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1、- 1 - / 5 圆章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点
2、的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内dr点C在圆内； 2、点在圆上dr点B在圆上； 3、点在圆外 dr 点 A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离dr无交点； 2、直线与圆相切dr有一个交点； 3、直线与圆相交dr有两个交点； d r d=r r d 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1）无交点dRr； 外切（图 2）有一个交点dRr； 相交（图 3）有两个交点RrdRr； 内切（图 4）有一个交点 dRr ； 内含（图 5）无交点dRr； 图1 r R d 图3 rR d r d d C B A O 图2 r R d
3、- 2 - / 5 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即： AB是直径AB CD CE DE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出其他3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在 O中，ABCD 弧AC弧BD 六、圆心角定理 圆心
4、角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距 相等。此定理也称1 推 3 定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论， 即：AOBDOE；ABDE； OCOF； 弧BA弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等 的圆周角所对的弧是等弧； 即：在O中，C、 D都是所对的圆周角 CD 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的
5、弦是直 径。 即：在O中，AB是直径或90C 90CAB是直径 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在ABC中，OCOAOB ABC是直角三角形或90C 图4 r R d 图 5 r R d O E D C B A O C D A B F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O - 3 - / 5 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在O中， 四边形ABCD是
6、内接四边形 180CBAD180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即： MNOA且MN 过半径OA外端 MN是O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。 即
7、： PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 十一、圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在O中，弦AB、CD相交于点 P， PA PBPC PD （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项。 即：在O中，直径ABCD， 2 CEAE BE （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线 长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在O中，PA是切线， PB是割线 2 PAPC PB （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在O中
8、，PB、PE是割线 PC PBPD PE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 E D C B A NM A O P B A O P O D C B A OE D C B A D E C B P A O B A O1 O2 - 4 - / 5 如图： 12 OO垂直平分AB。 即： 1 O 、 2 O 相交于 A、B两点 12 OO垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长： 12 RtO O C中， 2222 1122 ABCOOOCO； （2）外公切线长： 2 CO是半径之差；内公切线长： 2 CO是半径之和。 十
9、四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在 O 中 ABC 是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在 Rt BOD 中 进 行 ： :1 :3 : 2O DB DO B； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在 Rt OAE中进行，:1:1:2OEAE OA ： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行， :1:3: 2AB OB OA . 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（ 1）弧长公式： 180 n R l； （2）扇形面积公式： 2 1 3602 n R SlR n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长S：扇形面积 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 2SSS 侧表底 = 2 22rhr （2）圆柱的体积： 2 Vr h （2）圆锥侧面展开图 （1）S SS 侧表底 = 2 Rrr D C B A O E CB AD O B A O Sl B A O 母线长 底面圆周长 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O C O2 O1 B A - 5 - / 5 （2）圆锥的体积： 2 1 3 Vr h