全国各地2008年数学高考真题及答案-(福建.理)含详解.pdf

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1、绝密 启用前 数学(理工农医类 ) 第卷（选择题共60 分） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 (1)若复数 (a 2-3a+2)+(a-1) i 是纯虚数，则实数 a 的值为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 (2)设集合 A= x| 1 x x 0,B= x|0x3,那么“ mA”是“ mB”的 A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (3)设 an是公比为正数的等比数列，若 n1=7,a5=16,则数列 an前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127

2、D.128 (4)函数 f(x)=x 3+sinx+1(x R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每1 粒发牙的概率为 4 5 ,那么播下4 粒种子恰有2 粒发芽的概率是 A. 16 625 B. 96 625 C. 192 625 D. 256 625 (6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值 为 A. 6 3 B. 2 6 5 C. 15 5 D. 10 5 (7)某班级要从4 名男生、 2 名女生中选派4 人参加某次社区服务，如果要求至

3、少有1 名女生， 那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 (8)若实数 x、y 满足10,xy则 y x 的取值范围是 A.(0,1) B.0,1C.(1,+) D.1, (9)函数 f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=-f(x)的图象，则m 的值可 以为 A. 2 B.C.D. 2 (10)在 ABC 中，角 ABC 的对边分别为a、b、c,若(a 2+c2-b2)tanB= 3ac,则角 B 的值为 A. 6 B. 3 C. 6 或 5 6 D. 3 或 2 3 (11)又曲线 22 22 1 xy ab （ a0,b0）的

4、两个焦点为F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则 双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B.1,3C.(3,+) D.3, (12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第卷（非选择题共90 分） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若 (x-2) 5=a 3x 5+a5x4+a 3x 3 +a2x 2+a 1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=_.(用数字作答 ) x=1+cos (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆y=-2+sin

5、 （为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是. （15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是. （16）设 P 是一个数集， 且至少含有两个数，若对任意a、bR，都有 a+b、a-b， ab、 a b P（除 数 b0），则称 P 是一个数域 .例如有理数集Q 是数域；数集 2,Faba bQ也是数 域.有下列命题： 整数集是数域；若有理数集QM，则数集M 必为数域； 数域必为无限集；存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号填填上） 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满

6、分12 分） 已知向量m=(sinA,cosA),n=( 3,1)， m n1，且 A 为锐角 . （）求角A 的大小；（）求函数( )cos24cossin()fxxAx xR的值域 . （18）（本小题满分12 分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面 PAD 底面 ABCD，侧棱 PA=PD2，底面 ABCD 为直 角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点 . （）求证：PO平面 ABCD ； （）求异面直线PD 与 CD 所成角的大小； （） 线段 AD 上是否存在点Q，使得它到平面PCD 的距离为 3 2 ？若存在， 求出 AQ QD 的值； 若

7、不存在，请说明理由. （19）（本小题满分12 分） 已知函数 321 ( )2 3 f xxx. （）设 an是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，其中 a1=3.若点 2 11 (,2) nnn a aa(n N*) 在函 数 y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在 y=f(x)的图象上； （）求函数f(x)在区间（ a-1,a）内的极值 . （20）（本小题满分12 分） 某项考试按科目A、科目 B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科 目 B 的考试 .已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合

8、格的概率均为 2 3 ，科目 B 每次考试 成绩合格的概率均为 1 2 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （）求他不需要补考就可获得证书的概率； （）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的 数学期望E. （21）（本小题满分12 分） 如图、椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点是F（1，0）， O 为坐标原点 . （）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （） 设过点 F 的直线 l 交椭圆于A、 B 两点 .若直线 l 绕点 F 任意转动，值有 222 OAOBAB, 求 a 的取值范围 . （22）（本

9、小题满分14 分） 已知函数f(x)=ln(1+ x)-x1 （）求 f(x)的单调区间； （）记 f(x)在区间0,（ nN* ）上的最小值为bx令 an=ln(1+ n)-bx. （）如果对一切n，不等式 2 2 nn n c aa a 恒成立，求实数c 的取值范围； （）求证： 1313211 224242 211. n n n a aa aaa a aa aa aa C1 D1 C A1 A B D B1 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学（理工类） 第卷（选择题共60 分） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，

10、 只有一项是符合题目要求的。 (1)若复数 2 (32)(1)aaai是纯虚数，则实数a 的值为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 解：由 2 320aa得12a或,且101aa得2a（纯虚数一定要使虚部不为0） (2)设集合|0 1 x Ax x , |03Bxx,那么“ mA”是“ mB”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：由0 1 x x 得0 1x ,可知“m A” 是“mB” 的充分而不必要条件 (3)设 an是公比为正数的等比数列，若 15 1,16aa,则数列 n a前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.

11、128 解：由 15 1,16aa及 an是公比为正数得公比 2q，所以 7 7 12 127 12 S (4)函数 3 ( )sin1()f xxxxR,若( )2f a，则()fa的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 解： 3 ( )1sinf xxx为奇函数 ，又( )2f a( )11f a 故()11fa即()0fa. (5)某一批花生种子，如果每1 粒发牙的概率为 4 5 ,那么播下4 粒种子恰有2 粒发芽的概率是 A. 16 625 B. 96 625 C. 192 625 D. 256 625 解：独立重复实验 4 (4,) 5 B， 22 2 4 4196 (2) 55

12、625 P kC (6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A. 6 3 B. 2 6 5 O C1D1 C A1 A B D B1 C. 15 5 D. 10 5 解：连 11 A C与 11 B D交与 O 点,再连 BO,则 1 OBC为 BC1与平面 BB1D1D 所成角 . 1 1 1 OC COSOBC BC ， 1 2OC， 1 5BC 1 21 0 5 5 C O SO B C (7)某班级要从4 名男生、 2 名女生中选派4 人参加某次社区服务，如果要求至少有1 名女生，那么 不同的选派方

13、案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 解： 6 人中选 4 人的方案 4 6 15C种，没有女生的方案只有一种， 所以满足要求的方案总数有14 种 (8)若实数 x、y 满足 10 0 xy x 则 y x 的取值范围是 A.(0,1) B.0,1C.(1,+) D.1, 解：由已知1yx， 11 1 yx xxx ，又0x，故 y x 的取值范围是(1,) (9)函数( )cos ()f xx xR的图象按向量(,0)m平移后，得到函数 ( )yfx的图象， 则 m 的值可以为 A. 2 B.C.D. 2 解：( )sinyfxx,而( )cos ()f xx xR的图象按向量(

14、,0)m平移后 得到cos()yxm,所以cos()sinxmx，故m可以为 2 . (10)在 ABC 中，角 ABC 的对边分别为a、b、c,若 222 (a +c -b )tanB= 3ac,则角 B 的值为 A. 6 B. 3 C. 6 或 5 6 D. 3 或 2 3 解：由 222 (a +c -b )tanB= 3ac得 222 (a +c -b )3 cos = 22 sin B acB 即 3 cos cos= 2 sin B B B 3 sin= 2 B,又在中所以B 为 3 或 2 3 (11)双曲线 22 22 1 xy ab （a 0,b0）的两个焦点为F1、F2,若

15、 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲 线离心率的取值范围为A.(1,3) B. 1,3 C.(3,+) D. 3, 解：如图，设 2 PFm， 12 (0)F PF， 当 P在右顶点处， 222 (2)4cos2 54cos 2 mmmc e am 1cos1，1,3e 另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前 者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与 c 的关系。 (12) 已知函数( ),( )yf xyg x的导函数的图象如下图，那么( ),( )yf xyg x图象可能是 解：从导函数的图象可知两个函数在 0 x处斜率相

16、同 ,可以排除B 答案 ,再者导函数的函数值反映 的是原函数增加的快慢,可明显看出( )yf x的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢， 排除 AC,最后就只有答案D 了,可以验证 y=g(x) 导函数是增函数，增加越来越快. 第卷（非选择题共90 分） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若 55432 543210 (2)xa xa xa xa xa xa,则 12345 aaaaa(用数字作答 ) 解：令 543210 11xaaaaaa得，令0x得 0 032xa得 所以 54321 31aaaaa (14) 若直线

17、340xym与圆 1cos 2sin x y （为参数）没有公共点， 则实数 m 的取值范围是 解：圆心为(1, 2)，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得 22 3 12 ( 4) 1 34 m dr ，即55m，m （-，0）（10，+ ） （15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 解：依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径. 23333r, 2 49Sr （16）设 P 是一个数集， 且至少含有两个数，若对任意a、bR，都有 a+b、a-b， ab、 a b P（除 数 b0），则称P 是一个数域 .例如有理数集Q 是数域；数集2,F

18、aba bQ 也是数域 .有 下列命题： 整数集是数域；若有理数集QM，则数集M 必为数域； 数域必为无限集；存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号填填上） 解：对除法如 1 2 Z不满足，所以排除， 取 3 2,Maba bQ,对乘法 333 224M, 的正确性容易推得。 三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12 分） 已知向量m=(sinA,cosA),n=( 3,1)， m n1，且 A 为锐角 . （）求角A 的大小； （）求函数( )cos24cossin()f xxAx xR的值

19、域 . 解：（）由题意得3sincos1,m nAA 1 2sin()1,sin(). 662 AA 由 A 为锐角得, 663 AA （）由（）知 1 cos, 2 A 所以 2213 ( )cos22sin12sin2sin2(sin). 22 f xxxxsx 因为 xR，所以sin1,1x，因此，当 1 sin 2 x时， f(x)有最大值 3 2 . 当sin1x时，( )f x有最小值 -3, 所以所求函数( )f x的值域是 3 3 2 ， （18）（本小题满分12 分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面 PAD 底面 ABCD，侧棱 PA=PD2，底面 ABCD 为直 角梯

20、形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点 . （）求证： PO平面 ABCD； （）求异面直线PD 与 CD 所成角的大小； （）线段 AD 上是否存在点Q， 使得它到平面PCD 的距离为 3 2 ？ 若存在，求出 AQ QD 的值；若不存在，请说明理由. 解法一： （）证明：在PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点，所以POAD, 又侧面 PAD底面 ABCD,平面PAD平面 ABCD =AD , PO平面 PAD， 所以 PO平面 ABCD. （）连结BO，在直角梯形ABCD 中、 BCAD，AD=2AB=2BC, 有 ODBC 且 OD=BC,所以四边

21、形OBCD 是平行四边形，所以OBDC. 由（）知， POOB,PBO 为锐角， 所以 PBO 是异面直线PB 与 CD 所成的角 . 因为 AD=2AB=2BC=2,在 RtAOB 中， AB=1,AO=1, 所以 OB2， 在 RtPOA 中，因为AP2，AO1，所以 OP1， 在 RtPBO 中， tanPBO 122 ,arctan. 222 PG PBO BC 所以异面直线PB 与 CD 所成的角是 2 arctan 2 . （）假设存在点Q，使得它到平面PCD 的距离为 3 2 . 设 QDx，则 1 2 DQC Sx，由（）得CD=OB=2， 在 RtPOC 中， 22 2,PC

22、OCOP 所以 PC=CD=DP, 2 33 (2), 42 PCD S 由 Vp-DQC=V Q-PCD,得2，所以存在点Q 满足题意，此时 1 3 AQ QD . 解法二： ( ) 同解法一 . ( )以O为坐标原点，OC OD OP、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz, 依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以11 0111CDPB（， ，）， （， ）. 所以异面直线PB与CD所成的角是arccos 6 3 ， ( )假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 3 2 ， 由( )

23、知( 1,0,1),( 1,1,0).CPCD 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则 0, 0, n CP n CD 所以 00 00 0, 0, xz xy 即 000 xyz， 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设(0,0)(11),( 1, ,0),QyyCQy由 3 2 CQ n n ，得 1 3 , 2 3 y 解y=- 1 2 或y= 5 2 ( 舍去 ) ，此时 13 , 22 AQQD， 所以存在点Q满足题意，此时 1 3 AQ QD . （19）（本小题满分12 分） 已知函数 32 1 ( )2 3 f xxx. （）设 n a是正

24、数组成的数列，前n 项和为 n S，其中 1 3a.若点 2 11 (,2) nnn aaa(nN*) 在函数 ( )yfx的图象上，求证：点( ,) n n S也在 ( )yfx的图象上； （）求函数( )f x在区间(1, )aa内的极值 . 解： () 证明：因为 321 ( )2, 3 f xxx所以 2 ( )2fxxx， 由点 2 11 (,2)(N ) nnn aaan在函数 ( ) yfx的图象上 , 22 11 22 nnnn aaaa 111 ()()2() nnnnnn aaaaaa，又0(N ), n an 所以 1 2 nn aa， n a是 1 3,2ad的等差数列

25、 所以 2(1) 32=2 2 n n n Snnn, 又因为 2 ( )2fnnn, 所以( ) n Sfn, 故点( ,) n n S也在函数 ( )yfx的图象上 . ( )解: 2 ( )2(2)fxxxx x, 令( )0,fx得02xx或. 当x变化时 ,( )fx( )f x的变化情况如下表: x(- ,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+ ) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值极小值 注意到(1)12aa, 从而 当 2 12,21, ( )( 2) 3 aaaf xf即时的极大值为, 此时( )f x无极小值； 当10,01, ( )aaaf x即时的极小值为

26、(0)2f, 此时( )f x无极大值； 当2101, ( )aaaf x或或时既无极大值又无极小值. （20）（本小题满分12 分） 某项考试按科目A、科目 B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科 目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书。现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为 2 3 ，科目 B 每次考试 成绩合格的概率均为 1 2 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （）求他不需要补考就可获得证书的概率； （）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的 数学期望E. 解：设“科目A

27、第一次考试合格”为事件 1 A，“科目A补考合格”为事件 2 A；“科目B第一次 考试合格”为事件 1 B，“科目B补考合格”为事件 2 B () 不需要补考就获得证书的事件为 11 A B,注意到 1 A与 1 B相互独立， 则 1111 211 ()()() 323 P A BP AP B. 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为 1 3 . ( ) 由已知得，2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 1112 (2)()()PP A BP A A 2111114 . 3233399 112112122 (3)()()()PP A B BP A B BP A A B 211211

28、1211114 , 3223223326693 12221212 (4)()()PP A A B BP A A B B 12111211111 , 3322332218189 故 4418 234. 9993 E 答：该考生参加考试次数的数学期望为 8 3 . （21）（本小题满分12 分） 如图、椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点是F（1，0）， O 为坐标原点 . （）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角 形，求椭圆的方程； （）设过点F 的直线 l 交椭圆于A、B 两点 .若直线 l 绕点 F 任意转动，值有 222 OAOBAB,求 a 的取值范围 .

29、解： ( )设M ，N为短轴的两个三等分点， 因为MNF为正三角形， 所以 3 2 OFMN, 3 2 1,3. 23 b b解得 22 14,ab因此，椭圆方程为 22 1. 43 xy ( ) 设 1122 (,),(,).A x yB xy () 当直线AB与x轴重合时， 222 222 222 2,4(1), . OAOBaABaa OAOBAB因此，恒有 () 当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 22 22 1,1, xy xmy ab 代入 整理得 22222222 ()20,ab myb myba b 所以 2222 1212222222 2 , b mba b y

30、yy y ab mab m 因为恒有 222 OAOBAB，所以AOB恒为钝角 . 即 11221212 (,) (,)0OA OBx yxyx xy y恒成立 . 2 121212121212 (1)(1)(1)()1x xy ymymyy ymy ym yy 222222 222222 2222222 222 (1)()2 1 0. mba bb m ab mab m m a bba ba ab m 又 222 0ab m，所以 2222222 0m a bba ba对mR恒成立， 即 2222222 m a baba b对mR恒成立 ,当mR时， 222 m a b最小值为0， 所以 2

31、222 0aba b， 2224 (1)abab, 因为 22 0,0,1ababa，即 2 10aa, 解得 15 2 a或 15 2 a(舍去 )，即 15 2 a, 综合（ i）(ii) ， a 的取值范围为 15 (,) 2 . （22）（本小题满分14 分） 已知函数( )ln(1)f xxx （）求( )f x的单调区间； （）记( )fx在区间 0,n （nN* ）上的最小值为 n b令ln(1) nn anb 如果对一切n，不等式 2 2 nn n c aa a 恒成立，求实数c 的取值范围； 求证： 1313211 224242 211. n n n a aa aaa a a

32、a aa aa 解 ： （I）因为( )ln(1)f xxx，所以函数定义域为( 1,)，且 1 ( )1 11 x fx xx 。 由 ( )0fx得10x，( )f x的单调递增区间为( 1,0)； 由 ( )0fx 22 1. 22 n nn 又 lim 2 2(2)lim1 2 11 2 x nnn n , 因此1c，即实数 c 的取值范围是(,1. 由知 1 2121. 21 nn n 因为 1 3 5(21) 2 4 6(2 ) n n 2 2222 1 3 3 5 5 7(21)(21)11 , 246(2 )2121 nn nnn 所以 1 3 5(21)1 2 4 6(2 ) 21 n n n 2121nn(nN*), 则 11 31 3 5(21) 22 42 4 6(2 ) n n 31532121211ann * 1313211 22242 211() n n nn a aa aaa anN aa aa aa 即