因此，对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件 【典型考题例析】 例 1：如图 2-4-37，在直角坐标系中,O 是原点 ,A、B、C 三点的坐标分别 为 A（18，0） 、B（18，6） 、C（8，6） ，四边形 OABC是梯形点P、Q 同时 从原点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒 1 个单位，点Q 沿 OC、CB向终点 B 运动，当这两点有一点到达自己的终点 时，另一点也停止运动 （1）求出直线OC的解析式 （2）设从出发起运

43、动了 t秒，如果点 Q 的速度为每秒 2 个单位， 试写出 点 Q 的坐标，并写出此时t的取值范围 （3）设从出发起运动了 t秒，当 P、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形 OABC的周长的一半时，直 线 PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出 t的值；如不可能，请说明理由 例 2： 如图 2-5-40 ，在 RtPMN 中， P=90 0，PM=PN ，MN=8，矩形 ABCD 的长和宽分别为 8 和 2 ，C 点和 M点重合， BC和 MN 在一条直线上令RtPMN 不动，矩形 ABCD 沿 MN所在直线向右以每秒1 的速度移动（图2-4-41 ） ，直到 C 点与 N

44、 点重合为止设移动x秒后，矩形ABCD 与 PMN 重叠部分的面积 为y 2求 y与x之间的函数关系式 N P (M) D CB A 图2-4-40 N P M D CB A 图2-4-41 Q N N A B C D G F H TM 2 2x 图2-4-44 P P 图2-4-43 x 2 2 MT H F GD CB A 说明： 此题是一个图形运动问题，解答方法是将各个时刻的图形分别画出，将图形则“动” 这“静” ， 再设法分别求解这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮我们理清思路，各个击破 【提高训练18】 1如图 2-4-45，在ABCD中， DAB=60 0，AB=5，

45、BC=3 ，鼎足之势 P 从起点 D 出发，沿 DC、CB 向终 点 B 匀速运动设点P所走过的路程为x，点 P所以过的线段与绝无仅有AD、AP所围成图形的面积为y， y随x的函数关系的变化而变化在图2-4-46 中，能正确反映y与x的函数关系的是（） 图 2-4-37 O C B A x y Q P O OOO X X X X YY Y Y 8 8 88 A B C D 2如图 2-4-47，四边形AOBC为直角梯形， OC=5，OB=%AC ，OC 所在直线 方程为2yx，平行于 OC的直线l为：2yxt，l是由 A 点平移到 B 点 时，l与直角梯形AOBC两边所转成的三角形的面积记为S

46、 （1）求点 C 的坐 标 （2）求t的取值范围（3）求出 S与t之间的函数关系式 3如图 2-4-48，在ABC中， B=90 0，点 P从点 A 开始沿 AB边向点 B以 1 / 秒的速度移动，点Q从点 B 开始沿 BC边向点 C以 2 / 秒的速度移动（1）如 果 P、Q分别从 A、B同时出发，几秒后PBQ的面积等于8 2？（ 2）如果 P、 Q分别从 A、B 同时出发，点P到达点 B后又继续沿BC边向点 C移动，点 Q到达 点 C后又继续沿CA边向点 A 移动，在这一整个移动过程中，是否存在点P 、Q， 使 PBQ的面积等于9 2 ？若存在，试确定P 、Q的位置；若不存在，请说明理 由

47、 4如图 2-4-49，在梯形 ABCD中， AB=BC=1 0 ， CD=6， C=D=90 0 （1）如 图 2-4-50 ，动点 P、Q同时以每秒1 的速度从点B 出发，点 P沿 BA、AD 、DC运 动到点 C 停止设 P、Q同时从点 B出发t秒时， PBQ的面积为 1 y（ 2） ，求 1 y （ 2）关于 t（秒）的函数关系式 （2）如图 2-4-51 ，动点 P 以每秒 1 的速 度从点 B出发沿 BA运动，点 E在线段 CD上随之运动，且PC=PE 设点 P 从点 B 出发t秒时，四边形PADE 的面积为 2 y（ 2） 求 2 y（ 2）关于 t（秒）的函数 关系式，并写出自变量 t的取值范围 图 2-4-51 图 2-4-50 Q P D C B A A B C D P Q 【提高训练18 答案】 1A 2 （1） C（1， 2）（ 2） 10t 2 （3）S 与t的函数关系式为 21 5( 100) 20 Sttt或 2 1 1(02) 4 Sttt 3 （1）2 秒或 4 秒（2）存在点 P、Q，使得 PBQ的面积等于9 2，有两种情况：点 P 在 AB边上距 离 A 为 3 ，点 Q在 BC边上距离点 B 为 6 时点 P在 BC边上，距 B点 3 时，此时Q点就是 A 点 图 2-4-47 x y l C B A O 图2-4-48