量子力学习题及解答.pdf

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1、1 量子力学习题及解答 第一章量子理论基础 11 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 m与温度 T 成反 比，即 m T=b（常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv vv 1 18 3 3 ，（1） 以及cv，（2） ddv vv ，（3） 有 , 1 18 )( )( 5 kT hc v v e hc c d c d d dv 这里的 的物理意义是黑体内波长介于 与+d之间的辐射能量密度。 本题关注的是取何值时， 取得极大值， 因此， 就得要求对的一阶导数为零， 由此可求得相应的的值，记作

2、m。但要注意的是，还需要验证 对的二阶导数在 m 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m就是要求的，具体如下： 0 1 1 5 1 18 6 kT hc kT hc e kT hc e hc 0 1 1 5 kT hc e kT hc kT hc e kT hc )1 (5 如果令 x= kT hc ，则上述方程为 xe x )1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一 个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这 样则有 xk hc T m 2 把 x 以及三个物理常量代入到上式便知 KmT

3、 m 3 109 .2 这便是维恩位移定律。据此， 我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波 长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv， h P 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ 2 cE e动 ） ，那么 e p E 2 2 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积， 即eV 6 1051.0，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，这样，便

4、有 p h nm m m Ec hc E h e e 71.0 1071.0 31051.02 1024.1 2 2 9 6 6 2 在这里，利用了 meVhc 6 1024.1 以及 eVc e 62 1051. 0 最后，对 Ec hc e 2 2 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒 子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强， 由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动 性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才 能显现。 13

5、氦原子的动能是kTE 2 3 （ k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，氦原子的德布罗意波 长。 解根据 3 eVKk 3 101， 知本题的氦原子的动能为 ,105.1 2 3 2 33 eVKkkTE 显然远远小于 2 c 核 这样，便有 Ec hc 2 2 核 nm m m 37. 0 1037. 0 105 . 1107 .32 1024.1 9 39 6 这里，利用了 eVeVc 962 107 .3109314 核 最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T 的体 系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为 Tkc hc E

6、c hc 22 22 据此可知， 当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明 显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时 就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布 玻色分布或费米公布。 14 利用玻尔索末菲的量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T，玻尔磁子 124 109TJMB ，试计算运能的量子化间隔E， 并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。 解玻尔索末菲的量子化条件为 nhpdq 其中 q 是

7、微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积 一圈， n 是正整数。 （1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为，于是有 2 2 2 1 2 kx p E 这样，便有 ) 2 1 (2 2 kxEp 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来 回，运动了一圈。此外，根据 2 2 1 kxE 可解出 k E x 2 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔索末菲的量子化条件，有 4 x x x x nhdxkxEdxkxE) 2 1 (2)() 2 1 (2 22 nhdxkxEdxkxE x x x x ) 2 1

8、 (2) 2 1 (2 22 h n dxkxE x x 2 ) 2 1 (2 2 为了积分上述方程的左边，作以下变量代换； sin 2 k E x 这样，便有 h n k E dE 2 sin 2 cos2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos2h n d k E E h n d k E 2 cos2 2 2 2 这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分 2 2 2 sin2d k EB 这样，便有 2 2 2 2 2cos2 ,22 d k EBA k Ed k EBA （1） 2 2 2 2 ,cos )2(2cos d k E d k E 这里=2，这样，就有 0sind

9、k EBA（2） 根据式（ 1）和（ 2） ，便有 k EA 这样，便有 h n k E 2 k h n E 2 5 , k nh 其中 2 h h 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的 能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有 Bq R 2 qBRp 这时，玻尔索末菲的量子化条件就为 2 0 )(nhRqBRd nhqBR2 2 nhqBR 2 又因为动能耐 2 2 p E，所以，有 22 )( 2222 RBqqBR E , 22 B nBN q nB qBn 其中， 2 q M B 是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔

10、的，而且 B BME 具体到本题，有 JJE 2324 10910910 根据动能与温度的关系式 kTE 2 3 以及 JeVKk 223 106.1101 可知，当温度T=4K 时， JJE 2222 106.9106.145.1 当温度 T=100K 时， JJE 2022 104.2106 .11005 .1 显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。 15 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实 种转化，光子的波长最大是多少？ 解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正 负电子对的问题，严格来

11、说， 需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过 程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等， 我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到 本题， 两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所 对应的波长也就最长，而且，有 6 2 chvE e 此外，还有 hc pcE 于是，有 2 c hc e 2 c hc e nm m m 3 12 6 6 104 .2 104 .2 1051. 0 1024.1 尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道， 电子 是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒

12、子， 那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变， 产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富， 这样， 也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现 象，新粒子，新物理。 第二章波函数和薛定谔方程 2.1 证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 )r() r () r () r( m2 i e)r (e)r (e) r(e) r( m2 i )( m2 i J e) r ( ) t (f ) r () tr ( * Et i Et i * Et i Et i * Et i ）（

13、）（ ， 可见tJ与 无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikrikr e r e r 1 )2( 1 )1( 21 从所得结果说明 1表示向外传播的球面波，2表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。 解：分量只有和rJJ 21 7 在球坐标中 si nr 1 e r 1 e r r0 r mr k r mr k r r ik rrr ik rrm i re rr e r e rr e rm i m i J ikrikrikrikr 302 022 0 1 * 1 * 111 ) 11 ( 1 ) 11 ( 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 )( 2 ) 1( rJ1与

14、 同向。表示向外传播的球面波。 r mr k r mr k r) r 1 ik r 1 ( r 1 ) r 1 ik r 1 ( r 1 m2 i r)e r 1 ( r e r 1 )e r 1 ( r e r 1 m2 i )( m2 i J)2( 3 0 2 0 22 0 ikrikrikrikr * 2 * 222 可见，rJ 与 2 反向。表示向内(即向原点 ) 传播的球面波。 补充：设 ikx ex)(，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ dxdx* 波函数不能按1)( 2 dxx方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 1 2 表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3

15、 一粒子在一维势场 ax ax x xU ， ， ， 00 0 )( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S方程 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d m 在各区域的具体形式为 8 ：)()()()( 2 0111 2 22 xExxUx dx d m x ：)()( 2 0 22 2 22 xEx dx d m ax ：)()()()( 2 333 2 22 xExxUx dx d m ax 由于 (1)、(3)方程中，由于)(xU，要等式成立，必须 0)( 1 x 0)( 2 x 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程 (2)可

16、变为0)( 2)( 2 22 2 2 x mE dx xd 令 2 22mE k，得 0)( )( 2 2 2 2 2 xk dx xd 其解为kxBkxAxcossin)( 2 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 )0()0( 12 )()( 32 aa 0B 0sin kaA ), 3, 2, 1( 0sin 0 nnka ka A x a n Axsin)( 2 由归一化条件 1)( 2 dxx 得1sin 0 22 a xdx a n A 由mn a b a xdx a n x a m 2 sinsin x a n a x a A si n 2 )( 2 2 2 2

17、2mE k ),3,2, 1( 2 2 2 22 nn ma En 可见 E 是量子化的。 9 对应于 n E的归一化的定态波函数为 axax axxe a n a tx tE i n n , 0 0,sin 2 ),( # 2.4. 证明（ 2.6-14）式中的归一化常数是 a A 1 证： ax axax a n A n ,0 ),(sin （2.6-14） 由归一化，得 aA ax a n n aA aA dxax a nA x A dxax a n A dxax a n Adx a a a a a a a a a a n 2 2 2 22 2 22 2 )(sin 2 )(cos 22

18、 )(cos1 2 1 )(sin1 归一化常数 a A 1 # 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 22 2 1 2 2 )( x xex 22 22 2 3 22 2 11 2 2 4)()( x x ex exxx 22 22 2)( 32 3 1x exx dx xd 令0 )( 1 dx xd ，得 xxx 1 0 由)( 1 x的表达式可知，xx0，时，0)( 1 x。显然不是最大几率的位置。 10 22 22 )251( 4 )22(2)62( 2)( 4422 3 32222 3 2 1 2 x x exx exxxx dx xd 而 0 14 2 )( 3

19、 2 1 2 1 2 e dx xd x 可见 1 x是所求几率最大的位置。# 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，证明粒子的定态波函 数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d 将式中的)( xx以代换，得 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d 利用)()(xUxU，得 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d 比较、式可知，)()(xx 和都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。 由于它们描写的是同一个状态，因此)()(xx 和之间只能相差一个常数c

20、。方程、 可相互进行空间反演)(xx而得其对方，由经xx反演，可得， )()(xcx 由再经xx反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()(xcx 乘，得 )x()x(c)x()x( 2 可见，1 2 c 1c 当1c时，)x()x(，)(x具有偶宇称， 当1c时，)()(xx，)(x具有奇宇称， 当势场满足)()(xUxU时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。# 2.7 一粒子在一维势阱中 ax axU xU ,0 ,0 )( 0 运动，求束缚态( 0 0UE)的能级所满足的方程。 解法一：粒子所满足的S-方程为 11 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d 按

21、势能)(xU的形式分区域的具体形式为 ：)x(E)x(U)x( dx d 2 1101 2 22 ax ：)()( 2 222 22 xEx dx d axa ：)x(E)x(U)x( dx d 2 3303 2 22 xa 整理后，得 ：0 )(2 12 0 1 EU ： . 0 E2 2 2 2 ：0 )(2 3 2 0 3 EU 令 2 2 2 2 02 1 2)(2E k EU k 则 ：0 1 2 11 k ： . 0 2 2 22 k ：0 1 2 13 k 各方程的解为 xkxk 3 222 xkxk 1 11 11 FeEe xkcosDxksinC BeAe 由波函数的有限性

22、，有 0)( 0)( 3 1 E A 有限 有限 因此 xk 3 xk 1 1 1 Fe Be 由波函数的连续性，有 )13(FekaksinDkakcosCk),a()a( )12(FeakcosDaksinC),a()a( )11(aksinDkakcosCkBek),a()a( )10(akcosDaksinCBe),a()a( ak 1222232 ak 2232 2222 ak 121 22 ak 21 1 1 1 1 整理 (10) 、(11) 、(12) 、(13) 式，并合并成方程组，得 12 0FekaDksinkaCkcosk0 0FeaDkcosaCksin0 00Dak

23、sinkaCkcoskBek 00aDkcosaCksinBe ak 12222 ak 22 2222 ak 1 22 ak 1 1 1 1 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解， 必须 0 Bekaksinkakcosk0 eakcosaksin0 0aksinkakcoskek 0akcosaksine ak 12222 ak 22 2222 ak 1 22 ak 1 1 1 1 ak2c o skk2ak2si n)kk(e ak2sinkak2sinkak2coskk2e aksinekakcosaksinek akcosekakcosaksine

24、kek akcosaksinekaksinekk akcosaksinekakcosekke ekaksinkakcosk eakcosaksin 0akcosaksin ek ekaksinkakcosk eakcosaksin 0aksinkakcosk e0 2212 2 1 2 2 ak2 2 2 12 2 2221 ak2 2 2ak 222 ak 1 2 2ak 222 ak 1 ak 1 22 ak2 22 2ak 21 22 ak2 22 2ak 21 ak ak 12222 ak 22 22 ak 1 ak 12222 ak 22 2222 ak 1 1 11 111 11

25、111 1 11 1 11 0 1 2ak e 02cos22sin)( 2212 2 1 2 2 akkkakkk 即 022)( 212 2 1 2 2 kkaktgkk为所求束缚态能级所满足的方程。# 解法二：接（ 13）式 aksinD k k akcosC k k akcosDaksinC 2 1 2 2 1 2 22 aksinD k k akcosC k k akcosDaksinC 2 1 2 2 1 2 22 13 02cosk22sin)( 02cos 2 2sin)1( 0cossincossincossin 0)cossin)(sincos( 0)cossin)(sin

26、cos( )cossin)(sincos( 0 )cossin(sincos cossinsincos 2212 2 1 2 2 2 1 2 22 1 2 2 222 2 1 2 2 2 1 2 22 2 1 2 2 22 1 2 22 1 2 22 1 2 22 1 2 22 1 2 22 1 2 22 1 2 22 1 2 22 1 2 22 1 2 akkakkk ak k k ak k k akakak k k ak k k akak k k akak k k akak k k akak k k akak k k akak k k akak k k akak k k akak k k

27、akak k k akak k k # 解法三： (11)-(13) )(sin2 1 122 FBekakDk ak (10)+(12) )FB(eakcosD2 ak 2 1 )a(katgkk )12()10( )13()11( 122 (11)+(13) aik eBFkakCk 1 )(cos2 122 (12)-(10) aik 2 1 e)BF(aksinC2 令，akak 22 则 )d(ctg )c(tg 或 )f ( aU2 )kk( 2 2 02 2 2 1 22 合并)b()a(、： 2 1 2 2 21 2 2 2 kk kk aktg利用 aktg1 atgk2 a

28、k2tg 2 2 2 2 # 解法四：（最简方法 - 平移坐标轴法） ： 1101 2 2 EU （0） ： 22 2 2 E （02a） kactgkk )10()12( )13()11( 122 14 ： 3303 2 2 EU （2a） 0 )(2 0 2 0 )(2 3 2 0 3 2 2 2 1 2 0 1 EU E EU (3)0k E2k(2)0k )EU(2k(1)0k 3 2 13 22 22 2 22 2 0 2 11 2 11 束缚态0E 0 U xkxk xkxk FeEe xkDxkC BeAe 11 11 3 222 1 cossin 0)( 0)( 3 1 E B

29、 有限 有限 因此 xk xk Fe Ae 1 1 3 1 由波函数的连续性，有 )7(Feak2cosDak2sinC),a2()a2( )6(Fekak2sinDkak2cosCk),a2()a2( )5(CkAk),0()0( )4(DA),0()0( ak2 2232 ak2 1222232 2121 21 1 1 (7) 代入 (6) akD k k akC k k akDakC 2 1 2 2 1 2 22 2sin2cos2cos2sin 利用 (4) 、(5) ，得 0ak2coskk2ak2sin)kk( )kk( 0ak2cos2ak2sin) k k k k ( 0A 0

30、ak2cos2ak2sin) k k k k (A ak2sinD k k ak2cosAak2cosAak2sinA k k 2212 2 1 2 2 21 22 1 2 2 1 22 1 2 2 1 2 1 2 222 2 1 即得两边乘上 # 15 2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 ， ， ， ， , 0 , 0, 0, )( 1 0 xb bxaU axU x xU 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态 S-方程为 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d 对各区域的具体形式为 ：)0()( 2 111 2 xE

31、xU ：)0( 2 2202 2 axEU ：)( 2 3313 2 bxaEU ：)(0 2 44 2 xbE 对于区域，)(xU，粒子不可能到达此区域，故 0)( 1 x 而 . 0 )(2 2 2 0 2 EU 0 )(2 3 2 1 3 EU 0 2 424 E 对于束缚态来说，有0EU 0 2 2 12 k 2 02 1 )(2EU k 0 3 2 33 k 2 12 3 )(2EU k 0 4 2 44 k 22 4 /2 Ek 各方程的解分别为 xkxk xkxk FeEe xkDxkC BeAe 33 11 4 223 2 cossin 由波函数的有限性，得 0)( 4 E有限

32、， xk Fe 3 4 由波函数及其一阶导数的连续，得 16 AB)0()0( 21 )( 33 2 xkxk eeA akDakCeeAaa xkxk 2232 c o ssi n)()()( 33 akDkakCkeeAkaa akak 2222133 sincos)()()( 33 bk FebkDbkCbb 3 2243 cossin)()( bk eFkbkDkbkCkbb 3 3222243 cossin)()( 由、，得 akDakC akDakC ee ee k k akak akak 22 22 2 1 cossin coscos 11 11 (11) 由 、得DbkkCbk

33、kDbkkCbkk)cos()sin()sin()cos( 23232222 0)sincos()sincos( 22 3 2 22 3 2 Dbkbk k k Cbkbk k k (12) 令 2 1 11 11 k k ee ee akak akak ，则式变为 0)sincos()cossin( 2222 DakakCakak 联立 (12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 0 )si nco s()co ss i n( )co ssi n()s i nco s( 2222 22 3 2 22 3 2 akakakak bkbk k k bkbk k k )()1()( 0)1)(

34、cos)(sin 0coscossincos )cossinsinsinsinsin cossinsinsincoscos 0)cossin( )cossin()sincos)(sincos( 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2222 22 3 2 22 3 2 22 2222 3 2 22 3 2 22 3 2 2222 3 2 22 k k k k abtgk k k abk k k abk akbkakbk akbk k k akbk k k akbk akbkakbk k k akbk k k bkbk k k akakbkbk k k akak即 把代入即得 )()1()

35、( 11 11 11 11 2 1 3 2 3 2 2akak akak akak akak ee ee k k k k ee ee k k abtgk 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 # 附：从方程之后也可以直接用行列式求解。见附页。 17 ） ） （ ） （ bkakekbkakekbk akekbkakekkeek bkakekbkakekkbk akekbkakekkee ekbkkbkk ebkbk akak eek ekbkkbkk ebkbk akkakk ee ekbkkbkk ebkbk akkakkkee akakee bkbk bkbkbkbk akak akak

36、akak ak akakak ak akakak ak ak akak akak 2222232 2222321 22 2 222322 2 2 22232 32222 22 22 1 32222 22 2222 32222 22 22222 22 sinsinsincoscos coscossin)( sincossinsincos sincoscos)( sincos cossin 0cossin )( sincos cossin 0sincos )(0 0 sincos0 cossin0 0sincos)( 0cossin)( 33 3311 33 3311 3 311 3 311 3

37、3 11 11 0 )(sin)()(cos)( )(sin)()(cos)( )(cos)(sin)( )(sin)(cos)( 31 31 3 11 311 231 2 22231 231 2 22231 221231 2 2 2232 bkak bkak bkakak bkakak eabkkkkabkkkke eabkkkkabkkkke eabkkkabkkkee eabkkabkkkee 0)( )()()()( 0)()()( )()()( 231 2 231231 2 2 2 31 2 2 231 2 2231 231 2 2231 11 3 3 kkk ekkkabtgkkk

38、kekkk eabtgkkkkkkk eabtgkkkkkkk akak bk bk 此即为所求方程。# 补充练习题一 1、设)()( 22 2 1 为常数 x Aex，求 A = ？ 解：由归一化条件，有 )x(de 1 A)x(deA1 2222 x2x2 1 Adye 1 A 2y2 2 利用dye 2 y A# 2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。 解：基态能量为 2 1 0 E 18 设基态的经典界限的位置为a，则有 2 1 2 122 0 aE 0 a 1 a 在界限外发现振子的几率为 ) t 2 1 ydte 2 1 2 2 2 dyedye 2 dye 2 )x(

39、de 2 )(dxe 2 2 2/t 1 yy 1 y a )x( a x 2 22 2 0 2 0 22 （令 偶函数性质 式中 2 2/ 2 2 1 dte t 为正态分布函数 x t dtex 2/ 2 2 1 )( 当)2(2时的值x。查表得92.0)2( 92.016.0)92.01 (2 在经典极限外发现振子的几率为0.16。# 3、试证明)x3x2(e 3 )x( 33 x 2 1 22 是线性谐振子的波函数，并求此波函数对 应的能量。 证：线性谐振子的S-方程为 )()( 2 1 )( 2 22 22 xExxx dx d 把)(x代入上式，有 )3x9x2(e 3 e)3x6

40、()x3x2(x 3 )x3x2(e 3 dx d )x( dx d 2345 x 2 1 x 2 1 23332 33 x 2 1 22 22 22 )3x9x2(e 3 dx d dx )x(d2345 x 2 1 2 2 22 )( 22 0 22 0 22 0 x a x a x edxedxe 19 )x18x8(e)3x9x2(xe 3 335 x 2 1 2345 x 2 1 2 2222 )x()7x( )x3x2(e 3 )7x( 224 33 x 2 1 224 22 把)( 2 2 x dx d 代入式左边，得 )( )( 2 7 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 7

41、 )( 2 1 )( 2 )( 2 7 )( 2 1 )( 2 )( 2 7 )( 2 1)( 2 2222 2224 22 2224 22 2 22 2 22 xE x xxxxx xxxxx xxxxx xx dx xd 右边 ）（ 左边 当 2 7 E时，左边= 右边。n = 3 )32( 3 )( 33 2 1 22 xxe dx d x x ， 是线性谐振子的波函数，其对应的能量 为 2 7 。 第三章量子力学中的力学量 3.1 一维谐振子处在基态 t ix ex 22 22 )( ，求： (1)势能的平均值 22 2 1 xU； (2)动能的平均值 2 2 p T； (3)动量的几

42、率分布函数。 解： (1) dxexxU x2 2 2222 2 1 2 1 2 2 2 22 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 1 20 0 1 2 2 )12(531 2 aa n dxex nn axn (2) dxxpx p T)( ? )( 2 1 2 2* 2 dxe dx d e xx 2222 2 1 2 2 2 2 1 )( 2 1 dxex x2 2 )1 ( 2 222 2 2 2222 222 2 dxexdxe xx 2 2 3 22 2 4422 2 2 2 2 2 4 1 或 4 1 4 1 2 1 UET (3) dxxxpc p )()()(

43、 * 2 1 22 2 1 dxee Px i x dxee Px i x2 2 2 1 2 1 dxe pip x 22 2 2 2 2 2 )( 2 1 2 1 dxee ip x p 2 2 2 22 2 )( 2 1 2 2 1 2 2 1 22 2 2 p e 22 2 2 1 p e 动量几率分布函数为 22 2 1 )()( 2 p epcp # 3.2.氢原子处在基态 0 / 3 0 1 ),( ar e a r，求： (1)r 的平均值； (2)势能 r e 2 的平均值； 21 (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解： (1)drddrre

44、 a drrr ar sin 1 ),( 0 2 2 00 /2 3 0 2 0 0 /23 3 0 0 4 drar a ar 0 1 ! n axn a n dxex 0 4 0 3 0 2 3 2 ! 34 a a a 0 2 2 0 3 0 2 0 /2 3 0 2 0 2 00 /2 3 0 2 0 2 00 2/2 3 0 22 2 14 4 si n si n 1 )()2( 0 0 0 a e a a e drre a e ddrdre a e ddrdre ra e r e U ar ar ar (3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 0 2 0 22 sin),()(

45、ddrdrrdrrdrre a ar2/2 3 0 0 4 2/2 3 0 0 4 )(re a r ar 0 /2 0 3 0 ) 2 2( 4)(ar rer aadr rd 令 0321 ,00 )( arrr dr rd ， 当0)(,0 21 rrr时，为几率最小位置 0 /22 2 00 3 0 2 2 ) 48 2( 4)(ar er a r aadr rd 0 8)(2 3 0 2 2 0 e adr rd ar 0 ar是最可几半径。 (4) 2 2 2 2 ? 2 1 ? pT 22 2 2 2 sin 1 )(sin sin 1 )( 1 r r rr 22 0 2 00

46、 2/2/ 3 0 2 sin)( 1 2 00 ddrdree a T arar 0 2 00 2/2 2 / 3 0 2 sin)( 11 2 00 ddrdre dr d r dr d r e a arar 0 / 0 2 0 3 0 2 )2( 1 ( 2 4 0 dre a r r aa ar 2 0 22 0 2 0 4 0 2 2 ) 44 2( 2 4 a aa a (5) drrpc p ),()()( * 2 00 cos 0 2/ 3 0 2/3 sin 1 )2( 1 )( 0 ddedrre a pc pr i ar 0 cos 0 /2 3 0 2/3 )cos(

47、)2( 2 0 dedrer a pr i ar 0 0 cos /2 3 0 2/3 0 )2( 2 pr i ar e ipr drer a 0 / 3 0 2/3 )( )2( 2 0 dreere ip a pr i pr i ar 0 1 ! n axn a n dxex ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )2( 2 2 0 2 0 3 0 2/3 p i a p i a ip a 2 2 2 2 0 0 33 0 ) 1 ( 4 2 1 p a a ip ipa 2222 0 44 0 0 33 0 )( 2 4 pa a aa 2222 0 2/3 0 )( )2( pa a 动量

48、几率分布函数 422 0 2 53 0 2 )( 8 )()( pa a pcp # 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0 eer JJ 2 sin mne r me J 证：电子的电流密度为 23 )( 2 * mnmnmnmne i eJeJ 在球极坐标中为 sin 11 r ee rr er 式中 eeer、 为单位矢量 ) si n 11 ( ) si n 11 ( 2 * * mnrmn mnrmne r ee rr e r ee rr e i eJeJ ) sin 1 sin 1 () 1 1 ()( 2 * * mnmnmnmnmnmn mnmnm

49、nmnmnmnr rr e r r e rr e ie mn 中的r和部分是实数。 eimim r ie J mnmne )( sin2 22 e r me mn 2 sin 可见，0 eer JJ 2 sin mne r me J # 3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为 )( 2 )( 2 CGS c me SI me MM z 原子磁矩与角动量之比为 )( 2 )( 2 CGS c e SI e L M z z 这个比值称为回转磁比率。 解： (1) 一圆周电流的磁矩为 AdSJiAdM e （i 为圆周电流，A为圆周所围面积） 2 2 )sin( sin rdS r me mn dSr me mn 2 si