全国各地2008年数学高考真题及答案-(广东.理)含详解.pdf

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1、- 1 - 绝密启用前试卷类型 B 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试卷共4 页， 21 小题，满分150 分考试用时120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型 （B）填涂在答题卡相应位置上将 条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指 定区域内相应位

2、置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点， 再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效 5考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件AB，互斥，那么()()()P ABP AP B 已知n是正整数，则 1221 ()() nnnnnn abab aababb 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知02a，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（）

3、 A(15)，B(13)，C(1 5)，D(1 3)， 2记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 1 2 a， 4 20S，则 6 S（） A16 B24 C 36 D48 3某校共有学生2000 名，各年级男、女生人数如表1已 知在全校学生中随机抽取1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19现用分层抽样的方法在全校抽取64 名学生， 则应在三 年级抽取的学生人数为（） A24 B18 C 16 D12 表 1 4若变量xy，满足 240 250 0 0 xy xy x y ， ， ， ， 则32zxy的最大值是（） A90 B80 C70 D40 一年级二年级三年级 女生373 x y

4、 男生377 370 z - 2 - 5将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示ABC， ，分别是GHI三边的中点） 得到几何体如图 2，则该几何体按图2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（） 6已知命题:p所有有理数都是实数，命题:q正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的 是（） A()pqBpqC()()pqD()()pq 7设aR，若函数3 ax yex，xR有大于零的极值点，则（） A3aB3aC 1 3 aD 1 3 a 8在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD 交于点F若AC a，BDb，则AF （） A 11 42 abB 21 33

5、abC 11 24 abD 12 33 ab 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分 （一）必做题（912 题） 9阅读图 3 的程序框图，若输入4m，6n，则输出 a，i （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“:” ） 10已知 26 (1)kx（k是正整数）的展开式中， 8 x的系数小于 120，则k 11经过圆 22 20xxy的圆心C，且与直线0xy垂直 的直线方程是 12已知函数( )(sincos )sinf xxxx，xR，则( )f x的 最小正周期是 E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图 1 图 2 B

6、 E A B E B B E C B E D 开始 1i n 整除 a? 是 输入mn， 结束 ami 输出ai， 图 3 否 1ii - 3 - 二、选做题（ 1315 题，考生只能从中选做两题） 13 （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 已 知 曲 线 12 CC，的 极 坐 标 方 程 分 别 为cos3， 4cos0 0 2 ，则曲线 1 C与 2 C交点的极坐标为 14 （不等式选讲选做题）已知aR，若关于x的方程 2 1 0 4 xxaa有实根， 则a的 取值范围是 15 （几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，2PAAC是圆O的直径， PC与圆O交于

7、点B，1PB，则圆O的半径R 三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分13 分） 已 知 函 数( )sin()(0 0 )f xAxA，xR的 最 大 值 是1 ， 其 图 像 经 过 点 1 3 2 M ， （1）求( )fx的解析式； （2）已知 0 2 ，且 3 () 5 f， 12 () 13 f，求()f的值 17 （本小题满分13 分） 随机抽取某厂的某种产品200 件，经质检，其中有一等品126 件、二等品50 件、三等品20 件、 次品 4 件已知生产1 件一、二、三等品获得的利润分别为6 万元、 2 万元、 1 万

8、元，而 1 件次 品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为 （1）求的分布列； （2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望） ； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此 时要求 1 件产品的平均利润不小于4.73 万元，则三等品率最多是多少？ - 4 - A y x O B G F F1 图 4 18 （本小题满分14 分） 设0b，椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb ，抛物线方程为 2 8()xyb如 图 4 所示，过点(02)Fb，作x轴的平行线， 与抛物线在第一象限的 交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点 1

9、 F （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否 存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样 的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标） 19 （本小题满分14 分） 设kR，函数 1 1 1( ) 11 x xf x xx ， ， ，( )( )F xf xkx，xR，试讨论函数( )F x的单 调性 20 （本小题满分14 分） 如图 5 所示， 四棱锥PABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的 直径，60ABD，45BDC，PD垂直底面ABCD，2 2PDR，EF，分别是 PBCD，

10、上的点，且 PEDF EBFC ，过点E作BC的平行线交PC于G （1）求BD与平面ABP所成角的正弦值； （2）证明：EFG是直角三角形； （3）当 1 2 PE EB 时，求EFG的面积 21 （本小题满分12 分） 设pq，为 实 数 ，是 方 程 2 0xpxq的 两 个 实 根 ， 数 列 n x满 足 1 xp， 2 2 xpq， 12nnn xpxqx（3 4n，, ） （1）证明：p，q； （2）求数列 n x的通项公式； （3）若1p， 1 4 q，求 n x的前n项和 n S F C P G E A B 图 5 D - 5 - 绝密启用前试卷类型 B 2008 年普通高等学

11、校招生全国统一考试(广东卷 ) 数学 (理科 ) 参考答案 一、 选择题： C D C C A D B B 1C【解析】1 2 az，而20a，即511 2 a，51z 2D【解析】2062 4 dS，3d，故48153 6 dS 3 C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380 人，那么三年级的学生的人数应该是 5003703803773732000，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽 样中应在三年级抽取的学生人数为16 8 2 64 4C 5A 6 D【解析】 不难判断命题 p为真命题， 命题q为假命题， 从而上述叙述中只有()()pq 为 真命题 7B 【解析】( )3

12、ax fxae，若函数在xR上有大于零的极值点，即( )30 ax fxae有 正根。当有( )30 ax fxae成立时，显然有0a，此时 13 ln()x aa ，由0x我们马上 就能得到参数a的范围为3a 。 8B 二、填空题： 9 【解析】 要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算， 而同时m也整除a，那么a的 最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有3i。 10 【解析】 26 (1)kx按二项式定理展开的通项为 22 166 () rrrrr r TCkxC k x，我们知道 8 x的 系数为 444 6 15C kk，即 4 15120k，也即 4 8k，而k是正整数，故

13、k只能取 1。 11【解析】易知点 C 为( 1,0)， 而直线与0xy垂直，我们设待求的直线的方程为yxb， 将点 C的坐标代入马上就能求出参数b的值为1b，故待求的直线的方程为10xy。 12 【解析】 21cos2121 ( )sinsincossin 2cos(2) 22242 x f xxxxxx ， 故函数的最 小正周期 2 2 T。 二、选做题（1315 题，考生只能从中选做两题） 13 【解析】 由 cos3 (0,0) 4cos2 解得 2 3 6 ，即两曲线的交点为(23,) 6 。 14 1 0, 4 15 【解析】依题意，我们知道PBAPAC,由相似三角形的性质我们有

14、2 PAPB RAB ,即 - 6 - A y x O B G F F1 图 4 22 221 3 22 1 PA AB R PB 。 三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤 16解： （1）依题意有1A，则( )sin()fxx，将点 1 (,) 3 2 M 代入得 1 sin() 32 ， 而0， 5 36 ， 2 ，故( )sin()cos 2 f xxx； （2）依题意有 312 cos,cos 513 ，而,(0,) 2 ， 2234125 sin1( ),sin1() 551313 ， 3124556 ()cos()coscossinsin

15、 51351365 f。 17 解： （ 1）的所有可能取值有6，2， 1，-2； 126 (6)0.63 200 P， 50 (2)0.25 200 P 20 (1)0.1 200 P， 4 (2)0.02 200 P 故的分布列为： 6 2 1 -2 P0.63 0.25 0.1 0.02 （2）60.6320.251 0.1( 2)0.024.34E （3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1 件产品的平均利润为 ( )60.72(10.70.01)( 2)0.014.76(00.29)E xxxx 依题意，( )4.73E x，即4.764.73x，解得0.03x 所以三等品率最多为3

16、% 18解： （1）由 2 8()xyb得 21 8 yxb， 当2yb得4x，G 点的坐标为(4,2)b， 1 4 yx， 4 |1 x y， 过点 G 的切线方程为(2)4ybx即2yxb， 令0y得2xb， 1 F点的坐标为(2,0)b， 由椭圆方程得 1 F点的坐标为( ,0)b，2bb即1b， 即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 1 2 x y和 2 8(1)xy； （2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P, 以PAB为直角的Rt ABP只有一个，同理以PBA为直角的Rt ABP只有一个。 若以APB为直角，设P点坐标为 2 1 ( ,1) 8 xx，A、B两点的坐标分别为(2,

17、0)和( 2,0)， - 7 - 22242115 2(1)10 8644 PA PBxxxx。 关于 2 x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的Rt ABP有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。 19解： 1 ,1, 1( )( ) 1,1, kxx xF xf xkx xkxx ， 2 1 ,1, (1) ( ) 1 ,1, 21 kx x Fx kx x 对于 1 ( )(1) 1 F xkx x x ， 当0k时，函数( )F x在(,1)上是增函数； 当0k时，函数( )F x在 1 (,1) k 上是减函数，在 1 (1,1) k 上是增函数；

18、对于 1 ( )(1) 21 F xk x x ， 当0k时，函数( )F x在1,上是减函数； 当0k时，函数( )F x在 2 1 1,1 4k 上是减函数，在 2 1 1, 4k 上是增函数。 20解： （1）在Rt BAD中， 60ABD，,3ABR ADR 而 PD 垂直底面ABCD ， 2222 (22 )(3 )11PAPDADRRR 2222 (22 )(2)2 3PBPDBDRRR, 在PAB中， 222 PAABPB, 即PAB为以PAB为直角的直角三角形。 设点D到面PAB的距离为H, 由 PABDDPAB VV有PA AB HAB AD PD, 即 32 22 66 1

19、111 AD PDRR HR PAR ， 66 sin 11 H BD ; (2)/ /, PEPG EGBC EBGC , 而 PEDF EBFC , 即 ,/ / PGDF GFPD GCDC ,GFBC，GFEG,EFG是直角三角形； （3） 1 2 PE EB 时 1 3 EGPE BCPB , 2 3 GFCF PDCD , 即 112224 2 2cos45,2 2 333333 EGBCRR GFPDRR, EFG的面积 2112424 22339 EFG SEG GFRRR F C P G E A B 图 5 D - 8 - 21解： （1）由求根公式，不妨设，得 22 44

20、, 22 ppqppq 22 44 22 ppqppq p， 22 44 22 ppqppq q （2）设 112 () nnnn xsxt xsx，则 12 () nnn xst xstx，由 12nnn xpxqx 得， stp stq ，消去t，得 2 0spsq，s是方程 2 0xpxq的根， 由题意可知， 12 ,ss 当时，此时方程组 stp stq 的解记为 12 12 ss tt 或 112 (), nnnn xxxx 112 (), nnnn xxxx 即 11nn xt x、 21nn xt x分别是公比为 1 s、 2 s的等比数列， 由等比数列性质可得 2 121 ()

21、 n nn xxxx, 2 121 () n nn xxxx, 两式相减，得 22 12121 ()()() nn n xxxxx 2 21 ,xpq xp， 22 2 x， 1 x 222 21 () nnn xx， 222 21 () nnn xx 1 () nn n x，即 1 nn n x ， 11nn n x 当时，即方程 2 0xpxq有重根， 2 40pq， 即 2 ()40stst，得 2 ()0,stst，不妨设st，由可知 2 121 () n nn xxxx， 2 121 () nn nn xxxx 即 1 n nn xx，等式两边同时除以 n ，得 1 1 1 nn n

22、n xx ，即 1 1 1 nn nn xx 数列 n n x 是以 1 为公差的等差数列， 12 (1)111 n n xx nnn nn n xn 综上所述， 11 ,() ,() nn n nn x n （3）把1p， 1 4 q代入 2 0xpxq，得 2 1 0 4 xx，解得 1 2 11 ()() 22 nn n xn 232311111111 ()()().()()2 ()3 ().() 22222222 nn n Sn 2311111 1( )( )2 ( )3 ( ).( ) 22222 nn n 11111 1( )2( )( )3(3)( ) 2222 nnnn nn