全国各地2008年数学高考真题及答案-(浙江.理)含详解.pdf

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1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）浙江卷一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知a是实数， i ia 1 是纯虚数，则a= （A）1 （B）-1 （C）2（D）-2 （2）已知 U=R，A= 0| xx ,B= 1| xx ,则 ACBBCA uu （A）（B）|0x x （C）|1x x（D）|01x xx或（3）已知a，b 都是实数，那么“ 22 ba”是“ab”的（A）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件（4）在)5)(4

2、)(3)(2)(1(xxxxx的展开式中，含 4 x的项的系数是（A）-15 （B）85 （ C）-120 （D）274 （5）在同一平面直角坐标系中，函数)20)( 2 3 2 cos( ，x x y的图象和直线 2 1 y的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 （6）已知 n a是等比数列， 4 1 2 52 aa，则 13221nna aaaaa= （A）16（ n 41）（B）16（ n 21）（C） 3 32 （ n 41）（D） 3 32 （ n 21）（7）若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率

3、是（A）3 （B）5 （C）3（ D）5 （8）若,5sin2cosaa则atan= （A） 2 1 （ B）2 （C） 2 1 （D）2 （9）已知a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0)()(cbca,则 c的最大值是（A）1 （B）2 （ C）2（D） 2 2 （10）如图， AB 是平面a的斜线段， A 为斜足，若点P 在平面a内运动，使得ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是 A B P A B C D E F A B C D （A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线二填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分。（11）已知a0，若

4、平面内三点A（1，-a），B（2， 2 a）， C（3， 3 a）共线，则a=12。（12）已知 21 FF、为椭圆1 925 22 yx 的两个焦点，过 1 F的直线交椭圆于A、B 两点若12 22 BFAF，则AB= 8 。（13）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c ，若 CaAcbcoscos3 ，则Acos3/3。（14）如图，已知球O 点面上四点A、B、C、D，DA平面 ABC ，ABBC， DA=AB=BC=3，则球 O 点体积等于9/2 。关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC, 三角形 DBC 都是直角三角形，且有公共斜边

5、。所以DC 边的中点就是球心（到D、A、 C、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段DC 长度的一半。（15）已知 t 为常数，函数txxy2 2 在区间 0，3上的最大值为2，则 t= 1 。（16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和 2 相邻，这样的六位数的个数是40 （用数字作答)。（17）若0,0 ba，且当 1 , 0 ,0 yx y x 时，恒有1byax，则以a,b 为坐标点 P（a， b）所形成的平面区域的面积等于思路一：可考虑特殊情形，比如x0，可得 a 1；y 0 可得 b1。所以猜测a 介于 0 和

6、 1 之间， b 介于 0 和 1 之间。点P （a，b）确定的平面区域就是一个正方形，面积为1 。三解答题：本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（ 18）（本题14 分）如图 ,矩形ABCD和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE/CF ， BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。（）求证： AE/ 平面 DCF；（）当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为60？（19）（本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 5 2 ；从袋中任意摸出2 个球，至少得到1

7、个白球的概率是 9 7 。（）若袋中共有10 个球，（i）求白球的个数；（ ii）从袋中任意摸出3 个球 ,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望 E。（）求证：从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个黑球的概率不大于 10 7 。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。（20）（本题 15 分）已知曲线C 是到点 P（ 8 3 , 2 1 ）和到直线 8 5 y距离相等的点的轨迹。l是过点Q（-1，0）的直线， M 是 C 上（不在l上）的动点；A、B 在l上， ,MAl MBx轴（如图）。（）求曲线C 的方程；（）求出直线l的方程，使得 QA QB 2 为常数。 O Q A

8、B M x y l （21）（本题 15 分）已知a是实数，函数( )()f xx xa。（）求函数( )f x的单调区间；（）设)(ag为( )f x在区间2, 0上的最小值。（i）写出)(ag的表达式；（ii ）求a的取值范围，使得2)(6ag。（22）（本题14 分）已知数列 n a，0 n a，0 1 a， 22 11 1() nnn aaanN记 nn aaaS 21 )1()1)(1 ( 1 )1)(1( 1 1 1 21211n n aaaaaa T 求证：当 Nn时，（） 1nn aa；（） 2nSn ；（）3 n T。 2008年普通高等学校招生全国统一考

9、试浙江卷数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5 分，满分50 分 1A2D3D4 A5C 6C7D8B9C10B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4 分，满分28 分 111212813 3 3 14 9 2 1511640171 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知a是实数， 1 ai i 是纯虚数，则a=( A ) （A）1 （B） -1 （C）2（D）-2 解析：本小题主要考查复数的概念。由 ()(1)11 1(1)(1)22 aiaiiaa i iii

11、b” 也不能推出“ 22 ba” 。故“ 22 ba”是“ab”的既不充分也不必要条件。（4）在)5)(4)(3)(2)(1(xxxxx的展开式中，含 4 x的项的系数是( A ) （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。本题可通过选括号（即 5 个括号中 4 个提供x，其余 1个提供常数）的思路来完成。故含 4 x 的项的系数为( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)15. （5）在同一平面直角坐标系中，函数)20)( 2 3 2 cos( ，x x y的图象和直线 2 1 y的交点个数是( C) （A）0 （B）1

12、（C）2 （D）4 解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为： )20)( 2 3 2 cos( ，x x y=sin,0, 2 . 2 x x作出原函数图像，截取0,2x部分，其与直线 2 1 y的交点个数是2 个. （6）已知 n a是等比数列， 4 1 2 52 aa，则 12231nn a aa aa a=( C ) （A）16（ n 41）（B）16（ n 21）（C） 3 32 （ n 41）（D） 3 32 （ n 21）解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由 33 52 1 2 4 aaqq，解得 1 . 2 q 数列 1nn a a 仍是等比数列 :

13、其首项是 12 8,aa公比为 1 . 4 所以 , 12231 1 8 1() 32 4 (1 4) 1 3 1 4 n n nn a aa aa a （7）若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2, 则双曲线的离心率是( D ) （A）3 （B）5 （C）3（D）5 解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线 2 a x c ，则左焦点 1 F到右准线的距离为 222 aac c cc ，左焦点 1 F到右准线的距离为 2 a c c 22 ca c ，依题 22 22 2222 3 , 2 ca ca c caca

14、 c 即 2 2 5 c a ，双曲线的离心率5. c e a （8）若cos2sin5,则tan=( B ) （A） 2 1 （B）2 （C） 2 1 （D）2 解析：本小题主要考查三角函数的求值问题。由cos2sin5可知， cos0,两边同时除以cos得12tan5sec ,平方得 222 (1 2tan)5sec5(1 tan), 2 t a n4 t a n40,解得tan2.或用观察法 . （9）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足() ()0acbc , 则c的最大值是 ( C ) （A）1 （B）2 （C）2（D） 2 2 解析：本小题主要考查向量的数量积及

15、向量模的相关运算问题。| | 1,0,aba b 展开 2 () ()0| |()| | |cos ,acbcccabcab | | |cos2 cos ,cab 则c的最大值是2; 或者利用数形结合, a，b对应的点A,B 在圆 22 1xy上, c对应的点 C 在圆 22 2xy上即可 . （10）如图， AB 是平面a的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面a内运动，使得 ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是 ( B ) （A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线解析：本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线 AB的

16、距离为定值，若忽略平面的限制，则P轨迹类似为一以AB为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C 与 D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！二填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分。（11）已知a0，若平面内三点A （1， -a）， B （2， 2 a）， C （3， 3 a）共线，则a=_12_ 解析：本小题主要考查三点共线问题。 2 (1,),ABaa 32 (1,),BCaa 2322 210,aaaaaa

17、12a(舍负 ). （12）已知 21 FF、为椭圆1 925 22 yx 的两个焦点，过 1 F的直线交椭圆于A、B 两点若12 22 BFAF，则AB=_8_。 A B C D 解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线AB过椭圆的左焦点 1 F,在 2 F AB 中， 22 | 420F AF BABa，又 22 | 12F AF B，| 8.AB （13）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c ，若CaAcbcoscos3，则Acos_。 3 3 解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得： (3sinsin) cossincosBCA

18、AC,即3sincossin()sinBAACB, 3 cos. 3 A （14）如图，已知球O 点面上四点A、B、C、D， DA平面 ABC ，ABBC，DA=AB=BC=3，则球 O 点体积等于 _。 9 2 解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形 DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到 D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。（15）已知 t 为常数，函数 2 2yxxt在区间 0， 3上的最大值为2，则 t=_1_ 解析：本小题主要考查二次函数问题。对

19、称轴为1,x下方图像翻到x轴上方 . 由区间 0，3 上的最大值为2，知 max (3)32,yft解得15,t或检验5t时, (0)52f不符 ,而1t时满足题意 . （16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是_40_（用数字作答)。解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1 和 2 的剩余 4 个元素有 22 22 28AA 种方案，再向这排好的4个元素中插入1 和 2 捆绑的整体，有 1 5 A种插法，不同的安排方案共有 221 225 240AAA种。（17）若0,0 ba，且当

20、 1 ,0 ,0 yx y x 时，恒有1byax，则以a,b A B C D E F 为坐标点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于_1_。解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。由1axby恒成立知，当0x时， 1by恒成立，01b；同理01a，以a,b 为坐标点( , )P a b 所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1. 三解答题：本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（18）（本题 14 分）如图 ,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直， BE/CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。（）求证： AE/ 平面 DCF；

21、（）当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为60？ 18本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力方法一：（）证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，所以AD EG ，从而四边形ADGE为平行四边形，故AEDG因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE平面DCF （）解：过点B作BHEF交FE的延长线于H，连结AH 由平面ABCD平面BEFC，ABBC，得AB平面BEFC，从而AHEF所以AHB为二面角AEFC的平面角在RtEFG中，因为3EGAD，2EF，所以

22、60CFE，1FG 又因为CEEF，所以4CF，从而3BECG 于是 3 3 sin 2 BHBEBEH 因为tanABBHAHB，所以当AB为 9 2 时，二面角AEFC的大小为60 方法二：如图，以点C为坐标原点，以CBCF，和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz设ABaBEbCFc，则(0 0 0)C， ( 3 0)Aa，，， ( 30 0)B，，， ( 30)Eb，，，(00)Fc，，（）证明：(0)AEba，，( 30 0)CB，(00)BEb，，所以0CB CE， 0CB BE，从而CBAE，CBBE， D A B E F C H

23、G D A B E F C y z x 所以CB平面ABE因为CB平面DCF，所以平面ABE 平面DCF 故AE 平面DCF （）解：因为(30)EFcb，( 30)CEb，，所以0EF CE ，| 2EF ，从而 2 3()0 3()2 b cb cb ，，解得34bc，所以( 33 0)E，，(0 4 0)F，设(1)nyz，，与平面AEF垂直，则0n AE ，0n EF，解得 3 3 (13)n a ，，又因为BA平面BEFC，(0 0)BAa，，，所以 2 |3 31 |cos| 2 | | 427 BA na n BA BAn aa ，得到 9 2 a 所以当

24、AB为 9 2 时，二面角AEFC的大小为60 （19）（本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 5 2 ；从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个白球的概率是 9 7 。（）若袋中共有10 个球，（i）求白球的个数；（ii ）从袋中任意摸出3个球 ,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望E。（）求证：从袋中任意摸出2 个球，至少得到1 个黑球的概率不大于 10 7 。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思

25、维能力和分析问题以及解决问题的能力满分14 分（）解：（ i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则 2 10 2 10 7 ( )1 9 x C P A C ，得到5x故白球有5 个（ii ）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是 0 1 2 3 P 1 12 5 12 5 12 1 12 的数学期望 15513 0123 121212122 E （）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得 2 5 yn，所以2yn，21yn，故 1 12 y n 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1 个黑球”为事件B，则 23 () 551 y P B

26、 n 2317 55210 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 2 5 n，红球的个数少于 5 n 故袋中红球个数最少（20）（本题 15 分）已知曲线C 是到点 P （ 8 3 , 2 1 ）和到直线 8 5 y距离相等的点的轨迹。是过点Q（ -1， 0）的直线，M 是C 上（不在上）的动点；A、 B 在上， xMBMA,轴（如图）。（）求曲线C 的方程；（）求出直线的方程，使得 QA QB 2 为常数。本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分15 分（）解：设()N xy，为C上的点，则 22 13 | 28

27、 NPxy， N到直线 5 8 y的距离为 5 8 y由题设得 22 135 288 xyy 化简，得曲线C的方程为 21 () 2 yxx （）解法一：设 2 2 xx M x，，直线:lykxk，则 ()B xkxk，从而 2 |1|1|QBkx A B O Q y x l M O Q A B M x y l 在RtQMA中，因为 2 22 |(1)1 4 x QMx ， 2 2 2 2 (1) 2 | 1 x xk MA k 所以 2 2222 2 (1) |(2) 4(1) x QAQMMAkx k . 2 |1| |2 | | 2 1 xkx QA k ， 222 |2(1) 1

28、1 2 | QBkkx QAk x k 当2k时， 2 | 5 5 | QB QA ，从而所求直线 l方程为220xy 解法二：设 2 2 xx M x，，直线:lykxk，则()B xkxk，从而 2 |1|1|QBkx过Q ( 1 0)，垂直于l的直线 1 1 :(1)lyx k 因为| |QAMH，所以 2 |1| |2 | | 2 1 xkx QA k ， 222 |2(1) 11 2 | QBkkx QAk x k 当2k时， 2 | 5 5 | QB QA ，从而所求直线l方程为220xy A B O Q y x l M H l1 （21）（本题 15 分）已知a是实数，函数

29、)()(axxx。（）求函数)(x的单调区间；（）设)(ag为)(x在区间2, 0上的最小值。（ i）写出)(ag的表达式；（ ii）求a的取值范围，使得2)(6ag。 21本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力满分15 分（）解：函数的定义域为0)， 3 ( ) 22 xaxa fxx xx （0x）若0a ，则( )0fx，( )f x有单调递增区间0)，若0a，令( )0fx，得 3 a x，当0 3 a x时，( )0fx，当 3 a x时，( )0fx( )f x有单调递减区间0 3 a

30、，单调递增区间 3 a ，（）解：（i）若0a，( )f x在0 2，上单调递增，所以( )(0)0g af 若06a，( )f x在0 3 a ，上单调递减，在2 3 a ，上单调递增，所以 2 ( ) 333 aaa g af 若6a，( )fx在0 2，上单调递减，所以 ( )(2)2(2)g afa 综上所述， 00 2 ( )06 33 2(2)6 a aa g aa aa ，，，，（ii）令6( )2g a若0a，无解若06a，解得36a 若6a，解得623 2a故a的取值范围为323 2a （22）（本题 14 分）已知数列 n a，0 n a，0 1 a，)(1

31、 2 1 2 1 Nnaaa nnn 记 nn aaaS 21 )1()1)(1 ( 1 )1)(1( 1 1 1 21211n n aaaaaa T 求证：当 Nn时，（） 1nn aa；（）2nSn；（）3 n T。 22本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力满分14 分（）证明：用数学归纳法证明当1n时，因为 2 a是方程 2 10xx的正根，所以 12 aa 假设当 * ()nk kN时， 1kk aa，因为 22 1kk aa 22 2211 (1)(1) kkkk aaaa 2121 ()(1) kkkk aaaa

32、，所以 12kk aa 即当1nk时， 1nn aa也成立根据和，可知 1nn aa对任何 * nN都成立（）证明：由 22 11 1 kkk aaa，1 21kn，，（2n），得 22 231 ()(1) nn aaaana 因为 1 0a，所以 2 1 nn Sna 由 1nn aa及 22 11 121 nnn aaa得1 n a，所以 2 n Sn （）证明：由 22 11 12 kkkk aaaa，得 1 1 1 (2 313) 12 k kk a knn aa ，，，所以 2 342 1 (3) (1)(1)(1)2 n n n a a aaaa ，于是 2222 2322 11 (3) (1)(1)(1)2()22 nn nnn n aa n aaaaa ，故当3n时， 2 11 113 22 n n T，又因为 123 TTT，所以3 n T

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