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1、 11 因动点产生的相似三角形问题 课前导学 相似三角形的判定定理有3 个，其中判定定理1 和判定定理2 都有对应角相等的条件，因此探求两个 三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检 验 如果已知 A D，探求 ABC与 DEF相似，只要把夹A和 D的两边表示出来，按照对应边成比 例，分 ABDE ACDF 和 ABDF ACDE 两种情况列方程 应用判定定理1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还
2、有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是 确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好 如图 1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？ 我们以 AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了水 平距离 BC的长就是A、 B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是 A、B两点 间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减 图 1 例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28 题 二次函数y ax 2bx
3、c（a0）的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、 B(1, 0)两点，与y 轴交于点C(0, 3m)（m 0） ，顶点为 D （1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示） ； （2）如图 1，当 m 2 时，点 P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC的面积为S，试求出S 与点 P的横坐标x 之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图 2，当 m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC相似？ 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“14 衡阳 28” ，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到 AC的中点的正下 方时， APC的面积最大拖动y 轴上表示实数m的点运动，抛
4、物线的形状会改变，可以体验到，ACD 和 ADC都可以成为直角 思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 OP ， APC可以割补为：AOP与 COP的和，再减去AOC 3讨论 ACD与 OBC相似，先确定ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形ACD存在两种情况 图文解析 （1）因为抛物线与x 轴交于 A(3, 0) 、B(1, 0)两点，设ya(x 3)(x 1) 代入点 C(0, 3m)，得 3m 3a解得 am 所以该二次函数的解析式为ym(x 3)(x 1) mx 22mx3m （2）如图 3，连结 OP 当 m 2 时， C(0, 6) ，y2x
5、24x6，那么 P(x, 2x2 4x6) 由于 SAOP 1 () 2 P OAy 3 2 (2x 24x6) 3x26x9， SCOP 1 () 2 P OCx 3x， SAOC9， 所以 SSAPC SAOPS COPSAOC 3x 29x 2 327 3() 24 x 所以当 3 2 x时， S取得最大值，最大值为 27 4 图 3 图 4 图 5 （3）如图 4，过点 D作 y 轴的垂线，垂足为E过点 A作 x 轴的垂线交DE于 F 由 ym(x3)(x 1) m(x 1) 24m ，得 D(1, 4m) 在 Rt OBC 中， OB OC 13m 如果 ADC与 OBC相似，那么A
6、DC是直角三角形，而且两条直角边的比为13m 如图 4，当 ACD 90时， OAOC ECED 所以 33 1 m m 解得 m 1 此时 3 CAOC CDED ，3 OC OB 所以 CAOC CDOB 所以 CDA OBC 如图 5，当 ADC 90时， FAFD EDEC 所以 42 1 m m 解得 2 2 m 此时 2 22 DAFD DCECm ，而 3 2 3 2 OC m OB 因此 DCA与 OBC不相似 综上所述，当m 1 时， CDA OBC 考点伸展 第（ 2）题还可以这样割补： 如图 6，过点 P作 x 轴的垂线与AC交于点 H 由直线 AC ：y 2x6，可得
7、H(x, 2x6) 又因为 P(x, 2x 24x 6) ，所以 HP 2x26x 因为 PAH与 PCH有公共底边HP ，高的和为A、C两点间的水平 距离 3，所以 SSAPCS APHSCPH 3 2 ( 2x 26x) 2327 3() 24 x 图 6 例 2 2014年湖南省益阳市中考第21 题 如图 1，在直角梯形ABCD 中， AB/CD，AD AB ， B60， AB 10，BC4，点 P沿线段 AB从点 A 向点 B运动，设AP x21cnj y （1）求 AD的长； （2）点 P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形 与以 P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求
8、出x 的值；若不存在， 请说明理由； （3）设 ADP与 PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若 SS1 S2，求 S的最小值 . 动感体验图 1 请打开几何画板文件名“14 益阳 21” ，拖动点P在 AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线 段 BC的垂直平分线上的一条线段观察S随点 P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去 象是 AB的中点，其实离得很近而已 思路点拨 1第（ 2）题先确定PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似 2第（ 3）题理解 PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在 不确定的BP的垂直平分线上而BP与 AP是相关
9、的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式 图文解析 （1）如图 2，作 CH AB于 H，那么 AD CH 在 Rt BCH中， B60， BC4，所以 BH 2，CH 2 3所以 AD 2 3 （2）因为 APD是直角三角形，如果APD与 PCB相似，那么PCB一定是直角三角形 如图 3，当 CPB 90时， AP 102 8 所以 AP AD 8 2 3 4 3 3 ，而 PC PB 3此时 APD与 PCB不相似 图 2 图 3 图 4 如图 4，当 BCP 90时， BP 2BC 8所以 AP 2 所以 AP AD 2 2 3 3 3 所以 APD 60此时 APD CBP 综上
10、所述，当x2 时， APD CBP （3）如图 5，设 ADP的外接圆的圆心为G，那么点 G是斜边 DP的中点 设 PCB的外接圆的圆心为O ，那么点O在 BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点 E，与 AB 交于点 F 设 AP2m 作 OM BP于 M ，那么 BM PM 5m 在 Rt BEF中， BE 2， B60，所以BF4 在 Rt OFM 中， FM BFBM 4(5 m)m 1， OFM 30， 所以 OM 3 (1) 3 m 所以 OB 2BM2 OM 2 22 1 (5)(1) 3 mm 在 Rt ADP中， DP 2 AD2AP2124m2所以 GP23m2 于是
11、SS1S2(GP 2OB2) 222 1 3(5)(1) 3 mmm 2 (73285) 3 mm 所以当 16 7 m 时， S取得最小值，最小值为 113 7 图 5 图 6 考点伸展 关于第（ 3）题，我们再讨论个问题 问题 1，为什么设AP 2m呢？这是因为线段ABAP PM BM AP 2BM 10 这样 BM 5 m ，后续可以减少一些分数运算这不影响求S的最小值 问题 2，如果圆心O在线段 EF的延长线上，S关于 m的解析式是什么？ 如图 6，圆心 O在线段 EF的延长线上时，不同的是FM BM BF(5 m)41m 此时 OB 2BM2 OM 2 22 1 (5)(1) 3 m
12、m这并不影响S关于 m的解析式 例 3 2015年湖南省湘西市中考第26 题 如图 1，已知直线y x3 与 x 轴、 y 轴分别交于A、B两点，抛物线y x 2bxc 经过 A、B两 点，点 P在线段 OA上，从 点 O出发，向点A以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段 AB上， 从点 A出发，向点B以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ ，设运动时间为t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t 为何值时，APQ为直角三角形； （3） 过点 P作 PE/y 轴， 交 AB于点 E， 过点 Q作 QF/y轴， 交抛物线于 点 F，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点F 的坐标
13、； （4）设抛物线顶点为M ，连结 BP 、BM 、MQ ，问：是否存在 t 的值， 使以 B、Q 、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存 在， 请求出 t 的值；若不存在，请说明理 由图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15湘西 26”，拖动点P在 OA上运动，可以体验到，APQ有两个时刻可以 成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，MBQ 与 BOP有一次机会相似 思路点拨 1在 APQ中， A45，夹 A 的两条边AP 、AQ都可以用t 表示，分两种情况讨论直角三角形 APQ 2先用含 t 的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F 的坐标，根据
14、PE QF列方程就好了 3 MBQ 与 BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论 图文解析 （1）由 y x3，得 A(3, 0)，B(0, 3) 将 A(3, 0)、 B(0, 3)分别代入y x 2bxc，得930, 3. bc c 解得 2, 3. b c 所以抛物线的解析式为y x 22x3 （2）在 APQ中， PAQ 45， AP 3t ，AQ 2t 分两种情况讨论直角三角形APQ ： 当 PQA 90时， AP 2AQ 解方程3t 2t ，得 t 1（如图 2） 当 QPA 90时， AQ 2AP 解方程2t 2(3t) ，得 t 1.5 （如图 3） 图 2 图
15、 3 （3）如图 4，因为 PE/QF，当 EF/PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形 所以 EP FQ 所以 yEyPyFyQ 因为 xP t ，xQ3t ，所以 yE3t ，yQt ，yF (3 t) 22(3 t) 3 t24t 因为 yE yP yFyQ，解方程 3t ( t 24t) t ，得 t 1，或 t 3（舍去）所以点 F 的坐标为 (2, 3) 图 4 图 5 （4）由 y x 22x 3 (x 1)24，得 M(1, 4) 由A(3, 0)、B(0, 3)，可知 A、 B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB 32 由B(0, 3)、M(1, 4)，可知 B、 M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM 2 所以 MBQ BOP 90因此 MBQ 与 BOP 相似存在两种可能： 当 BMOB BQOP 时， 23 322tt 解得 9 4 t（如图 5） 当 BMOP BQOB 时， 2 3322 t t 整理，得 t 23t 30此方程无实根 考点伸展 第（ 3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3t) ，Q(3t, t)，按照 P E方向，将点 Q 向上平移，得F(3t, 3)再将 F(3 t, 3)代入 y x 22x3，得 t 1，或 t 3