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1、1 / 6 余数问题 各种与余数有关的整数问题, 其中包括求方幂的末位数字, 计算具有规律的多位数除以小整数的余 数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等 1.号码分别为101,126,173,193的 4 个运动员进行乒乓球比赛, 规定每两人比赛的盘数是他们号码的和 被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和 有 101,126,173,193除以 3的余数依次为2,0,2,1 则 101 号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛 , 共 3 盘比赛； 126 号运动员与101,173,193号
2、运动员依次进行了2,2,l盘比赛 , 共 5 盘比赛； 173 号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛 , 共 3 盘比赛； 193 号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛 , 共 1 盘比赛 所以 , 打球盘数最多的运动是126 号, 打了 5 盘 评注 : 两个数和的余数, 同余与余数的和； 两个数差的余数, 同余与余数的差； 两个数积的余数, 同余与余数的积. 2.自然数 672 222 . 21 个 的个位数字是多少? 【分析与解】我们先计算 672 2 22 . 2 个 的个数数字 , 再减去1 即为所求 .( 特别的如果是O,
3、那么 减去 1 后的个位数字因为借位为9) 将一个数除以10, 所得的余数即是这个数的个位数字. 而积的余数 , 同余余数的积 有 2 除以 10 的余数为2, 22 除以 10 的余数为4, 222 除以 10 的余数为8, 2222 除以 i0 的余数为6； 2 22 22 除以i0 的余数为 62 2,22 . 2 个 除以10 的余数为4, 2 22 . 2 7个 除以10 的余数为 2 / 6 8, 2 2 2 . 2 8个 除以 10 的余数为6； 也就是说 ,n 个 2 相乘所得的积除以10 的余数每4 个数一循环 因 为674=163 ， 所 以 2 222.2 67个 除 以
4、10的 余 数 同 余 与222, 即 余 数 为8, 所 以 2 222.21 67个 除以 10 的余数为7 即 2 222. 21 67个 的个位数字为7 评注 ：n 个相同的任意整数相乘所得积除以10 的余数每4 个数一循环 3.算式 7+77+ 19907 77 . 7 个 计算结果的末两位数字是多少? 【分析与解】我们只用算出7+77+7 19907 77 . 7 个 的和除以100 的余数 , 即为其末两位数字 7 除以 100 的余数为7, 77 除以 100 的余数为49, 777 除以 100 的余数为43,7 7 77 除以 100 的余数等于437 除以 100 的余数
5、为1； 而 7 7 7 . 7 5个 除以 100 的余数等于 7 77 . 7 7 4个 的余数 , 即为 7, 这样我们就得到一个规律 7 77 . 7 n个 除以 100 所得的余数 ,4 个数一循环 , 依次为 7,49,43,1 19904 =4972, 所以 7+77+77 7 7 7 . 7 1990个 的和除以100 的余数同余 497(7+49+43+1)+7+49=49756 , 除以 100 余 56 所以算式7+77+ 7 77 . 7 1990个 计算结果的末两位数字是56 4. 19901990 除以 9 的余数是多少 ? 【分析与解】能被 9 整除的数的特征是其数
6、字和能被9 整除 , 如果这个数的数字和除以9 余 a, 那么 再减去 a 而得到的新数一定能被9 整除 ,因而这个新数 加上 a 后再除以9, 所得的余数一定为a, 即一个数除以9的余数等于其数字和除以9 的余数 201990 1990.1990 个 的数字和为20(1+9+9+0) 380，380 的数字和又是3+8=11,11 除以 9 的余数为2, 所以 201990 1990.1990 个 除以 9 的余数是2 5.将 1,2,3 ， ,30 从左往右依次排列成一个51 位数 , 这个数被11 除的余数是多少? 【分析与解】 1,2,3,30 这 30 个数从左往右依次排列成一个51
7、 位数为： 12345691015 19202l252930 记个位为第l 位, 十位为第2 位, 那么： 3 / 6 它的奇数位数字和为: 0+9+8+7+6+ +l+9+8+7+6 +1+9+7+5+3+l=115 ： 它的偶数位数字和为:3+ 10 222.2 个 + 10 1 1 1. 1 个 +8+6+4+2=53； 它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为11553：62而 62 除以 1l 的余数为7 所以将原来的那个51 位数增大 4 所得到的数12345691015192021252934就是 1l 倍数 , 则将 12345691015192021252934减去 4 所得到数
8、除以11 的余数为7 即这个 51 位数除以11 的余数是7 评注 : 如果记个位为第1 位, 十位为第2 位 , 那么一个数除以11 的余数为其奇数位数字和A 减去偶数 位数字和B 的差 A-B=C, 再用 C 除以 1l 所得的余数即是原来那个数的余数.( 如果减不开可将偶数位数 字和 B 减去奇数位数字和A,求得 B-A=C,再求出 C 除以 1l 的余数 D,然后将 11-D 即为原来那个数除以 11 的余数 ) 如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12, 偶数位数字和为5+3+1=9, 奇数位数字和与偶数位数字和 的差为 12-9=3, 所以 123456 除以 11 的余数
9、为3 又如 :654321的奇数位数字和为1+3+5=9, 偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位 数字和 , 那么先将12-9=3, 显然 3 除以 11 的余数为3, 然后再用11-3=8, 这个 8 即为 654321 除以 11 的 余数 6. 一个 1994 位的整数 , 各个数位上的数字都是3. 它除以13, 商的第 200 位（从左往右数) 数字是多少 ? 商的个位数字是多少?余数是多少 ? 【分析与解】这个数即为 19943 333.3 个 ，而整除13 的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个 新数，将这两个新数做差，这个差为13 的倍数 显然有 3
10、333333 6个 能够被 13 整除 , 而 19946=3322，即 3332 63 333.3333.333 1994个个 23 33 个 332 63 333.33333 个 而 332 63 333.33300 个 是 13 的倍数，所以 3 333.3 1994个 除以 13 的余数即为33 除以 13 的余数为7 有 3 333333 13 6个 25641, 而 3 333.33 1325641025641 12个 , 所以 3 333.33 k个 除以 13 所得的商每6 个 数一循环 ,从左往右依次为2、5、6、4、1、0 2006=332 , 所以除以 3 333.3 1
11、994个 所得商的第200 位为 5 3 333.3 1994个 除以 13 的个位即为33 除以 13 的个位，为2 即商的第200 位( 从左往右数 ) 数字是 5, 商的个位数字是2, 余数是 7 7. 己知： a= 19911991 199119911991.1991 个 . 问:a 除以 13 的余数是几 ? 【分析与解】因为 199119911991 能被 13 整除 , 而 19913=6632 有 a= 19911991 199119911991.1991 个 =199119911991 1 7964120 00.0 个 +199119911991 1 7964120 00.0
12、 个 +199119911991 0 00.0 7964-36个 +199119911991 1 0 00.0 7964-48个 +199119911991 1 0 00.0 2 4个 +19911991 所以 a 除以 13 的余数等于19911991 除以 13 的余数 8 8. 有一个数 , 除以 3 余数是 2, 除以 4 余数是 1. 问这个数除以12 余数是几 ? 【分析与解】我们将这个数加上7, 则这个数能被3 整除 , 同时也能被4 整除 , 显然能被12 整除 , 所以 原来这个数除以12 的余数为12-7=5 9. 某个自然数被247 除余 63, 被 248 除也余 63
13、. 那么这个自然数被26 除余数是多少? 【分析与解】我们将这个数减去63, 则得到的新数能被247 整除 , 也能被 248 整除 , 而相邻的两个整 数互质 , 所以得到的新数能被247248 整除 , 显然能被26 整除 于是将新数加上63 除以 26 的余数等于63 除以 26 的余数为11 所以这个自然数被26 除余数是 11 10.一个自然数除以19 余 9, 除以 23 余 7. 那么这个自然数最小是多少? 【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7, 则有19m+9=23n+7 ，即23n- 19m=2 ，将未知数系数与常数对19 取模 , 有 4n2(
14、mod 19) n最小取 10 时,才有 4n2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23lO+7=237 评注： 有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系, 反过来不定方程往往需要利用余数的性 质来求解 11. 如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔( 少于100 个 ). 小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方 向， 5 / 6 每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A 孔. 他先试着每隔2 孔跳一步 ,结果只能跳到B 孔. 他又试 着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到B孔. 最后他每隔6 孔跳一步 , 正好回到4 孔. 问这个圆圈上共有多少个 孔? 【分析与解】设这个圆圈有n 个孔
15、 , 那么有 n 除以 3 余 1,n 除以 5 余 1.n 能被 7 整除 则将 n-1 是 3、5 的倍数 , 即是 15 的倍数 , 所以 n=15t+1, 又因为凡是7 的倍数 , 即 15t+1=7A, 将系数与常 数对 7 取模 , 有 t+1 0(mod7), 所以 t 取 6 或 6 与 7 的倍数和 . 对应孔数为156+l=91 或 91 与 105 的倍数和，满足题意的孔数只有91 即这个圆圈上共有91 个孔 12. 某住宅区有12 家住户，他们的门牌号分别是1,2,3 ， ,12. 他们的电话号码依次是12 个连续的六 位自然数 , 并且每家的电话号码都能被这家的门牌号
16、码整除. 已知这些电话的首位数字都小于6, 并且门 牌号码是9 的这一家的电话号码也能被13 整除 , 问这一家的电话号码是什么数? 【分析与解】设这12 个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,n+12, 那么有它们依次能被1,2,3,12 整除 , 显然有凡能同时被1,2,3,12 整除 . 即 n为 1,2,3,12 的公倍数 1,2,3, ,12=2 3325711=27720 , 所以 n 是 27720 的倍数 , 设为 27720k. 则有第 9 家的门牌号码 为 27720k+9 为 13 的倍数 , 即 27720k+9=13A. 将系数与常数对13 取模有 :4k+9 0(
17、mod 13),所以后可以 取 l 或 1 与 13 的倍的和 . 有要求 n+1,n+2,n+3,n+12, 为六位数 , 且首位数字都小于6, 所以 k 只能取 14, 有 7n=2772014= 388080 那么门牌号码是9 的这一家的电话号码是388080+9=388089 13.有 5000 多根牙签 , 可按 6 种规格分成小包. 如果 10 根一包 , 那么最后还剩9 根. 如果 9 根一包 , 那么 最后还剩8 根. 第三、四、五、六种的规格是, 分别以 8,7,6,5根为一包 , 那么最后也分别剩7,6,5,4根 . 原来一共有牙签多少根? 【分析与解】设这包牙签有n 根,
18、 那么加上1 根后为 n+1 根此时有n+1 根牙签即可以分成10 根一 包，又可以分成9 根一包 , 还可以分成8、7、6、5 根一包 . 所以 ,n+1 是 10、9、8、7、6、5 的倍数 , 即它们的公倍数 10,9,8,7,6,51=2 33257=2520, 即 n+1 是 2520 的倍数 , 在满足题下只能是 25202=5040, 所 以 n=5039 即原来一共有牙签5039 根 6 / 6 14.有一个自然数, 用它分别去除63,90,130都有余数 ,3 个余数的和是25. 这 3 个余数中最大的一个是 多少 ? 【分析与解】设这个除数为M,设它除 63,90,130所
19、得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C 63M=A a 90M=B b 130M=C c a+b+c=25, 则 (63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)M,即 283- 25=258=(A+B+C) M 所以 M 是 258 的约数 . 258=2343 , 显然当除数M 为 2、3、6 时,3 个余数的和最大为3(2 - 1)=3 ，3(3 -1)=6, 3(6 -1)=15, 所以均不满足 而当除数M为 432, 433, 4323 时, 它除 63 的余数均是63, 所以也不满足 那么除数M只能是 43, 它除 63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为
20、25, 满足 显然这 3 个余数中最大的为20 15. 一个数去除551,745,1133,1327这 4个数 , 余数都相同 . 问这个数最大可能是多少? 【分析与解】这个数A 除 55l,745,1133,1327,所得的余数相同, 所以有551,745,1133,1327两两做 差而得到的数一定是除数A的倍数 1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582 这些数都是A 的倍数 , 所以 A 是它们的公约数,而它们的最大公约数(194 ，388，194，582， 776， 582)=194 所以 , 这个数最大可能为194