中考数学专题复习十圆试题浙教版.pdf

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1、圆 一. 教学目标 （1）掌握圆的有关概念和计算 知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性 通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素 利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理 探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征 掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理 了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念 掌握圆内接四边形的性质 （2）点与圆的位置关系 能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系 知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图 （3）直线与圆的位置关系 能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系 了解切

2、线的概念 能运用切线的性质进行简单计算和说理 掌握切线的识别方法 了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念 能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算 （4）圆与圆的位置关系 了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系 能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系 掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算 （5）圆中的计算问题 掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量 掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用 了解圆锥的高、母线等概念 结合生活中的实例（模型）了解圆柱、圆锥的侧面展开图 会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题

3、加以应用 能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积 二. 教学难点与重点： 与圆的性质有关的计算、开放题以及与圆和多边形结合的探索题是本单元的重点也是难点 三. 知识要点： 知识点 1：知识点之间的关系 教学准备 圆 切线长 切线 圆与圆的位置关系 圆的切线 直线与圆的 位置关系 点与圆的位置关系 垂径定理及其推论 圆周角、同弧上圆周角的关系 弧、弦与圆心角 与圆有关的 位置关系 圆的基本性质 圆的对称性 两圆公切线 与圆有关的计算 弧长和扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积 知识点 2：圆的有关性质和计算 弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对

4、应相等，那么它们所对应的其余 各组量也分别对应相等 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半 圆内接四边形的性质： 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角 知识点 3：点与圆的位置关系 设点与圆心的距离为d，圆的半径为r， 则点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆一个

5、三角形有且只有一个外接圆 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 知识点 4：直线与圆的位置关系 设圆心到直线l的距离为d，圆的半径为r， 则直线与圆相离dr；直线与圆相切dr；直线与圆相交dr 切线的性质：与圆只有一个公共点； 圆心到切线的距离等于半径； 圆的切线垂直于过切点的半径 切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 三角形的内心到三角形三边的距离相等 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线

6、段的长叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 知识点 5：圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含 设两圆心的距离为d，两圆的半径为 12 rr、，则两圆外离 12 drr 两圆外切 12 drr 两圆相交 1212 rrdrr 两圆内切 12 drr 两圆内含 12 drr 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴 由对称性知：两圆相切，连心线经过切点两圆相交，连心线垂直平分公共弦 两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线 两个圆在公切线同旁时，这样的公

7、切线叫做外公切线 两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长 知识点 6：与圆有关的计算 弧长公式： 180 n r l扇形面积公式： 2 1 3602 n r Slr 扇形 （其中n为圆心角的度数，r为半径） 圆柱的侧面展开图是矩形 圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体 圆柱的侧面积底面周长高 圆柱的全面积侧面积2底面积 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体 圆锥的侧面积 1 2 底面周长母线；圆锥的全面积侧面积底

8、面积 例 1. ABC中，AC 6，BC 8，C90，以点 C为圆心， CA为半径的圆与AB交于点 D，求 AD的长 【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH AB ，这只要求 出 AH的长就能得出AD的长 例题精讲 【解】作CH AB ，垂足为H C90， AC6， BC 8 AB 10 C90，CH AB ABAHAC 2 又 AC 6， AB10 AH 3.6 CH AB AD 2AH AD 7.2 答： AD的长为 7.2. 【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形由半径、弦心距、弦的一半构 成的直角三角形，它是解决此类问题的关键定理

9、的应用必须与所对应的基本图形相结合，同学们在复习 时要特别注重基本图形的掌握 例 2. （1）如图， ABC内接于 O，AB为直径， CAE B，试说明AE与 O相切于点A （2）在（ 1）中，若AB为非直径的弦，CAE B，AE还与 O相切于点A吗？请说明理由 【分析】第（1）小题中，因为AB为直径，只要再说明BAE为直角即可第（2）小题中， AB为非 直径的弦，但可以转化为第（1）小题的情形 【解】（1） AB是 O的直径 C 90 BAC B90 又 CAE B BAC CAE 90 即 BAE 90 AE与 O相切于点A. （2）连结 AO并延长交 O于 D，连结 CD. AD是 O的

10、直径 ACD 90 D CAD 90 又 D B B CAD 90 又 CAE B CAE CAD 90 即 EAD 90 AE仍然与 O相切于点A. 【说明】本题主要考查切线的识别方法渗透了“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探 索能力的培养非常重要 例 3. 如图，已知O的直径 AB垂直于弦CD于 E，连结 AD 、BD、OC 、OD ，且 OD 5 （1）若sin BAD 3 5 ，求 CD的长 （2）若 ADO ： EDO 4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留） 【分析】图形中有“直径对直角” ，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD 的长就转化

11、为求DE的长第（ 2）小题求扇形OAC的面积其关键是求AOD的度数，从而转化为求AOD 的大小 【解】（1） AB是 O的直径， OD 5 ADB 90， AB 10 又在 RtABD中， 3 sin 5 BD BAD AB BD6 ADB 90， AB CD BD 2BE AB AB 10 BD6 BE 18 5 在 Rt EBD中，由勾股定理得DE 24 5 CDDE2 48 5 答： CD的长为 48 5 （2） AB是 O的直径， AB CD CBBDACAD ， BAD CDB ， AOC AOD AO DO BAD ADO CDB ADO 设 ADO 4k，则 CDB 4k ADO

12、 EDO EDB 90 4490kkk得 k10 AOD 180（ OAD ADO ） 100 AOC AOD 100 则S OAC扇形 100 360 5 125 18 2 答：扇形OAC的面积为 125 18 【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考 查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度求DE 长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以 运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形解题中也运用了比例问题中 的设 k 法，同时也渗透了“转化”的思想方法 例 4. 半径为 2.5 的 O中，直径AB的不同侧有定点C和动

13、点 P已知 BC ： CA 4 ： 3 ，点 P在半圆 AB上运动（不与A、B两点重合），过点 C作 CP的垂线，与PB的延长线交于点Q. （1）当点 P与点 C关于 AB对称时，求CQ的长； （2）当点 P运动到半圆AB的中点时，求CQ的长； （3）当点 P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长 【分析】当点P与点 C关于 AB对称时， CP被直径垂直平分，由垂径定理求出CP的长，再由Rt ACB RtPCQ ，可求得 CQ的长 当点 P在半圆 AB上运动时， 虽然 P、Q 点的位置在变， 但 PCQ始终与 ACB 相似，点 P运动到 半圆 AB的中点时， PCB 45，作 BE

14、PC于点 E， CPPE EC. 由于 CP与 CQ的比 值不变，所以CP取得最大值时CQ也最大 【解】（1）当点 P与点 C关于 AB对称时， CP AB ，设垂足为D AB为 O的直径，ACB 90 AB 5，AC ：CA4： 3 BC 4，AC 3 SRt ACB 1 2 AC BC 1 2 AB CD 1224 ,. 55 CDPC 在 RtACB和 RtPCQ 中，ACB PCQ 90， CAB CPQ Rt ACB RtPCQ ACBC PCCQ 5 32 3 4 PC AC PCBC CQ （2）当点 P运动到弧AB的中点时，过点B作 BE PC于点 E（如图） P是弧 AB的中

15、点， 又 CPB CAB CPB tan CAB 4 3 33 2 , tan42 BE PEBE CPB 从而 7 2 2 PCPEEC 由（ 1）得， 4142 . 33 CQPC （3）点 P在弧 AB上运动时，恒有PC AC PCBC CQ 3 4 故 PC最大时， CQ取到最大值 当 PC过圆心 O ，即 PC取最大值5 时， CQ 最大值为 20 3 【说明】 本题从点P在半圆 AB上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ的最大值， 一方面渗 透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”的观点解决问题时，寻求变化中的不变性 （题中的RtACB RtPCQ ）往往是解

16、题的关键 例 5. 如图， PA，PB是 O的切线， A，B为切点， OAB 30 （1）求 APB的度数； （2）当 OA 3 时，求 AP的长 【点评】本题用到的知识点较多，主要知识点有：圆的切线的性质；等腰三角形的性质；四边 形内角和定理；垂径定理；锐角三角函数等 【解】（1）?在 ABO中， OA OB ， OAB 30， AOB 180230120，PA 、PB是 O的切线， ? OA PA，OB PB ，即 OAP OBP 90 AOB+ APB= 180 APB=6 0 （2）如图，作OD AB交 AB于点 D，? 在 OAB中， OA OB ， AD 1 2 AB ， 在 Rt

17、AOD中， OA 3， OAD 30， AD OA cos30 3 3 2 ，AP AB 3 3 例 6. 如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，?它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏 取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB 12cm ，高 BC 8cm ，求这个零件的表面积 （结 果保留根号） 【解】这个零件的底面积（ 12 2 ） 2 36 cm 2 ? ? 这个零件的外侧面积128 96cm 2 圆锥母线长OC 2212 8() 2 10cm 这个零件的内侧面积 1 2 1210 60cm 2，? 这个零件的表面积为：369660192cm 2 例 7. 如图， O

18、是圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，?沿母线 AB剖开，得剖面矩形ABCD ，AD 24cm，AB 25cm ，若 AmD的长为底面周长的 2 3 ，如图所示： （1）求 O的半径； （2）求这个圆柱形木块的表面积（结果可保留根号） 【解】（1）连结 OA 、 OD ，作 OE AD于 E， 易知 AOD 120， AE12cm，可得 AO r sin 60 AE 83cm （2）圆柱形木块的表面积2S圆 S圆柱侧（ 384 4003）cm 2 例 8. 在图 1和图 2 中，已知OA OB ，AB24， O的直径为10. （1）如图 1，AB与 O相切于点C，试求 OA的值； （2）

19、如图 2，若 AB与 O相交于 D、E两点，且D、E均为 AB的三等分点，试求tanA 的值 （1） 【解】连结OC ， AB与 O相切于 C点， OCA 90， OA OB ， AC BC 12 在 Rt?ACO 中， OA 2222 125ACOC13 （2）作 OF AB于点 F，连结 OD ， DFEF；AFAD DF8412， 在 Rt?ODF中， OF 2222 54ODDF3， 在 Rt AOF中， tanA 31 124 OF AF 例 9. 如图，在 ABC中， C90，以 BC上一点 O为圆心，以OB为半径的圆交AB?于点 M ，交 BC于 点 N （1）求证： BA BM

20、 BC BN ； （2）如果 CM是 O的切线， N为 OC的中点，当AC 3 时，求 AB的值 （1） 【证明】连接MN则 BMN 90 ACB ， ? ACB NMB ， BCAB BMBN ， AB BM BC BN （2） 【解】连接OM ，则 OMC 90， N为 OC? 中点， ?MN ON OM ， MON 60， OM OB ， B 1 2 MON 30 ACB 90， AB 2AC 23 6 例 10. 已知：如图，ABC内接于 O，点 D在 OC的延长线上，sinB 1 2 ， CAD 30 （1）求证： AD是 O的切线；（2）若 OD AB ，BC 5，求 AD的长 （

21、1） 【证明】如图，连结OA ，因为 sinB 1 2 ， 所以 B30，故 O60，又OA OC ，? 所以 ACO 是等边三角形， 故 OAC 60，因为 CAD 30， 所以 OAD 90，所以AD? 是 O的切线 （2） 【解】 因为 OD AB ，所以 OC垂直平分AB ，则 AC BC 5， 所以 OA 5， ?在 OAD中， OAD 90， 由正切定义，有tan AOD AD OA ，所以 AD 53 一、填空题 1. 已知扇形的圆心角为120，半径为2cm，则扇形的弧长是_cm，扇形的面积是_cm 2 2. 如图，两个同心圆中，大圆的半径OA4cm， AOB BOC 60，则图

22、中阴影部分的面积是 _cm 2 3. 圆锥的底面半径为6cm ，高为 8cm ，那么这个圆锥的侧面积是_cm 2 课后练习 4. 如图， O的半径为4cm，直线 l OA ，?垂足为 O ， ?则直线 l 沿射线 OA? 方向平移 _cm时与 O 相切 5. 两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是_ 6. 如图， 从一块直径为ab 的圆形纸板上挖去直径分别为 a 和 b的两个圆，则剩下的纸板面积是_ 7. 如图， AB为半圆 O的直径， CB是半圆 O的切线， B是切点， AC? 交半圆 O于点 D ，已知 CD 1，AD 3，那么 cosCAB _ 8. 如图， BC为半 O的直径，点D

23、是半圆上一点，过点D作 O? 的切线 AD ，BADA于 A，BA交半圆于 E，已知 BC 10， AD 4，那么直线CE与以点 O为圆心， 5 2 为半径的圆的位置关系是_ 二、选择题 1. 在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的 半径为 R，扇形的圆心角等于120，则r 与 R之间的关系是（） A. R2r B. Rr C. R3r D. R4r 2. 圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积是（） A. 60cm 2 B. 45 cm 2 C. 30 cm 2 D. 15 cm 2 3. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为90，

24、 ?则该圆锥的底面半径与母线长的比为（） A. 1：2 B. 2：1 C. 1： 4 D. 4：1 4. 将直径为 64cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗）， 那么每个圆锥容器的高为（） A. 815cm B. 817cm C. 163cm D. 16cm 5. 如图，圆心角都是90的扇形OAB与扇形 OCD 叠放在一起，?OA 3，OC 1，分别连结AC 、BC ，则 圆中阴影部分的面积为（） A. 1 2 B. C. 2 D. 4 6. 如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm? 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的 夹角为 45，

25、若使容器中的水面与圆桶相接触，?则容器中水的深度至少应为（） A. 10cm B. 20cm C. 30cm D. 35cm 7. 生活处处皆学问，如图，眼镜镜片所在的两圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切 8. O的半径为 4，圆心 O到直线 L 的距离为3，则直线L 与 O的位置关系是（） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 9. 如图，已知 O的直径 AB与弦 AC的夹角为35，过点C的切线 PC与 AB的延长线交于点P，那么 P等于（） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 10. 已知圆 A和圆 B相切，两圆的圆心距为8cm，圆

26、 A的半径为3cm ，? 则圆 B的半径是（） A. 5cm B. 11cm C. 3cm D. 5cm或 11cm 11. 如图 PB为 O的切线， B为切点，连结PO交 O于点 A，PA ?2， PO 5，则 PB的长度为（） A. 4 B. 10 C. 26 D. 43 12. 如图， AB与 O切于点 B， AO 6cm ，AB 4cm，则 O的半径为（） A. 45cm B. 25cm C. 213cm D. 13m 三、解答题 1. 如图，已知正三角形ABC的边长为2a （1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积 （2）根据计算结果，要求圆环的面积，?只需测量哪一条弦的大小就可算出

27、圆环的面积； （3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形” ，?你能得出怎样的结论？ （4） 已知正 n 边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积 2. 如图，已知O为原点，点A的坐标为（ 4，3） ，A的半径为2. 过 A作直线l平行于x轴，点 P在直 线l上 运动 （1）当点 P在 A上时，请你直接写出它的坐标； （2）设点 P的横坐标为12，试判断直线OP与 A的位置关系，并说明理由 3. 如图 1，已知RtABC中，30CAB，5BC过点A作AEAB，且15AE，连接BE 交AC于点P （1）求PA的长； （2）以点A为圆心，AP为半径作 A，试判断BE与 A

28、是否相切，并说明理由； （3）如图 2，过点C作CDAE，垂足为D以点A为圆心，r为半径作 A；以点C为圆心，R 为半径作 C若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持A和 C相切 ，且使 D点在 A的内 部，B点在 A的外部，求 r和R的变化范围 4. 已知： AB为 O的直径， P为 AB弧的中点 （1）若 O与 O外切于点P（见图甲），AP 、BP的延长线分别交O于点C、D，连接 CD ，则 PCD是三角形； （2）若 O与 O相交于点P、Q （见图乙），连接 AQ 、BQ并延长分别交O于点 E、F，请选择下 列两个问题中的一个 作答： 问题一：判断PEF的形状，并证明你的结论； 问

29、题二：判断线段AE与 BF的关系，并证明你的结论 我选择问题，结论： . 5. 从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300 格，每格11.4cm11cm ，如图甲。用尺量出整卷卫生 纸的半径（R）与纸筒内芯的半径（r） ，分别为5.8cm 和 2.3cm，如图乙。那么该两层卫生纸的厚度为 多少 cm？（ 取 3.14 ，结果精确到0.001cm） 6. 设边长为2a 的正方形的中心A在直线l 上，它的一组对边垂直于直线l ，半径为r 的 O的圆心 O 在直线 l 上运动 ，点 A、O间距离为 D （1）如图，当r a 时，根据 d 与 a、r 之间的关系，将O与正方形的公共点的个数填入下表：

30、d、a、r 之间的关系公共点的个数 dar dar ar dar dar dar 所以，当r a 时， O与正方形的公共点的个数可能有个； （2）如图，当r a 时，根据 d 与 a、r 之间的关系，将O与正方形的公共点的个数填入下表： d、a、r 之间的关系公共点的个数 da r da r adar da 所以，当r a 时， O与正方形的公共点的个数可能有个； （3）如图，当O与正方形有5 个公共点时，试说明r 5 4 a； （4）就 r a 的情形，请你仿照“当 , 时， O 与正方形的公共点的个数可能有个”的形式，至少给出一个关于“O 与正方形的公 共点的个数”的正确结论 一、填空题

31、1. 4 3 ， 4 3 2. 8 3 3. 60 4. 4 5. 两圆相交6. 2 ab 7. 3 2 8. 相离 练习答案 二、选择题 1. C 2. D 3. C 4. A 5. C 6. D 7. A 8. A 9. B 10. D 11. A 12. B 三、解答题 1. 解 （1）S圆环a 2 （2）弦 AB或 BC或 AC （3）圆环的面积均为（ 2 边长 ） 2. （4）S圆环a 2 2. 解：点 P的坐标是（ 2，3）或（ 6， 3） 作 AC OP ，C为垂足 ACP OBP 90， 1 1 ACP OBP ACAP OBOP 在OBPRt中， 22 153OPOBBP，又 AP 1248， 8 3 153 AC AC 241531.94 1.94时， O与正方形的公共的点个数可能有0、1、 2、3、4 个