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1、页1 第 2013 浙江省高考压轴卷数学文试题 参考公式： 球的表面积公式 2 4S R棱柱的体积公式ShV 球的体积公式 34 3 V R 其中 S表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 其中R表示球的半径棱台的体积公式 1122 1 () 3 Vh SSSS 棱锥的体积公式 ShV 3 1 其中 1 S ， 2 S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中 S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高h表示棱台的高 如果事件A， B 互斥，那么 ()()()P ABP AP B 选择题部份（共50 分） 一选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要 求
2、的。 1复数 2 2 () i i = A-3 -4i B-3+4i C 3-4i D3+4i 2设集合sin, 3 n Mx xnZ，则满足条件 33 , 22 PM的集合 P 的个数是 A 1 B3 C 4 D 8 3已知一个棱长为2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （） A8 B 20 3 C 17 3 D 14 3 4等比数列 an中， “ 公比 q1” 是“ 数列 an 单调递增 ” 的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5函数 2 1 ( ) x x e f x e 的图象( ) A关于原点对称B关于直线
3、yx 对称 C关于 x 轴对称D关于 y 轴对称 页2 第 6设变量x、y 满足 1, 0, 220, xy xy xy 则目标函数z=2x+y 的最小值为 A6 B4 C 2 D 3 2 7甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数 字记为 b，其中 a，b1 ，2，3，4，5，6，若 ab1 ，就称甲乙 “ 心相近 ” 现任意找两人玩这个游 戏，则他们 “ 心相近 ” 的概率为（） A 1 9 B 2 9 C 7 18 D 4 9 8已知直线lm、,平面、,且lm,给出下列命题 : 若，则 ml；若，则 ml； 若 ml，则；若 ml，则 其
4、中正确命题的个数是（） A1 B2 C3 D4 9若数列 n a的通项公式是() () n ang,则aaaL( ) A15 B 12 CD 10已知直线1sincos:yxl，且lOP于 P ， O 为坐标原点，则点P 的轨迹方程为 ( ) A1 22 yxB1 22 yxC1yxD1yx 非选择题部分（共100 分） 二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分。 11经过点A( 5,2)且在 x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2 倍的直线方 程_ 12.执行右面的框图，若输出结果为 2 1 ，则输入的实数x的值是 _。 13在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，
5、焦点F1，F2 在 x 轴 页3 第 上， 离心率为 2 2 .过 F1的直线 l交 C 于 A， B 两点，且ABF2的周长为 16， 那么 C 的方程为 _ 14.下图是样本容量为200 的频率分布直方图 根据样本的频率分布直方图估计，数据落在2,10)内的概率约为_ 15.已知 223344 22,33,44, 33881515 ，若66 aa tt （a，t 均为正实数） ，则 类比以上等式，可推测a，t 的值， a+t = . 16 P是圆 C： 22 (1)(3)1xy上的一个动点，A(3,1)，则OP OA的最小值为 _ 17若函数f(x)=(2x 2-a2x-a)lgx 的值域
6、为 0,，则 a=_ 三、解答题本大题共5 小题共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本小题满分14 分）已知函数( )sin2 cos (0)fxmxx m的最大值为2. （1）求函数( )f x在0,上的单调递减区间; （2） ABC 中,()()46 sinsin 44 f Af BAB,角 A、B、C 所对的边分别是a、b、c，且 C=60 ， c=3，求 ABC 的面积。 19 （本小题满分14 分）已知数列 n a的前n项和为 n S,且 * 22 () nn SanN,数列 n b满足 1 1b,且 1 2 nn bb. ()求数列 n a、 n b的通项
7、公式 ,并求数列 nn ab的前n项的和 n D; ()设 22* sincos() 22 nnn nn cabnN,求数列 n c的前2n项和 2n T. 第 14 题图 页4 第 20 （本小题满分14 分）如图，在斜三棱柱 111 ABCA BC中，侧面 11 AAB B底面ABC，侧棱 1 AA与底 面ABC成 60 的角， 1 2AA底面ABC是边长为2 的正三角形，其重心为G点，E是线段 1 BC上一 点，且 1 1 3 BEBC （1）求证：GE/侧面 11 AAB B； （2）求平面 1 BGE与底面ABC所成锐二面角的正切值； （3）在直线 AG 上是否存在点T，使得AGTB
8、1 ？若存在，指出点T 的位置；若不存在，说明理由 21 （ 本 小 题 满 分15 分 ） 已 知 函 数 32 ( )(63) x f xxxxt e，tR. 若 函 数( )yf x依 次 在 ,()xa xb xc abc处取到极值。 （1）求t的取值范围； （2）若 2 2acb，求t的值。 第 20 题图 页5 第 22 （本小题满分15 分）设抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点为F，经过点F 的直线与抛物线交于A、B 两点 (1) 若直线 AB 的斜率为2，当焦点为 1 ,0 2 F 时，求OAB的面积； (2) 若 M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、M
9、B的斜率成等差数列 2013 浙江省高考压轴卷数学文试题 题号一二18 19 20 21 22 总分 分数 一、选择题：本大题共有10 小题，每小题5 分，共 50 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题：本大题共有7 小题，每小题4 分，共 28 分 1112 1314 1516 17 三、解答题：本大题共5 小题，共72 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 页6 第 18 请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效 19 页7 第 20 请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效 第 20 题图 页8 第 21 请在各题目的答题区域
10、内作答，超出边框限定区域的答案无效 页9 第 22 请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效 2013 浙江省高考压轴卷数学文答案 1 【答案】 A 【解析】解：因为 2 234 ()34 1 ii i i ，故选 A 页10 第 2 【答案】 C 【解析】： 33 0, 22 M，由 33 , 22 PM得， 0 P，这样的集合P 共有 4 个，故选C 3 【答案】 C 【解析】几何体是正方体截去一个三棱台， 3 11117 2(22)2 3223 V 4. 【答案】 D 【解析】 a11 时,an 递减。 a1b0)， 因为离心率为 2 2 ，所以 2 2 1b 2 a 2，
11、解得 b 2 a 2 1 2，即 a 22b2. 又 ABF 2 的周长为 |AB| |AF2| |BF2| |AF1|BF1|BF2| |AF2| (|AF1| 22，所以|AF2|) (|BF1|BF2|)2a2a 4a， ，所以 4a16，a4，所以 b 椭圆方程为 x 2 16 y 2 8 1. 14.【答案】 0.4 解析(0.020.08) 40.4. 15.【答案】 41 【解析】照此规律：a=6,t=a2-1=35 16 【答案】 2(3-1) 【解析】如图：作PQ OA 于 Q，CDOA 于 D，根据向量数量积的几何意义得 OP OAmin=|OA| |OQ|min=|OA|
12、 |OT|=2 (|OD|-1)=2(3-1) 17 【答案】 1 【解析】显然h(x)= 2x 2-a2x-a，g(x)= lgx 正负号一致，且 h(1)=g(1)=0 ， a=-2或 1 经检验得a= 1 18 【解析】（ 1）由题意，( )f x 的最大值为 2 2m，所以 2 2=2m 而0m，于是2m， ( )2sin() 4 f xx ( )f x 为递减函数，则x 满足 3 2 +2 + 242 kxkkZ， 即 5 2 +2 + 44 kxkkZ 所以( )f x 在0，上的单调递减区间为 4 ， （2）设 ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得 3 2=23 sinsin
13、60 c R C 化简 ()()4 6sinsin 44 f Af BAB ，得 sinsin2 6sinsinABA B 由正弦定理，得22 6R abab，2abab 由余弦定理，得 22 9abab，即 2 390abab 将式代入，得 2 2390abab 页12 第 解得3ab，或 3 2 ab（舍去） 1 sin 2 ABC SabC 3 3 4 19 【解析】()当1n,2 1 a; 当2n时, 11 22 nnnnn aSSaa, 1 2 nn aa, n a是等比数列 ,公比为 2,首项 1 2a, 2 n n a 由 1 2 nn bb,得 n b是等差数列 ,公差为 2
14、又首项1 1 b,21 n bn (21)2n nn abn 1231 123 252(23)2(21)2 nn n Dnn 2 得 2341 21 23252(23)2(21)2 nn n Dnn 得 : 1231 1 2222222(21)2 nn n Dn 1 14(1 2) 22(21) 2 12 n n n 1 2(32 )6 n n, 1 (23)26 n n Dn () 2 (21) n n c n 为偶数 为奇数 n n 321 22237(41) n n Tn 21 222 2 3 n nn 20 【解析】解法1： （ 1）延长 B1E 交 BC 于点 F， 11 B EC
15、FEB，BE= 2 1 EC1， BF= 2 1 B1C1= 2 1 BC， 从而点 F 为 BC 的中点 页13 第 G 为ABC 的重心， A、G、 F三点共线且 1 1 /, 3 1 ABGE FB FE FA FG ， 又 GE侧面 AA1B1B， GE/侧面 AA 1B1B （2）在侧面AA 1B1B 内，过 B1作 B1HAB，垂足为H，侧面AA1B1B底面 ABC ， B1H底面 ABC 又侧棱 AA1与底面 ABC 成 60 的角， AA1=2， B1BH=60 ，BH=1， B1H=.3 在底面 ABC 内，过 H 作 HT AF，垂足为T，连 B1T，由三垂线定理有 B1T
16、AF， 又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF， B1TH 为所求二面角的平面角 AH=AB+BH=3 ， HAT=30 ， HT=AH 2 3 30sin在 RtB1HT 中， 3 32 tan 1 1 HT HB THB ， 从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 3 （3） （2）问中的T 点即为所求， T 在 AG 的延长线上，距离A 点 2 33 处 . 21 【解析】 （1） 23232 ( )(3123)(63)(393) xxx fxxxexxxt exxxte 32 ( )3,39303, , .f xxxxta b c有 个极值点有 个根
17、 322 ( )393,( )3693(1)(3)g xxxxtg xxxxx令 ( )(-,-1),(3,+ )(-1,3)g x 在上递增 ,上递减.( )3824. (3)0 g xt g g(-1)0 有 个零点 , ,( )a b cf x是的三个极值点 3232 393(x-a)(x-b)(x-c)=x()()xxxtabc xabbcac xabc 3 9 3 abc abacbc tabc 3 1(b(-1,3) 2 b或舍 12 3 18 12 3 a bt c 22. 【解析】设抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点为F，经过点F 的直线与抛物线交于A、B 两点 (1)若
18、2p，求线段AF中点 M 的轨迹方程； (2) 若直线 AB 的方向向量为(1,2)n ，当焦点为 1 ,0 2 F 时，求OAB的面积； (3) 若 M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB的斜率成等差数列 解： (1) 2 2yx， 1 2 ( ,0)F，直线 1 2()21 2 yxx，5分 由 2 2 21 yx yx 得， 2 10yy， 2 51 1 21 2 yy k AB7分 页14 第 1 5 d，8分 4 5 2 1 ABdS OAB 9分 (2)显然 直线MA 、MB 、MF的斜率都存在，分别设为 123 k 、k 、k 点A、B、M的坐标为 1122 2 p A(x ,y )、B(x ,y) 、M(-,m) 设直线 AB ： 2 p ykx ，代入抛物线得 222 0 p yyp k ，11 分 所以 2 12 y yp，12分 又 2 11 2ypx， 2 22 2ypx， 因而 2 221 11 1 2222 ypp xyp pp ， 24 222 2122 11 222222 yppppp xyp ppyy 因而 2 2 12 1112 12 2222 11 12 2 22 22 p ym pymyymymm kk pp pp ypp yp xx 14分 而 3 02 22 mm k ppp ，故 123 2kkk