培优指数函数和对数函数.pdf

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1、指数函数和对数函数 一、 1根式 (1)根式的概念 若 xna，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中n1 且 nN *.式子n a叫做根式，这里n 叫做根指 数， a 叫做被开方数 a 的 n 次方根的表示：x na? x n a（当 n为奇数且 nN *时）， x n a（当 n为偶数且 nN *时） . (2)根式的性质 ( n a) na(nN* ) n a n a，n为奇数， |a| a， a0， a，a0， m， nN* ，且 n1)； 负分数指数幂：am n 1 a m n 1 n a m (a0，m，nN *，且 n1)； 0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂无意义 (

2、2)有理数指数幂的运算性质： arasar s(a0，r，sQ)； (ar)sars(a0，r，sQ)； (ab) rar b r(a0，b0，rQ) 3指数函数的图象与性质 y a x a100 时， y1；当 x0 时， 01； 在 R 上是增函数在 R 上是减函数 二、对数 概 念 如果 axN(a0，a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlogaN其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数 性 质 底数的限制： a0，且 a1 对数式与指数式的互化：axN? logaNx 负数和零没有对数,1 的对数是零： loga10 底数的对数是1：logaa 1,对数恒等式： a

3、logaNN 运 算 性 质 loga(M N)logaMlogaN a0，且 a 1， M0，N0 logaM N logaMlogaN logaM n nlog aM(nR) 换 底 公 式 公式： logab logcb logca(a0，且 a1；c0，且 c1； b0) 推广： logambn n mlog ab；logab 1 logba 2.对数函数的图象与性质 a101 时， y0 当 01 时， y0 在(0， )上是增函数在(0， )上是减函数 一、选择题 1.设函数 652 22 2 1 )(, 2 1 )( xxbxx xgxf，若)()(xgxf 对于任意实数x恒成

4、立，则实数b的取值范围是（） A12b B12b C15b D15b 2.函数xfy是R上的奇函数，满足xfxf33，当x（ 0，3）时 x xf2，则 当x（6，3）时，xf = （） A. 6 2 x B. 6 2 x C. 6 2 x D. 6 2 x 3.设 1 0，f(x)= x x a aa ，则 f( 1 2004 ) + f( 2 2004 ) + + f( 2003 2004 )=_。 5.已知函数111lg 22 xaxaxf的定义域为,，则实数a的取值范围是 _. 6.先将函数f ( x ) =ln 1 1x 的图像作关于原点的对称变换，然后向右平移1 个单位，再作关于y

5、 = x 的对称变换，则此时的图像所对应的函数的解读式是。 7.已知函数y = log1 2 ax 2 + 2 x + ( a 1 ) 的值域是 0，+ )，则参数a 的值是。 三、解答题 8.已知定义域为R的函数 1 2 ( ) 22 x x b f x 是奇函数 . （1）求( )f x； （2）判断函数( )fx的单调性（不必证明） （3）若对任意的Rt，不等式0)2()2( 22 ktfttf恒成立，求k的取值范围 . 9.已知函数 1 ( )( ) ,1,1 3 x fxx，函数 2 ( )( )2( )3g xfxaf x的最小值为( )h a （ 1）求( )h a的解读式； （

6、 2）是否存在实数,m n同时满足下列两个条件：3mn；当( )h a的定义域为,n m 时，值域为 22 ,nm？若存在，求出,m n的值；若不存在，请说明理由 10.函数 2 2 ( )log (2)2(2)f xaxaxa在区间2,2(2)aa上恒有定义，求实数a的取 值范围 11.( 本题满分12 分) 已知函数)2lg()( x a xxf，其中 a 是大于 0 的常数 （ 1）设 a g xx x , 判断并证明g x在,a 内的单调性； （ 2）当)4, 1(a时，求函数)(xf在 2 ) 内的最小值； （ 3）若对任意),2x恒有0)(xf，试确定 a的取值范围。 12.（12

7、 分）已知函数 1 3 1 3 2 log 2 ax fxx x 为奇函数，a为常数 . （ 1）求a的值； （ 2）当(3,4x时，fx是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由； （ 3）设函数 1 3 1 ( )() 2 x g xxm，当m为何值时，不等式( )( )f xg x在(3,4x有实数解？ 13.（12 分）函数y=f （x）满足 lg （lgy ）=lg3x+lg （3x）， （ 1）求 f （x）； （ 2）求 f （x）的值域； （ 3）求 f （x）的递减区间 14.已知二次函数 )0( 12)( 2 abaxaxxg 在区间 2 ，3 上有最大值4，

8、最小值1. ( ) 求函数 )(xg 的解读式； ( ) 设 x xg xf )( )( . 若 02)2( xx kf 在 1,1x 时恒成立，求 k 的取值范围 . 试卷答案 1.D 2.B 3.A 4. 2003 2 5. 5 3 a或1a 6.y = e x 7.1 2 8.解（1） 因为)(xf是 R上的奇函数，所以 1,0 2 1 ,0)0(b a b f解得即 从而有 1 21 ( ) 22 x x f x 3分 （2）由（ 1）知, 12 1 2 1 22 12 )( 1xx x xf 由2 x y的单调性可推知)(xf在 R上为减函数.3 分 （3）解法一：由（1）知, 12

9、 1 2 1 22 12 )( 1xx x xf 由上式易知)(xf在 R上为减函数， 又因)(xf是奇函数，从而不等式 0)2()2( 22 ktfttf等价于).2()2()2( 222 ktfktfttf .2 分 因)(xf是 R上的减函数，由上式推得.22 22 kttt 即对一切, 023 2 kttRt有从而 3 1 ,0124kk解得. 2 分 9.解读 ：（ 1）由 1 ( )( ) ,1,1 3 x f xx，知 1 ( ),3 3 fx ，令 1 ( ),3 3 tf x 1分 记 2 ( )23g xytat，则( )g x的对称轴为ta，故有： 当 1 3 a时，(

10、)g x的最小值 282 ( ) 93 a h a 当3a时，( )g x的最小值( )126h aa 当 1 3 3 a时，( )g x的最小值 2 ( )3h aa 综述， 2 2821 933 1 ( )33 3 1263 a a h aaa aa 7 分 （ 2）当3a时，( )612h aa故3mn时，( )h a在,n m上为减函数 所以( )h a在 ,n m 上的值域为 (), ( )h m h n9 分 由题，则有 22 22 ()612 ( )612 h mnmn h nmnm ，两式相减得 22 66nmnm，又mn 所以6mn，这与3mn矛盾故不存在满足题中条件的,m

11、n的值 10.解读 ：设 2 ( )(2)2(2)g xaxaxa，则 2 2 ( )log (2)2(2)f xaxaxa 在区间2,2(2)aa上恒有定义即( )0g x在2,2(2)aa上恒成立 当0a时，( )240g xx于2, 4上恒成立 当0a时，( )g x的对称轴 2 0 2 a a ，( )g x在2,2(2)aa上单调增加，所以， 2 (2)(2)(34)0g aaaa， 由20a， 2 340aa，所以(0,)a 当0a时，( )0g x于2,2(2)aa上恒成立，则 (2)0 2(2)0 g a ga ， 由 2 (2)(2)(34)0g aaaa， 2 340aa，

12、得 20a，即2a； 由 2 2(2)(2)(253)0gaaaa，得 2 2530aa， 解得 3 2 a或1a，所以， 3 2 2 a或10a 综上， 3 2,)1 2 a （，） 11. 解读： （I） ， 1 分 （II）证明：由（I）知：，令 （III ）对于 3，4上的每一个x 的值，不等式恒成立， 即：恒成立10 分 由（ II）知：在 R 上单调递增， 内单调递增，显然在3，4上递增，12 分 ， 14 分 12. （ 1）增函数，用定义证明. （ 2）设( )2 a u xx x ，当)4, 1(a，),2x时 由（ 1）知( )2 a u xx x 在), 2上是增函数 )

13、2lg()( x a xxf在), 2上是增函数 )2lg()( x a xxf在), 2上的最小值为 2 lg)2( a f （ 3） 对任意),2x恒有0)(xf，即12 x a x对),2x恒成立 2 3xxa，而 4 9 ) 2 3 (3)( 22 xxxxh在),2x上是减函数 2)2()( max hxh，2a 13. 13 考点：对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用 分析：（ 1）由 lg （lgy ）=lg3x+lg （ 3x），可得lg （lgy ）=lg3x （3x）， 0x 3lgy=3x （3x），即可得出 （ 2）令 u=3x（

14、3x） =+，在上单调递增，在上单调递 减；而 10 u 是增函数，即可得出， （ 3）由（ 2）可知：函数f （x）的递减区间为 解答：（ 1）lg （ lgy ） =lg3x+lg （3x）， lg （ lgy ）=lg3x （3x） ， 0x3 lgy=3x （ 3x）， f （ x）=y=10 3x（3x），x（ 0，3） （ 2）令 u=3x（3x） =+，在上单调递增，在上单调递 减；而 10 u 是增函数 ， f （ x）的值域为 （ 3）由（ 2）可知：函数f （x）的递减区间为 点评：本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了 推理能力与计

15、算能力，属于中档题 14.解： ( ) 2 ( )(1)1g xa xab 函数 )(xg 的图象的对称轴方程为 1x 0a baxaxg1) 1()( 2 在区间 2 ，3 上递增。 依题意得 4)3( 1)2( g g 即 414 11 baa baa ，解得 0 1 b a 12)( 2 xxxg ( ) ( ) ( ) g x f x x 2 1)( )( x x x xg xf 02)2( xx kf 在 1,1x 时恒成立， 即 022 2 1 2 x x x k 在 1,1x 时恒成立 211 ()2()1 22 xx k 在 1,1x 时恒成立 只需 2 min 11 ()2()1 22 xx k 令 x t 2 1 ，由 1,1x 得 2, 2 1 t 设 ( )h t 2 21tt 22 ( )21(1)h tttt 当 1t 时，取得最小值0 min ( )(1)0kh th k 的取值范围为 (,0) 略