全国各地2008年数学高考真题及答案-(四川.理)含详解.pdf

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1、理科试题第 1 页（共 15 页） 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （四川） 数学（理工农医类） 韩先华编辑 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至 2 页。第卷3 到 8 页。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3本卷共 12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、B

2、互斥，那么球是表面积公式 )()()(BPAPBAP 2 4 RS 如果事件 A、B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径 )()()(BPAPBAP 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P，那么 3 3 4 RV n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP)1()( 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1、设集合1,2,3,4,5U，1,2,3A，2,3,4B，则() U ABe （A）2,3（B）1,4,5（C）4,5（D）1,5 2、复数 2 2

3、 (1)ii （A）4（B）4（C）4i（ D）4i 3、 2 (tancot )cosxxx （A）tan x（B）sin x（C）cosx（D）cot x 4、将直线3yx绕原点逆时针旋转 90 ，再向右平移 1个单位，所得到的直线为 （A） 11 33 yx（B） 1 1 3 yx （C）33yx（D） 1 1 3 yx 5、设02，若sin3cos，则的取值范围是 （A）(,) 32 （B）(,) 3 （C） 4 (,) 33 （D） 3 (,) 32 6、从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不 同的挑选方法共有 （A）70 种（B） 112

4、种（C）140 种（D）168 种 理科试题第 2 页（共 15 页） 7、已知等比数列 n a中 2 1a，则其前3 项的和 3 S的取值范围是 （A）(, 1（B）(,0)(1,) （C）3,)（D）(,13,) 8、设M、N是球O的半径OP上的两点，且NPMNOM，分别过N、M、O作垂 直于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为： （A）3: 5:6（B）3: 6:8（C）5:7 :9（D）5 :8 :9 9、设直线l平面，过平面外一点A且与l、都成30角的直线有且只有： （A）1 条（B） 2 条（C）3 条（D）4 条 10、设( )sin()f xx，其中0，则函数( )fx

5、是偶函数的充分必要条件是 （A）(0)0f（B）(0)1f（ C）(0)1f（D）(0)0f 11、定义在R上的函数( )f x满足：( )(2)13f xf x，(1)2f，则(99)f （A）13 （B）2 （C） 13 2 （ D） 2 13 12 、 已 知 抛 物 线 2 :8C yx的 焦 点 为F， 准 线 与x轴 的 交 点 为K， 点A在C上 且 |2 |AKAF，则AFK的面积为 （A）4 （B）8 （C）16 （D）32 第卷 （非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16分。把答案填在题中横线上。 （13） 、 34 (1 2 ) (1)

6、xx展开式中 2 x的系数为 （14） 、已知直线:40lxy与圆 22 :(1)(1)2Cxy，则C上各点到l距离的最小 值为 （15） 、已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为 3 3 ，则该正 四棱柱的体积等于 （16） 、设等差数列 n a的前项和为 n S，若 4 S10， 5 S15，则 4 a的最大值为 理科试题第 3 页（共 15 页） 学 校 班 级 姓 名 考 号 / / / / / / / / 密 / / / / / / / / / / / 封 / / / / / / / / / / / / / 线 / / / / / / / / / / / / /

7、 内 / / / / / / / / / / / / / 不 / / / / / / / / / / / / / 要 / / / / / / / / / / / / / 答 / / / / / / / / / / / / / 题 / / / / / / / 2008年普通高等学校招生全国统一考试 （四川） 数学（理工农医类） 韩先华编辑 一、选择题答题卡： 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 选项 二、填空题答题卡： 。 三.解答题共 6 个小题，共74 分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分12 分） 求函数 24 74sinco

8、s4cos4cosyxxxx的最大值与最小值 得分评卷人 理科试题第 4 页（共 15 页） 18 （本小题满分12 分） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5 ， 购买乙种商 品的概率为0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间 购买商品也是相互独立的 （）求进入商场的1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （）求进入商场的1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （） 记表示进入商场的3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布 列及期望 得分评卷人 理科试题第 5 页（共 15 页） 19 （本小题满分12 分） 如图， 平面AB

9、EF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直 角梯形，90BADFAB，BC 1 2 AD ，BE 1 2 AF （）证明：C、D、F、E四点共面； （）设ABBCBE，求二面角AEDB的大小 得分评卷人 理科试题第 6 页（共 15 页） 20 （本小题满分12 分） 设数列 n a的前项为 n S，已知2(1) n nn babS （）证明：当2b时， 1 2 n n an是等比数列； （）求 n a的通项公式 得分评卷人 理科试题第 7 页（共 15 页） 21 （本小题满分12 分） 设椭圆 22 22 1 xy ab (0)a b 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F，离心率

10、2 2 e ， 右准线为l，M、N是l上的两个动点， 12 0FMF N （）若 12 | | 2 5FMF N ，求a、b的值； （）证明：当|MN取最小值时， 12 FMF N与 12 F F 共线 得分评卷人 理科试题第 8 页（共 15 页） 22 （本小题满分14 分） 已知3x是函数 2 ( )ln(1)10f xaxxx的一个极值点 （）求a； （）求函数( )fx的单调区间； （）若直线yb与函数( )yf x的图像有3个交点， 求b的取值范围 得分评卷人 理科试题第 9 页（共 15 页） 2008 年普通高等学校招生全国统一考试( 四川卷 ) 理科数学 ( 含详细解析 )

11、说明： 2008 年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40 县延考，本卷为非延考卷 一、选择题： （5 1260） 1若集合 1,2,3,4,5U ， 1,3A2, ， 2 34B， ， ，则 () U CAB （） A2,3 B 1,4,5 C 4,5 D 1,5 解析：选 B离散型集合的交并补，送分题难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故 2复数 2 2 (1)ii （） A4 B4 C4iD4i 解析：选 A计算题，无任何陷阱，徒送分耳2008 四川考生因祸得福 3 2 (tancot )cosxxx （） Atan x B sin x C cosxDcot

12、 x 解析：原式 3 2sincoscos ()cossin cos cossinsin xxx xxx xxx 23 sincoscos sin xxx x 22 cos (sincos) sin xxx x cos sin x x cotx，选 D同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三 角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形中等生无忧 4直线 3yx绕原点逆时针旋转90 ，再向右平移1 个单位后所得的直线为（） A 11 33 yx B 1 1 3 yx C 33yx D 1 1 3 yx 解析：本题有新意，审题是关键 旋转90则与原直线垂直，故旋转后斜率为 1 3 再右移 1 得 1 (

13、1) 3 yx 选 A 本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则辅以平几背景之旋转变换 5若 02，sin 3cos ，则的取值范围是（） A (,) 32 B (,) 3 C 4 (,) 33 D 3 (,) 32 解析： sin3cos ，即sin 3cos0，即 2sin()0 3 ，即 sin()0 3 ； 又由 02 ，得 5 333 ； 综上， 0 3 ，即 4 33 选 C本题考到了正弦函数的正负区间 除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区 间 3，4，5 题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方 6从包括甲、乙共10 人中

14、选 4 人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1 人参加，则不同的选法有（） A70 B112 C140 D168 解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法 44 108210 70140CC 选 C 本题应注意解题策略 7已知等比数列 na 中， 2 1a ，则该数列前三项和 3S 的取值范围是（） A( , 1 B (,0)(1 ,) C3, ) D( , 13,) 解析： 3 1 1Sx x (0)x 由双勾函数 1 yx x 的图象知， 1 2x x 或 1 2x x ，故本题选D本题主要 考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多 8设 M 、M是

15、球 O的半径 OP上的两点，且 NPMNOM ，分别过 N、M 、 O作垂直于 OP的面截球得三个 圆，则这三个圆的面积之比为（） A3：5：6 B3：6：8 C5：7：9 D5：8：9 解析：由题知， M 、N是OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比在球的轴载面图中易求 理科试题第 10 页（共 15 页） 得： 2 22 8 () 39 RR R ， 2 2225 () 39 RR R ，故三个圆的半径的平方之比为： 22285 : 99 RRR ，故本题选 D 本题着意考查空间想象能力 9设直线 l 平面，过平面外一点 A且与l 、都成30角的直线有且只有（） A1 条B2

16、条 C3 条 D4 条 解析：所求直线在平面内的射影必与直线l平行，这样的直线只有两条，选B 本题考查空间角的概念和空间想象能力 10设 ( )sin()f xx ，其中 0，则函数( )f x 是偶函数的充分必要条件是（） A (0)0f B (0)1f C (0)1f D (0)0f 解析：本题考查理性思维和综合推理能力函数 ( )f x 是偶函数，则 2 k ， (0)1f ，故排除A ，B 又 ( )cos()fxx ， 2 k ， (0) 0f 选 D 此为一般化思路也可走特殊化思路，取1， 2 验证 11定义在 R上的函数 ( )f x 满足： ( )(2)13f xf x ， (

17、1)2f ，则 (99)f （） A13 B2 C13 2 D 2 13 解析：由 ( )(2)13f xf x ，知 (2)(4)13f xf x ，所以 (4)( )f xfx ，即( )f x是周期函数，周期 为 4所以1313 (99)(34 24)(3) (1)2 fff f 选 C题着意考查抽象函数的性质赋值、迭代、构造是解抽 象函数问题不可或缺的三招本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了 12设抛物线 2 :8Cyx 的焦点为 F，准线与 x轴相交于点 K，点 A在 C上且 2AKAF ，则AFK的面积 为（） A4 B8 C16 D32 解析： 解几常规题压轴，

18、 不怕边读题边画图 2 8yx 的焦点 (2,0)F ，准线2x， ( 2,0)K 设( , )A x y， 由 2AKAF ，得 2222 (2)2 (2)xyxy ，即 2222 (2)2(2)xyxy 化简得： 22 124yxx ，与 2 8yx联立求解，解得： 2x ， 4y 11 4 48 22 AFKASFKy ，选 B 本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上 点评： (1) 纵观 12 道选择题，没有真正意义上的压轴题，这是大众数学时代的来临呢，还是沾了2008 地震的光 ? (2) 真正体现了多考点想，少考点算的一套试题，做到了言而有信 (3) 进一步体现了回归教材的意图

19、，在高三复习中，题海战术应被教材串讲取而代之 (4) 全面考查双基，基础扎实的同学受益，走难偏深押题路线的策略得不偿失 (5) 周考月考的命题意图命题方向命题难度值得反思 二、填空题： （4 4 16） 13 34 (12 ) (1)xx 的展开式中 2 x 项的系数是 答案： 6 解析：二项式定理再现，难度高于文科 34 122122 3344 (12 ) (1) (124)(1) xx CxCxC xC x 2 x项的系数是 2112 434324624126CC CC 这是中档略偏难的常规题中差生在准确性和快捷性上有缺陷 14已知直线 :60l xy ，圆 22 :(1)(1)2Cxy

20、，则圆C上各点到直线l的距离的最小值是 答案： 2 2 解析：由数想形，所求最小值圆心到到直线的距离圆的半径圆心 (1,1)到直线60xy 的距离 6 3 2 2 d 故最小值为 3 222 2 15已知正四棱柱的一条对角线长为 6，且与底面所成的角的余弦值为 3 3 ，则该正四棱柱的体积是 理科试题第 11 页（共 15 页） 答案： 2 解析：由题意， 222 6 23 cos 36 aah a ，1 2 a h ， 2 2Va h 16设等差数列 n a 的前n项和为 n S ， 4 10S ， 5 15S ，则 4 a的最大值是 . 答案： 4 解析：由题意， 1 1 43 410 2

21、 54 515 2 ad ad ，即 1 1 4610 51015 ad ad ， 1 1 235 23 ad ad ， 41 3aad 这是加了包装的线性规划，有意思建立平面直角坐标系 1 a od，画出可行域1 1 235 23 ad ad （图略），画出 目标函数即直线 41 3aad ，由图知，当直线 41 3aad 过可行域内 (1,1)点时截距最大，此时目标函数取 最大值 4 4a 本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想掌握线性规划问题画 移求答四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本这是本题的命题意图 因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线设 11121

22、3(23 )(2 )adadad ， 由 12 12 21 323 解得1 2 1 3 ， 111 3(23 )3(2 )adadad ， 由不等式的性质得：1 1 235 23 ad ad 1 1 (23 )5 3(2 )9 ad ad 11 (23 )3(2 )4adad ，即 41 34aad ， 4 a的最大值是4 从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线本题解题策略的选择至关重要 点评：（1）二项式定理，直线和圆的方程，正四棱柱，数列几个知识点均为前两年未考点 （2）无多选压轴题无开放性压轴题易入手，考不好考生只能怪自已题出得基础，出得好，出得妙尤其是第16 题

23、 17解析： 24 74sincos4cos4cosyxxxx 24 84sincos14cos4cosxxxx 22 84sincos(12cos)xxx 2 82sin 2cos 2xx 2 82sin 2(1 sin 2 )xx 2 72sin 2sin 2xx 2 6(1 sin2 )x max 10y ， min 6y 解析： 24 74sincos4cos4cosyxxxx 22 72sin 24cos(1cos)xxx 22 72sin 24cossinxxx 2 72sin 2sin 2xx 2 6(1sin 2 )x max10y ， min 6y 点评： 一考三角恒等变换，

24、二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路由此观之，一味追前两年高考试题套路之 风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本 18.解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了 （） 0.5 (1 0.6)(1 0.5) 0.6P0.20.30.5 （） 1(10.5)(10.6)0.8P （）可取 0，1，2，3 03 3 (0)(10.8)0.008PC 12 3(1)(1 0.8)0.80.096PC 22 3 (2)(1 0.8)0.80.384PC 理科试题第 12 页（共 15 页） B A C D E F 33 3 (3)0.80.512PC 的分布列为 0 1 2 3 p

25、 0.008 0.096 0.384 0.512 (3,0.8)B 30.82.4E 点评： 返朴归真，教材难度，审题无障碍平和中正之风宜大力提倡 19解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题 （）面ABEF面 ABCD，90AFAB AF面 ABCD 以A为原点，以AB ，AD，AF所在直线为x轴， y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz 不妨设 ABa ，2ADb，2AFc，则 (0,0,0)A ， ( ,0,0)B a ， ( , ,0)C a b ， (0, 2 ,0)Db ， ( ,0, )E ac ， (0,0, 2 )Fc (0, 2 ,2 )D

26、Fbc ， (0, )CEb c ， 2DFCE， /DFCE， EDF，/DFCE， C、D、E、F 四点共面 （）设1AB，则1BCBE， (1,0,0)B ， (0,2,0)D ， (1,0,1)E 设平面 AED 的法向量为 1111 (,)nx y z ， 由 1 1 0 0 nAE nAD ，得 11 1 0 20 xz y ， 1(1,0, 1)n 设平面 BED 的法向量为 2222 (,)nxyz 由 2 1 0 0 nBE nBD ，得 2 22 0 20 z xy ， 2 (2,1,0)n 12 cos,n n 12 12 nn nn 2 25 10 5 由图知，二面角A

27、EDB为锐角， 其大小为 10 arccos 5 点评： 证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分因建 系容易，提倡用向量法本时耗时要超过17 题与 18 题用时之和 20. 解析：由题意，在 2(1) n nn babS 中， 令1n，得 11 2(1)baba ， 1 2a 由 2(1) n nn babS 得 1 112(1) n nnbabS (2,*)nnN 两式相减得： 1 1 ()2(1) n nnn b aaba 即 1 1 2 n nn aba(2,*)nnN （）当2b时，由知， 1 122 n nnaa 于是 1

28、1 1 22(1) 2 nn nn anan 2 1 2(1) 2 n n an(2,*)nnN 又 1 1 11 210a ，所以 1 2 n n an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列 理科试题第 13 页（共 15 页） N M O x y FF （） 变：当 2b 时，求 n a 的通项公式解法如下： 解：当 2b 时，由知， 1 122 n nnaa 两边同时除以 2 n 得 1 1 1 222 nn nn aa (2,*)nnN 1 1 1 222 nn nn aa (2,*)nnN 2 n n a 是等差数列，公差为 1 2 ，首项为 1 1 2 a 11 1(1)(1) 2

29、22 n n a nn 1 (1)2 n n an （ 11 22 nn n an ， 1 2 n n an 是等比数列，首项为1，公比为 2） （）当 2b 时，由（）知， 11 22 nn n an ，即 1 (1) 2 n nan 当 2b 时，由： 1 1 2 n nn aba 两边同时除以 2 n 得 1 1 1 22 22 nn nn aab 可设 1 1 () 222 nn nn aab 展开得 1 1 2 22 22 nn nn aabb ， 与1 1 1 22 22 nn nn aab 比较， 得21 22 b，1 2b 1 1 11 () 22222 nn nn aab b

30、b 1 22 n n a b 是等比数列， 公比为 2 b ，首项为 11 1 22 b bb 1 11 () 2222 n n n abb bb 111 ( ) 2222 n n n abb bb 1 1 112(1)2 2() 2222 nn nn n bbbb a bbb 点评： 这是第一道考查会不会的问题如若不会，对不起，请先绕道走对大多数考生而言，此题是一道拦路虎可能比压轴 题还让人头痛原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法递推数列中对递推方法的考查，有30 年历史了，现在只是陈题 翻新而已不过此题对考生有不公平之嫌大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了解题有套方为高啊 21解析：

31、数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中开始挤牙膏吧 （）由已知， 1(,0)Fc ， 2( ,0)F c 由 2 2 e ， 2 2 1 2 c a ， 22 2ac 又 222 abc， 22 bc， 22 2ab l： 22 2 2 ac xc cc ， 1 (2 ,)Mc y ， 2 (2 ,)Nc y 延长 2 NF 交 1 MF 于P，记右准线l交x轴于Q 120FMF N ， 12 FMF N 12F MF N 理科试题第 14 页（共 15 页） 由平几知识易证 1 Rt MQF 2 Rt F QN 13QNFQc， 2 QMF Qc 即 1 yc， 2 3yc 12 2 5F

32、MF N ， 22 920cc， 2 2c， 2 2b， 2 4a 2a， 2b （）另解： 12 0FMF N ， 12 (3 ,) ( ,)0c yc y ， 2 12 30y yc 又 12 2 5FMF N 联立 2 12 22 1 22 2 3 920 20 y yc cy cy ，消去 1 y、 2 y 得： 222 (209)(20)9ccc ， 整理得： 42 92094000cc， 22 (2)(9200)0cc解得 2 2c 但解此方程组要考倒不少人 （） 1212 (3 ,) ( ,)0FMF Nc yc y ， 2 1230y yc 2 2 22 121212 2 12

33、1212 2 22412 MNyyyyy y y yy yy yc 当且仅当 123yyc 或 213yyc时，取等号此时MN 取最小值 2 3c 此时 12 12 (3 ,3 )( ,3 ) (4 ,0)2 F MF Ncccc cF F 12 FMF N 与 12 F F 共线 （）另解： 12 0FMF N ， 12 (3 ,) ( ,)0c yc y ， 2 12 3y yc 设 1 MF ， 2 NF 的斜率分别为k， 1 k 由 1 () 3 2 yk xc ykc xc ， 由 2 1 () 2 yxc c yk k xc 12 1 32 3MNyyckc k 当且仅当 1 3k

34、 k 即 21 3 k ， 3 3 k 时取等号 即当 MN 最小时， 3 3 k ， 此时 12 12 (3 ,3)( ,) (3 ,3 )( ,3 )(4 ,0)2 c F MF Nckcc k cccccF F 12 FMF N 与 12 F F 共线 点评： 本题第一问又用到了平面几何看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊注意平面几何可与三角向量解几沾边，应 加强对含平面几何背景的试题的研究本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点 22解析：似曾相识通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分本卷后三难中，压轴题最熟 最易入手 （） 2 ( )ln(1)10f

35、 xaxxx 理科试题第 15 页（共 15 页） ( )210 1 a fxx x 3x是函数 2 ( )ln(1)10f xaxxx的一个极值点 (3)40 4 a f 16a （）由（） 2 ( )16ln(1)10f xxxx，( 1,)x 2 162862(1)(3) ( )210 111 xxxx fxx xxx 令 ( )0fx ，得 1x ， 3x ( )fx 和 ( )f x 随x的变化情况如下： x ( 1,1)1 (1,3)3 (3,) ( )fx0 0 ( )f x 增极大值减极小值增 ( )f x 的增区间是 ( 1,1)，(3,)；减区间是(1,3) （）由（）知， ( )f x 在 ( 1,1) 上单调递增，在 (3,) 上单调递增，在 (1,3)上单调递减 ( )(1)16ln 29f xf 极大 ， ( )(3)32ln 221f xf 极小 又 1x时，( )f x ； x 时， ( )f x ； 可据此画出函数 ( )yf x 的草图（图略） ，由图可知， 当直线 yb与函数( )yfx 的图像有3 个交点时，b的取值范围为 (32ln 221,16ln 29) 点评： 压轴题是这种难度吗？与前两年相比档次降得太多了太常规了，难度尚不及20 题和 21 题天上掉馅饼了吗？此题当为漏 掉定义域者戒