年全国高考文科数学试题及答案四川.pdf

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1、1 / 9 绝密启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷 ) 数学 (文史类 ) 本试卷卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分第1 部分 1 至 2 页，第 二部分3 至 4 页，共 4 页考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试卷卷、草稿纸上 答题无效，满分150 分，考试时间120 分钟考试结束后，将本试卷卷和答题卡一并交 回 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么球是表面积公式 ()()()P ABP AP B 2 4SR 如果事件 A、B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径 ()()()P A BP AP B球的体积公式 如果事件 A 在一次实验中发生的

2、概率是P，那么 34 3 VR n次独立重复实验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径 ( )(1) kkn k nn P kC PP 第一部分（选择题共 60 分） 1选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上 2本大题共12 小题，每小题5分，共 60 分 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目的要求的 1若全集1,2,3, 4, 5M，2, 4N，则 MNe （A）（B） 1,3,5（C） 2, 4 （D） 1,2, 3, 4,5 答案： B 解读： 1,2, 3, 4,5M，则 MNe 1

3、,3,5 ，选 B 2有一个容量为66 的样本，数据的分组及各组的频数如下： 11.5，15.5) 2 15.5，19.5) 4 19.5，23.5) 9 23.5， 27.5) 18 27.5，31.5) 1l 31.5 ，35.5) 12 35.5，39.5) 7 39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5 的数据约占 （A） 2 11 （B） 1 3 （C） 1 2 （D） 2 3 答案： B 解读： 大于或等于31.5 的数据共有12+7+3=22 个，约占 221 663 ，选 B 3圆 22 460xyxy的圆心坐标是 （A）(2，3) （B）( 2，3)

4、 （C）(2， 3)（D）(2， 3) 答案： D 解读： 圆方程化为 22 (2)(3)13xy，圆心 (2， 3)，选 D 2 / 9 4函数 1 ()1 2 x y的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是 答案： A 解读： 1 ()1 2 x y图象过点 (0,2) ，且单调递减，故它关于直线y=x 对称的图象过点 (2,0) 且单调递减，选A 5“ x3”是“ x 29”的 （A）充分而不必要的条件（B）必要而不充分的条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要的条件 答案： A 解读： 若 x3，则 x 2 9，反之，若x 29，则3x，选 A 6 1 l ， 2 l ， 3 l 是

5、空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （A） 12 l l ， 23 ll 13 /ll （B） 12 l l ， 23 /ll 13 ll （C） 233 /lll 1 l ， 2 l ， 3 l 共面（ D） 1 l ， 2 l ， 3 l 共点 1 l ， 2 l ， 3 l 共面 答案： B 解读： 由 12 l l ， 23 /ll ，根据异面直线所成角知 1 l 与 3 l 所成角为90，选 B 7如图，正六边形ABCDEF 中， BACDEF （A）0（B） BE （C） AD （D） CF 答案： D 解读： BACDEFCDDEEFCF ，选 D 8在 ABC 中， 222

6、 sinsinsinsinsinABCBC ，则 A 的取值范围是 （A） (0, 6 （B） , ) 6 （C） (0, 3 （D） ,) 3 答案： C 解读： 由 222 sinsinsinsinsinABCB C 得 222 abcbc ，即 222 1 22 bca bc ， 1 cos 2 A， 0A，故 0 3 A，选 C 9数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，an+1 =3Sn（n 1 ），则 a6= （A）3 44（B）3 44+1 （C）4 4（D）44+1 3 / 9 答案： A 解读： 由an+1 =3Sn，得 an =3Sn1（ n 2），相减得 an+1

7、an =3(SnSn1)=3an，则 an+1=4an（n 2）， a1=1，a2=3，则 a6=a24 4=3 44，选 A 10某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人，有8 辆载重量为10 吨的甲型卡车和7 辆载重 量为 6 吨的乙型卡车某天需运往A地至 少 72 吨的货 物，派用的每辆车需满载且只 运送一次派用的每辆甲型卡车需配2 名工人，运送一次可得利润450 元；派用的每 辆乙型卡车需配1 名工人，运送一次可得利润350 元，该公司合理计划当天派用两类 卡车的车辆数，可得最大利润为 （A）4650 元（ B）4700 元（C）4900 元（ D）5000 元 答案： C 解读： 设

8、派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元）， 450350uxy ，由题意，x、y 满足关系式 12, 219, 10672, 08, 07, xy xy xy x y 作出相应的平面区域， 45035050(97 )uxyxy在由 12, 219 xy xy 确定的交点(7,5) 处取得最大值4900 元，选 C 11在抛物线 2 5(0)yxaxa上取横坐标为 1 4x， 2 2x的两点，过这两点引一条割 线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 22 5536xy相切，则抛物线顶点 的坐标为 （A） ( 2, 9) （B） (0, 5) （C） (2,9) （D）

9、(1, 6) 答案： A 解读： 令抛物线上横坐标为 1 4x、 2 2x的点为( 4,114 )Aa 、(2,21)Ba，则 2 AB ka， 由22yxaa， 故 切 点 为( 1, 4)a， 切 线 方 程 为 (2)60axy， 该 直 线 又 和 圆 相 切 ， 则 2 66 5 (2)1 d a ， 解 得4a或 0a（舍去），则抛物线为 22 45(2)9yxxx，定点坐标为( 2, 9) ，选 A 12 在 集 合 1,2,3,4,5 中 任 取 一 个 偶 数a 和 一 个 奇 数b 构 成 以 原 点 为 起 点 的 向 量 ( , )a b ，从所有得到的以原点为起点的向

10、量中任取两个向量为邻边作平行四边形， 记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积等于2 的平行四边形的个数为m，则 m n （A） 2 15 （B） 1 5 （ C） 4 15 （ D） 1 3 答案： B 解读： 以原点为起点的向量( , )a b 有 (2,1) 、 (2,3) 、 (2,5) 、 (4,1) 、 (4,3) 、 (4,5) 共 6 个，可作平行四边形的个数 2 615nC个， 结合图形进行计算，其中由(2,1) (4,1) 、 (2,1) (4,3) 、 (2,3) (4,5) 确定 的平行四边形面积为2，共有 3 个，则 31 155 m n ，选 B 第二部分（非选择

11、题共 90 分） 4 / 9 注意事项： 1必须使用0.5 毫 M 黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图 题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5 毫 M 黑色墨迹签字笔描清楚，答在试卷卷上无效 2本部分共10 小题，共 90 分 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分. 13 9 (1)x的展开式中 3 x 的系数是 _（用数字作答） 答案： 84 解读： 9 (1)x的展开式中 3 x 的系数是 63 99 84CC 14双曲线 22 1 6436 xy 上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是 _ 答案： 16 答案： 16 解读： 离

12、心率 5 4 e，设 P 到右准线的距离是d，则 45 4d ，则 16 5 d， 则 P 到左准线的距离等于 26416 16 105 15如图，半径为4 的球O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的 表面积与该圆柱的侧面积之差是_ 答案： 32 解 读 ： 如 图 ， 设 球 一 条 半 径 与 圆 柱 相 应 的 母 线 夹 角 为， 圆 柱 侧 面 积 24sin24cosS 32sin2，当 4 时， S 取最大值32，此时球的表面积 与该圆柱的侧面积之差为32 16函数( )f x 的定义域为A，若 12 ,xx A且 12 ()()f xf x时总有 12 xx ，则称( )

13、f x 为单函 数例如，函数( )f x =2x+1( xR )是单函数下列命题： 函数 2 ( )f xx （xR）是单函数； 指数函数( )2x f x（xR）是单函数； 若( )f x 为单函数， 12,xxA且12xx ，则12()()f xf x； 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 其中的真命题是_（写出所有真命题的编号） 答案： 解读： 对于，若 12 ()()f xf x，则 12 xx ，不满足；是单函数；命题实际上 是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题满足条件 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题共

14、l2 分） 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标 准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2 元(不 足 1 小时的部分按1 小时计算 )有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车 一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 1 4 、 1 2 ；两小时以上且不超过三小 5 / 9 时还车的概率分别为 1 2 、 1 4 ；两人租车时间都不会超过四小时 （）分别 求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 元的概率 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用

15、所学知识 和方法解决实际问题的能力 解：（）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则 111 ()1 424 P A， 111 ()1 244 P A 答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 1 4 、 1 4 （）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 元为事件 C，则 1111111111113 ()()()() 4244222442444 P C 答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为 3 4 18（本小题共l2 分） 已知函数 73 ( )sin()cos() 44 f xxx，xR （）求( )f x 的最小正周期和最小值； （ ） 已知 4

16、cos() 5 ， 4 cos() 5 ，0 2 求 证： 2 ()20f 本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公 式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想 （）解读 ： 7733 ( )sincoscos sincos cossinsin 4444 f xxxxx 2sin2 cosxx2sin() 4 x， ( )f x的 最 小 正 周 期2T， 最 小 值 min ( )2f x （）证明 ：由已知得 4 coscossinsin 5 ， 4 coscossinsin 5 两式相加得2coscos0， 0 2 ， cos 0，则

17、2 22 ()24sin20 4 f 19（本小题共l2 分） 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， BAC=90 ，AB=AC=AA1=1，延长 A1C1至点 P， 使 C1PA1C1，连接 AP 交棱 CC1于 D （）求证：PB1平面 BDA1； （）求二面角AA1DB 的平面角的余弦值； 本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本 知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量 知识解决问题的能力 解法一： （）连结AB1与 BA1交于点 O，连结 OD， C1D平面 AA1，A1C1AP， AD=PD，又 AO=B1O， ODPB1，又 OD面 BDA1， PB1

18、面 BDA1， 6 / 9 PB1平面 BDA1 （）过 A 作 AEDA1于点 E，连结 BE BACA，BAAA1，且 AA1AC=A， BA平面 AA1C1C由三垂线定理可知 BEDA1 BEA 为二面角AA1DB 的平面角 在 RtA1C1D 中， 22 1 15 ()1 22 A D， 又 1 115 1 1 222 AA DSAE ， 2 5 5 AE 在 RtBAE 中， 222 53 5 ()1 55 BE， 2 cos 3 AH AHB BH 故二面角 AA1DB 的平面角的余弦值为 2 3 解法二 ： 如图，以A1为原点， A1B1，A1C1，A1A 所在直线分别为 x 轴

19、， y 轴， z 轴建立空间直角 坐标系 A1B1C1A，则 1(0,0,0) A， 1(1,0,0) B， 1(0,1,0) C，(1,0,1)B，(0,2,0)P （）在 PAA1中有 11 1 2 C DAA ，即 1 (0,1, ) 2 D 1(1,0,1)AB ， 1(0,1, )A Dx ，1( 1,2,0)B P 设平面 BA1D 的一个法向量为 1( , , )a b cn， 则 11 11 0, 1 0. 2 A Bac A Dbc n n 令1c，则 1 1 (1, , 1) 2 n 11 1 1( 1)2( 1)00 2 B Pn， PB1平面 BA1D， （）由（）知，

20、平面BA1D 的一个法向量 1 1 (1, 1) 2 n 又 2(1,0,0)n为平面 AA1D 的一个法向量 12 12 12 12 cos, 3 | |3 1 2 nn nn nn 故二面角 AA1DB 的平面角的余弦值为 2 3 20（本小题共12 分） 已知 n a是以 a 为首项， q 为公比的等比数列， n S 为它的前n项和 （）当 1 S 、 3 S 、 4 S 成等差数列时，求q 的值； （）当 m S 、 n S 、 l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k， m k a、 n k a、 lk a也成 等差数列 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析

21、问题、解决问题 的能力 解 ：（）由已 知， 1n naaq，因此1 Sa， 2 3(1)Saqq， 23 4 (1)Saqqq 当 1 S 、 3 S 、 4 S 成等差数列时， 143 2SSS ，可得 32 aqaqaq 化简得 2 10qq解得 15 2 q 7 / 9 （）若1q，则 na的每项naa ，此时mka 、 nka 、 lka 显然成等差数列 若1q，由 m S、 n S、 l S成等差数列可得2 mln SS S， 即 (1 )(1 )2(1 ) 111 mln aqaqaq qqq 整理得 2 mln qqq 因此， 11 ()22 kmln k m klkn kaa

22、aqqqaqa 所以， mk a 、 nk a 、 l k a 也成等差数列 21（本小题共l2 分） 过点C(0， 1)的椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，椭圆与x 轴交于两点 ( ,0)A a、(,0)Aa，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D，并与x 轴交 于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q （I）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （）当点P 异于点 B 时，求证：OP OQ 为定值 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识， 考查平面解读几何的思想方法及推理运算能力 解：（）由已知得 3 1, 2 c b a ，解

23、得2a，所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y 椭圆的右焦点为(3,0) ，此时直线l 的方程为 3 1 3 yx ，代入椭圆方程得 2 78 30xx， 解 得 12 8 3 0, 7 xx， 代入 直 线 l 的 方程 得 12 1 1, 7 yy， 所 以 831 (,) 77 D， 故 22 8 3116 |(0)(1) 777 CD （）当直线l 与x轴垂直时与题意不符 设直线 l 的方程为 1 1(0) 2 ykxkk且代入椭圆方程得 22 (41)80kxkx 解得 12 2 8 0, 41 k xx k ，代入直线l 的方程得 2 12 2 14 1, 41 k yy k ，

24、所以 D 点的坐标为 2 22 814 (,) 41 41 kk kk 又 直 线AC 的 方 程为1 2 x y， 又 直 线BD 的 方程 为 12 (2) 24 k yx k ， 联 立 得 4 , 21. xk yk 因此( 4 ,21)Qkk，又 1 (,0)P k 所以 1 (,0)(4 ,21)4OP OQkk k 故 OP OQ 为定值 22（本小题共l4 分） 已知 函数 21 ( ) 32 f xx，( )h xx （）设函数F(x)18f(x)x2h(x) 2，求 F(x)的单调区间与极值； 8 / 9 （）设 aR ，解关于x 的方程 33 lg(1)2lg()2lg(

25、4) 24 f xh axhx ； （）设 * nN ，证明： 1 ( ) ( ) (1)(2)( ) 6 f n h nhhh n 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结 合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力 解：（） 223 ( )18( ) ( )129(0)F xf xxh xxxx， 2 ( )312Fxx 令( )0Fx，得2x（2x舍去） 当(0,2)x时( )0Fx；当(2,)x时，( )0Fx， 故当0,2)x时，( )F x 为增函数；当2,)x时，( )F x 为减函数 2x为( )F x 的极大值

26、点，且(2)824925F （） 方法一： 原方程可化为 422 33 log (1)log()log(4) 24 f xh axhx ， 即为 4222 log (1)loglog4log 4 ax xaxx x ，且 , 14, xa x 当 14a时， 1xa ，则 1 4 ax x x ，即 2 640xxa， 364(4)2040aa，此时 6204 35 2 a xa ， 1x a ， 此时方程仅有一解35xa 当4a时，14x，由1 4 ax x x ，得 2 640xxa， 364(4)204a a ， 若 45a，则0，方程有两解35xa ； 若5a时，则0 ，方程有一解3x

27、； 若1a或5a，原方程无解 方法二： 原方程可化为 422 log (1)log(4)log()xhxh ax ， 即 222 1 log (1)log4log 2 xxax， 10, 40, 0, (1)(4). x x ax xxax 2 14 , (3)5. x xa ax 当 14a 时，原方程有一解35x a ； 当 45a时，原方程有二解35xa ； 当5a时，原方程有一解3x； 当1a或5a时，原方程无解 （）由已知得(1)(2)( )12hhh nn ， 1431 ( ) ( ) 666 n f n h nn 设数列 n a的前 n 项和为 n S ，且 1 ( ) ( ) 6 n Sf n h n（ * nN ） 9 / 9 从而有 11 1aS，当 2100k时， 1 4341 1 66 kkk kk aSSkk 又 1 (43)(41)1 6 k akkkkk 22 1(43)(41) (1) 6 (43)(41)1 kkkk kkkk 11 0 6 (43) (41)1kkkk 即对任意2k时，有 kak，又因为111a，所以 1212naaan 则(1)(2)( ) n Shhh n ，故原不等式成立