届高三数学尖子生训练题(共69题).pdf

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1、高三培优题 1 (2010 年 2 月) 1. ABC中，若, ,a b c分别为角A,B,C 的对边，且cos2coscos()1BBAC， 则有（） A., ,a c b成等比数列 B., ,a c b成等差数列 C., ,a b c成等差数列 D., ,a b c成等比数列 2.若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意 x1,x2R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定 正确的是（） A f(x)为奇函数 B f(x)为偶函数C f(x)+1 为奇函数D f(x)+1 为偶函数 3.对于 R 上可导的任意函数f（x） ，若满足（ x1）fx（ ）0，则必有（）

2、 A.f（0） f（2）2f（1）B. f（0） f（2）2f（1） C. f（0） f（ 2）2f（1）D. f（ 0） f（2） 2f（1） 4. 函数axbxaxxf(2 23 、,Rb且0ab的图像 如图所示，且 21 xx0，则有（） Aa0,b 0 B.a 0,b 0 C.a0,b 0 D.a 0,b 0 5.过双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的右顶点 A作斜率为 -1 的直线， 该直线与双曲线的两 条渐近线的交点分别为B、C若BCAB 2 1 ，则该双曲线的离心率是( ) A 2 B 3 C 5 D 10 6.已知直线)0)(2(kxky与抛物线xyC8

3、: 2 相交于A，B 两点， F 为 C 的焦点， 若|FA|=2|FB|，则实数k 的值为（） A 3 1 B 3 2 C 3 2 D 3 22 来源 : 7. 如图，有公共左顶点和公共左焦点 F的椭圆与的长半轴的长分别为 1 a 和 2 a ，半焦距 分别为 1 c 和 2 c . 则下列结论不正确的是（） A. 1122 acac B. 1122 acac C. 122 1 aca c D. 1 221 a ca c 8.已知抛物线C：2 2 mxxy与经过 A（0，1） ，B（2，3）两点的线段AB 有公共点， 则 m 的取值范围是（） A(，13，)B 3，)C(，1D- 1， 3

4、9.已知椭圆 222 2 1 ayx（ a0）与 A（2，1） ，B（4，3）为端点的线段没有公共点，则 a 的取值范围是（） A. 2 23 0aB. 2 23 0a或 2 82 aC. 2 23 a或 2 82 aD. 2 82 2 23 a 10已知抛物线xy4 2 上两个动点B、C 和点 A（ 1，2）且 BAC90，则动直线BC 必过定点（） A （2，5）B （- 2，5）C （ 5，- 2）D （5，2） 11某城市新修建的一条道路上有12 盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可 以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 A 3 8

5、C种B 3 8 A种C 3 9 C种D 3 11 C种 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成 120的二面角，C 点到C处，这时异面直线AD 与 CB所成角的余弦值是（） A 2 2 B 2 1 C 4 3 D 4 3 13. 设a、b、c是单位向量，且ab0，则acbc的最小值为( ) （A）2（B）22（C）1(D)12 14设 D是ABC边BC延长线上一点，记 ACABAD)1( . 若关于 x的方 程 2 2sin(1)sin10xx 在 0, 2 ) 上恰有两解，则实数的取值范围是（） A. 2 B. 4 C. 122 D. 4 或 122 15已知线段AD平面 ，且与平面的距

6、离等于4，点 B 是平面 内动点，且满足AB 5，若 AD10，则点 D 与点 B 的距离 d满足（） A. d 的最大值为55，无最小值B.d的最小值为65，无最大值 C.d 的最大值为55，最小值65D. d 的最大值为185，最小值为65 16. 方程111 22 xyyx所对应的曲线图形是（） A. B. C. D. 17四面体ABCD的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是 A. 2,0B. 32,0C. 32, 2D.4,2 18函数 f(x)满足 f(nx) f(x) n，写出一个满足上述条件的函数 _ _ 19定义集合A和 B的运算：,ABx xAxB且 .

7、 试写出含有集合运算符号“” 、 “” 、 “” ，并对任意集合A和 B都成立的一个等式：_ _. 20若数列 n a，)( * Nn是等差数列，则有数列)( * 21 Nn n aaa b n n 也为等 差数列，类比上述性质，相应地：若数列 n C是等比数列，且)(0 * NnCn，则有 n d_ _)( * Nn也是等比数列 21某公司规定：一个工人在一个季度里如果有1 个月完成任务，则可得奖金90 元；如果 有 2 个月完成任务，则可得奖金210 元；如果有3 个月完成任务，则可得奖金330 元；如 果 3 个月都未完成任务，则不得奖金。假如某工人每月能否完成任务是等可能的，则这个 工

8、人在一个季度里所得奖金的数学期望是 22. 已 知 数 列 n a 满 足 ： 43412 1,0,N , nnnn aaaan 则 2009 a _ ； 2014 a =_. 23如图，在 ABC 中，2AB， 3AC ，D是边 BC 的中点，则 AD BC _ 24一圆与两坐标轴分别相交于A、 B、 C、 D 四个交点, 若A、 B、 C 三个点都在函数 2 (0)yaxbxc a图象上 , 则点 D的坐标为。 25将编号分别为1，2， 3，4，5 的五个红球和五个白球排成一排，要求同编号球相邻， 但同色球不相邻，则不同排法的种数为（ 用数字作答 ） 26 函数xxxxxfcossinco

9、ssin)(是最小正周期为的（奇偶性）函数 27. 已知在整数集合内，关于x的不等式42 2 x2(2)xa的解集为 1 ，则实数a的 取值范围是。 28. 对于定义在R上的函数( )f x，有下述四个命题： 若( )f x是奇函数，则(1)fx的图象关于点A（1，0）对称； 若对xR，有(1)(1)f xf x，则( )yf x的图象关于直线1x对称； 若函数(1)f x的图象关于直线1x对称，则( )f x为偶函数； 函数(1)yfx与函数(1)yfx的图象关于直线1x对称。 其中正确命题的序号为（把你认为正确命题的序号都填上） 29记 mina,b为 a、b 两数的最小值 ,当正数 x、

10、 y变化时 ,t=min x, 22 yx y 也在变化 , 则 t 的最大值为 _. A B D C 高三培优题 2 （2010年 2 月） 1已知复数z 的模为 2，则 zi的最大值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D） 4 2.已知动点P（yx,）满足|43|)2()1(4 22 yxyx，则点 P 的轨迹是（） （A）圆（B） 椭圆（ C） 双曲线（D）抛物线 3. 不等式10 2 aaxx的解集是单元素集合, 则a（） A.0, B.2, C.4, D.6. 4. ABC中， cosAcosBcosC 的最大值是（） A、3 8 3 B 、 8 1 C 、1 D 、 2 1 5

11、. 已知( 21)2() n nn ab nN，则 n b的值（） A、必为奇数 B 、必为偶数 C 、与n的奇偶性相反 D 、与n的奇偶性相同 6.已知 P 是 ABC内一点， 且满足PCPBPA32 0，记 ABP、BCP、ACP的 面积依次为 1 S、 2 S、 3 S，则 1 S： 2 S： 3 S等于（） A、1：2：3 B、1：4：9 C、3：2：1 D、3：1：2 7.如果随机变量 N(, 2),且 E 3,D 1,那么 P(2 4)等于（其中 N ( , 2)在( ,)内的取值概率为0.683；在 (2, 2)内的取值概率为0.954；在 ( 3, 3)内的取值概率为0.997

12、） （） A0.5 B0.683 C0.954 D0.997 8. 已知 mx nxm xf 2 )2( )(的图像如下 , 则m可能的取值范围是（） A （ 1，2） ， B.（-1 ， 2） ， C.),2()1 ,( D. ),21 ,(. 9为了考查两个变量y 与 x 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了10 次和 15 次实验 , 并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为 21,l l, 已知两个人在实验中发现对变 量 x 的观测数据的平均数都为s , 对变量 y 的观测数据的平均数都为 t ,则下列说法正确 的是 ( ) A 21,l l有交点ts, B 21,l l相交

13、, 但交点不一定是ts, C 21,l l必平行 D 21,l l必定重合 X Y -1 1 10.若a=（-8，1） ，b=（3，4） ，则a在b方向上的投影是。 11已知二次函数 2 ( )2()f xaxxc xR的值域为0,)，则 11ac ca 的最小值 为 12已知(3,1),(2,4),| 1OAOBBC，点C在直线OA上的射影为点D，则|OD的 最小值为 13椭圆 2222 (01)b xybb上离顶点(0, )Ab最远的点恰好是点(0,)Bb，则此椭 圆离心率的范围是 14有一种波，其波形为函数sin() 2 yx的图象，若在区间0 ，t 上至少有2 个波峰（图 象的最高点）

14、 ，则正整数t 的最小值是 _ 15设G是ABC的重心，且 (56sin)(40sin)(35sin)0,A GAB GBC GC 则B的 大小为 _ 16. 函数 22 ( ) |sin|cos|f xxx()R的最小值是 17. 等边三角形 ABC中，P在线段AB上，且APAB，若CP ABPA PB，则实数 的值是 18已知1)1(f，2)1(f，则 1 )( lim 1 x xfx x =_. 19从 0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整 除的概率为。 20已知AOB，点P在线段AB上，若4OPmOAnOB，则mn的最大值为 21. 如果 AB

15、是椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆 的离心率， M为 AB的中点，则 OMAB kk的值为 22在ABC所在的平面有一点P，满足 ABPCPBPA , 则PBC与ABC的面 积之比是 23.函数)(xfy的图象与y=2 x 的图象关于y 轴对称，若 )( 1 xfy是)(xfy的反函数， 则)2( 21 xxfy 的单调递增区间是 24.设椭圆1243 22 yx上存在两点关于直线mxy4对称，则m的取值范围是 25设 x,y 满足约束条件 1234 0 0 yx y x ，则 1 32 x yx 的取值范围是 26设等差数列 n a

16、的公差为d，若 7654321 ,aaaaaaa的方差为1，则d=_ 27. 在周长为16 的PMN中，6MN，则PM PN的取值范围是. 28一个总体共有100 个个体，随机编号0，1，2， 99，按从小到大的编号顺序平均分 成 10 个小组，组号依次为1，2，3，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10 的 样本，规定如果在第1 组随机抽取的号码为m，那么在第k 组中抽取的号码个位数字 与 mk 的个位数字相同，若m4，则在第6 组中抽取的号码是 29从某项综合能力测试中抽取100 人的成绩，统计如下表，则这100 人成绩的 标准差为 30在ABC中，若,BCAC ACb BCa，则ABC

17、的外接圆半径 22 2 ab r ，将此 结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SA SBSC、两两垂直， ,SAa SB b SCc，则四面体SABC的外接球半径R. 31已知抛物线的方程为 2 2(0)ypx p，直线l与抛物线交于A,B 两点， 且 以弦 AB 为 直 径 的 圆M与 抛 物 线 的 准 线 相 切 ， 则 弦AB的 中 点M的 轨 迹 方 程 为；当直线l的倾斜角为 3 时，圆M的半径为 32.若曲线( )yf x上存在三点ABC、 、，使ABBC，则称此曲线有“中位点”，下列 曲 线 ： cosyx； 1 y x ； 32 2yxx； 2 cosy

18、xx； |1|2 |yxx.有“中位点”的有（写出所有满足要求的序号）. 33有如下结论： “圆 222 ryx上一点),( 00 yxP处的切线方程为 2 00 ryyyx” ，类 比 也 有 结 论 ：“ 椭 圆),()0(1 00 2 2 2 2 yxPba b y a x 上一点处 的 切 线 方 程 为 1 2 0 2 0 b yy a xx ” ，过椭圆C： 2 2 1 2 x y的右准线l 上任意一点M 引椭圆 C 的两条切线， 切点为A、B.直线 AB 恒过一定点 34若点O在ABC内，则有结论0 OBCOACOAB SOASOBSOC，把命题类 比推广到空间，若点O在四面体A

19、BCD内，则有结论：_. 35动点 P 与给定的边长为1 的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为A，B，C，D （逆时针方向） ，且 P 点到 A，B，C 的距离分别为 222 ,cbacba若，则点 P 的轨迹 是，P 点到 D 点的最大距离为。 36 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆， 测得近地点A 距离地面)km(m， 远地点 B 距离地面)km(n，地球半径为)km(R，关于这个椭圆有以下四种说法： 焦距长为mn；短轴长为)(RnRm；离心率 Rnm mn e 2 ；若以AB 分数5 4 3 2 1 人数20 10 30 30 10 方向为 x 轴正方向， F 为坐标

20、原点，则与F 对应的准线方程为 )( )( mn RnRm x，其 中正确的序号为_ 37用符号)x表示超过x的最小整数，如1)08.1 ,4)，则 2) _ 对于下列四个命题：若函数Rxxxxf,)(，则值域为( 0 , 1； 如果数列 n a是等差数列，, * Nn那么数列) n a也是等差数列； 若7, 2 3 , 3 2 ,5 , 1 , 3, 2 5 ,0, yx，则方程4)yx有 5组解，已知非零向 ),(),(yxbyxa，则向量a、b 的夹角不可能为直角。 其中，所有真命题的序号是 38.已知：e n n n ) 1 1 (lim，则 nn n n n n36 13 ) 1 2

21、(lim（用 e 表示） 39. 已 知g （ x ） 是 各 项 系 数 均 为 整 数 的 多 项 式 ，12)( 2 xxxf， 且 16111342)( 234 xxxxxgf，则 g（x）的各项系数之和为： 40.设P是一个数集， 且至少含有两个数，若对任意,a bP都有, a ab ab abP b （除 数0b） ，则称 P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域。有下列命题：数域必含有0，1 两个数；整数集是数域；若有理数集QM，则数集M必为数域；数域必为无限 集。其正确的命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上） 寒假培优题 1 参考答案1.D 2. C3.C ；4.A ；5

22、.C;6. D； 7.C；8.C；9. B；10.C；11.A； 12.D； 13.D;14. D； 15.D； 16.D17.B ； 18 f(x) x a等 19.()()AABABB； ()()BABABA；( )()()()ABABABBA； . 20 n n CCC 21 21. (提示：写出下面的分布列，得153.75 元) ； 22. 1，0 23. 2 5 ；24.(0,1/a) ；25.240；26. ；奇； 27. 2a3；28. ； 29. 2 2 x 0 90 210 330 p 1 8 3 8 3 8 1 8 高三培优题 2 参考答案1.C 2.C 3.B 4.B 5

23、.A 6.D 7.B 8.A 9.A 10.-4 11.4 12.101.13. 2 (0, 2 14. 5 15. 60 16.1 17. 22 2 18.-1 19. 54 35 20 1 16 21.1 2 e 22. 3 2 23.)0,(24.) 13 132 , 13 132 (25.11, 2 3 26. 1 2 27.7,16)28. 50 29. 3 30 222 2 abc 31. ) 2 ( 2P xPy 3 4P 32.(1)(3)(5) 33.(1,0) 34.0 OBCDOACDOABDOABC VOAVOBVOCVOD 35. 圆，2236. （1） （3） （4）37. 38. e39. 5 40.