初一数学竞赛系列讲座.pdf

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1、1 / 13 初一数学竞赛系列讲座 应用题 解应用题的一般步骤是： (1 弄清题意和题目中的数量关系，(2 用字母表示题目中的一个未知数； (3 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (4 根据这个相等关系列出方程； (5 解这个方程， (6 求出未知数的值； (7 写出答案 ( 包括单位名 (8 称. 3、行程类问题 行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系. 它们满足如下基本关系式： 速度时间=路程 4、数字类问题 数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程. 解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x，则 相邻两数分别为 x-1、x+1；连续

2、奇 ( 偶数，一般设中间数为 x，则相邻两数分别 为x-2 、x+2.p1EanqFDPw 例题精讲 例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路. 一辆汽车上坡时每 小时行驶 20千M ，下坡时每小时行驶 35千M ，. 车从甲地开往乙地需 9小时，乙地 开往甲地需小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千M ？从甲地到乙地须行 驶多少千 M 的上坡路？ (第五届华杯赛复赛题 DXDiTa9E3d 分析 本题用方程来解简单自然 . 解 设从甲地到乙地的上坡路为x千M ，下坡路为 y千M ，根据题意得方程组 解这个方程组有很多种方法. 例如代入消元法、加减消元法等. 由于方程组系数 比较特

3、殊 (第一个方程中 x的系数恰好是第二个方程中 y的系数，而 y的系数 2 / 13 也恰好是第二个方程中 x的系数 ，也可以采用如下的解法：RTCrpUDGiT (1+(2 得 (x+y( +=9+ 所以 x+y= (3 (1-(2 得 (x - y( -=9- 所以 x-y= (4 由(3、(4得 x= 所以甲、乙两地间的公路长210千M ，从甲地到乙地须行驶 140千M 的上坡路 . 例2 公共汽车每隔 x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟 开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面开来一辆公共汽车. 如果公共汽车与 小宏行进的速度都是均匀的，则x等于分钟 .( 第六届迎春杯初

4、赛试卷 5PCzVD7HxA 分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况. 若设汽车速度为 aM/每 秒，小宏速度为 bM/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面 axM 处，它用 6分钟追上小宏 . 另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车 在小宏前面 axM 处，它经过分钟与小宏相遇 . 由此可列出两个方程 .jLBHrnAILg 解：设汽车速度为 aM/每秒，小宏速度为 bM/每秒，根据题意得 两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得 x=5 3 / 13 评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而 追及问题就是同向运动 . 解这类问

5、题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮 助我们直观、形象地理解题意.xHAQX74J0X 例3 摄制组从 A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千M 到C 市吃午饭 . 由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽 车赶了 400千M ，傍晚才停下来休息 . 司机说，再走从 C 市到这里路程的二分之一 就到达目的地了 . 问A、B两市相距多少千 M ？( 第五届华杯赛决赛试卷 LDAYtRyKfE 分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之 间的关系 . 解：如图，设小镇为 D，傍晚 汽车在 E 休息 A D C E B 由已知，

6、AD是AC 的三分之一，也就是 AD =DC 又由已知， EB=CE 两式相加得： AD+ EB= DE 因为DE=400 千M ，所以 AD+ EB= 400=200千M ， 从而A、B两市相距 400+200=600 千M 评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考. 例4 有编号为、的 3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千M ， 且满足 v1 v2 v3 v 0 ，其中 v为河流的水流速度 . 它们在河流上进行追逐赛， 规则如下： Zzz6ZB2Ltk (1 3 条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺 流而下； (2 经过1小时，、号赛艇

7、同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军. 在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为 解：经过 1小时，、号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为： S i=(vi-v 1+v 1= v i 1(i=1 、2、3 第i 号赛艇追上浮标的时间为：( 小时 由此可见，掉头后各走 1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军 . 评注：顺流速度 =静水速度 +水流速度；逆流速度 =静水速度 -水流速度 . 例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动. 已知甲于第 10秒钟时追 上乙，在第 30秒时追上丙，第 60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上 4 / 13 丙，问乙追上丙用了多

8、少时间？(第11届希望杯竞赛培训题 dvzfvkwMI1 解：设甲的运动速度是乙的运动速度是，丙的运动速度是设环形 轨道长为 L. 甲比乙多运动一圈用时 50秒，故有rqyn14ZNXI 甲比丙多运动一圈用时 40秒，故有 可得到 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离甲、丙之间距离甲、乙之间距 离 +10 x+3 x=926 答：这个三位数是 926 评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来. 例7 两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这 两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间 5 / 13 点一个小数点所成的数的

9、6倍，求这两个数 .SixE2yXPq5 解：设大数为 x，则小数为 999-x ，由题意得 解这个方程得： x=857, 999-x=142 答：大数为 857，小数为 142. 例8 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为，过了 1小时 里程碑上的数字为，又行驶了 1小时里程碑上的数字为，求每次看到的 数字和卡车的速度 .6ewMyirQFL 分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程 . 解：依题意得：-=-，即+=2， 所以 (10A+B+(100A+B=2(10B+A ，整理得 6A=B 因为A、B取1到9的自然数，所以只有 A=1，B=6 故3次看到的数字分别是

10、 16，61，106，卡车的速度为 45千M/时. 评注：本题得到的是一个不定方程，通过A、B是1到9的自然数来求出 A、B. 例9 在黑板上从 1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平 均值为，试问擦去的数是什么数？kavU42VRUs 分析：设出擦去的数，用平均值为来估计出写出的自然数，从而求出擦去 的数. 解：设写出了 n个自然数 1，2， n中擦去的是 k，则由题意得： 即 因为n是自然数，且 n-1必须是 17的倍数，所以 n=69 6 / 13 于是由，可解得 k=7，即擦去的数为 7. 评注：本题运用了放缩原理来得出n的范围，从而确定自然数 n的值，放缩法是 数学

11、竞赛中常用的方法 . 巩固练习 选择题 1、甲、乙二人从 M 地同时出发去 N 地，甲用一半的时间以每小时a千M 的速度行 走，另一半的时间以每小时b千M 的速度行走；乙以每小时 a千M 的速度行走一半 的路程，另一半路程以每小时b千M 的速度行走 . 若ab，则( 先到达 N 地.y6v3ALoS89 A、甲 B、乙 C、二人同时到达 D、不确定 2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千M ，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水 航行2小时，又用 3小时返回出发地，求该团所走的航程是( M2ub6vSTnP A、24千M B、12千M C 、48千M D 、40千M 3、某人从 A地步行到 B地，当

12、走到预定时间时，离B地还有 0.5 千M ；若把步行速 度提高 25% ，则可比预定时间早半小时到达B地. 已知AB 两地相距 12.5 千M ，则某 人原来步行的速度是 ( 0YujCfmUCw A、2千M/时 B、4千M/时 C、5千M/时 D、6千M/时 4、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的 数对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是 ( eUts8ZQVRd A、43 B、34 C、25 D、52 5、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除 时，所得的商的最小值是( A、1.5 B 、1.9 C 、3.25

13、D 、4.375 6、一个插入一个一位数 ( 包括0，就变成一个三位数，如：72中间插入 6后变成 了762.有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的9倍， 这样的两位数有 ( (第六届祖冲之杯数学邀请赛试卷sQsAEJkW5T A、1个 B、4个 C、10个 D、超过 10个 填空题 7、早晨 8点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去. 两辆汽车的速度 都是每小时 60千M ，8点32分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的3倍. 到了8点39分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2倍. 则第一辆车是 8 点分离开化肥厂的 .GMsIasNXkA 8、甲、乙两

14、个同学从 A地到B地，甲步行的速度为每小时3千M ，乙步行的速度为 每小时 5千M ，两人骑自行车的速度都是每小时15千M.现在甲先步行，乙先骑自 行车，两人同时出发 . 走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自 7 / 13 行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B地. 甲走全程的平均速度是千M/ 小时.( 第六届迎春杯初赛试卷 TIrRGchYzg 9、一船从重庆到上海要 5昼夜，而从上海到重庆要 7昼夜，那么有一木排从重庆 顺流漂到上海要昼夜 10、一个六位数的4倍是，则这个六位数是 11、有四个正整数，其中任三个数的算术平均数与第四个数的和，分别等于 29、23、21、19

15、，则这四个数中最大的一个是 7EqZcWLZNX 12、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍，则这样的两位自 然数的个数是 解答题 13、一列客车的速度是 60千M/时，一列货车的速度是 45千M/时，货车比客车长 135M ，如果两车在平行的轨道上同向行驶，客车从后面赶上货车，它们交叉的 时间是 1分30秒，求各车的长度；如果这两车在平行的轨道上相向行驶，它们交 叉时需要多少时间？ lzq7IGf02E 14、甲、乙两人在一条长 400M 的环形跑道上跑步，若同向跑步每隔分钟相遇 一次，若反向跑步则每隔40秒相遇一次，求甲、乙两人的速度(甲比乙跑得 快.zvpgeqJ1hk 1

16、5、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行 9 小时，恰好到达乙地 . 如果他从甲地先骑自行车行21小时，再换骑摩托车行 8小 时，恰好也到达乙地 . 问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？( 第四届华杯赛 初赛试卷 NrpoJac3v1 16、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车 人. 这三辆车分别用 6分钟、 10分钟、 12分钟追上骑车人 . 现在知道快车每小时走 24千M ，中车每小时走 20千M ，问慢车每小时走多少千 M ？( 第一届华杯赛决赛试 卷1nowfTG4KI 17、有一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，并且这

17、个两位数除以十 位上的数字与个位上的数字的差，所得的商为11，余数为 5，求这个两位 数.fjnFLDa5Zo 18、一个十位数字为 0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位 与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好又是它的数字和的m 倍, 求m 的 值.tfnNhnE6e5 19、一个两位数的十位数字小于个位数字，当数字交换位置后所得的新的两位 数与原数之和大于 70而小于 90，求这样的两位数 .HbmVN777sL 20、今有一个三位数，其各位数字均不相同，如将此三位数的各位数字重新排 列，必得一个最大数和一个最小数，且此两数之差恰为原来的那个三位数，求 原来的三位数 .V7

18、l4jRB8Hs mZkklkzaaP 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方 M ，管涌每分钟涌出的水量为b立方 M ， 又设每台抽水机每分钟可抽水c立方 M ，由条件可得：AVktR43bpw 解得 如果要在 10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为： 评注：本题设了三个未知数a、b、 c，但只列出两个方程. 实质上 c是个辅助未知数， 在 解 方 程 时 把 c视 为 常 数 ， 解 出 a， b(用 c表 示 出 来 ， 然 后 再 代 入 求 出 所 要 求 的 结 果.ORjBnOwcEd 例2 甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程 . B工程的工作量比A工程的工作量多25%

19、， 甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、 24天、 30天. 为了共同完成这两项 工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程 . 问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试卷2MiJTy0dTT 解：设乙、丙二队合作了x天，丙队与甲队合作了y天. 将工程 A视为 1，则工程 B可视 为1+25%=5/4 ，由题意得：gIiSpiue7A ，由此可解得 x=15 答：乙、丙二队合作了15天 评注：在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1. 例3 牧场上的草长得一样地密，一样地快. 70已知 70头牛在 24

20、天里把草吃完，而30头 9 / 13 牛就可吃 60天. 如果要吃 96天，问牛数该是多少？uEh0U1Yfmh 解：设牧场上原来的草的问题是1，每天长出来的草是x，则 24天共有草 1+24x，60天 共有草 1+60x，所以每头牛每天吃IAg9qLsgBX 去分母得 : 30(1+24x=28(1+60x 960x=2 x=( 头 96天吃完，牛应当是 例4 某生产小组展开劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样 8个人一天做的零件超过了 200只. 后来改进技术，每人一天又多做27个零件 . 这样他们 4个人一天所做的零件就超过劳 动竞赛中 8个人做的零件. 问他们改进技术后的生产效率是

21、劳动竞赛前的几倍？WwghWvVhPE 解：设劳动竞赛前每人一天做x个零件，由题意得 解得 15163.3 故改进技术后的生产效率约是劳动竞赛前的3.3倍. 评注：本题所列的是不等式组，不能列成方程. 例5 某中学实验室需要含碘2%的碘酒，现有含碘15%的碘酒 350克，问应加纯酒精多少克？ 分析：配比前后碘的含量相同. 解：设稀释时需加纯酒精x克，则稀释后有碘酒(350+x克，由题意得： (350+x 2%=350 15% 解之得 x=2275 答：应加纯酒精2275克. 评注：浓度配比问题的相等关系一般是配比前后未发生改变的量，或溶质量不变，或溶剂 量不变 . 所列方程的一般形式是各分量=

22、总量 .asfpsfpi4k 例6在浓度为 x%的盐水中加入一定重量的水，则变成浓度为20%的新溶液，在此新溶液中 再加入与前次所加入的水重量相等的盐，溶液浓度变成30%，求 xooeyYZTjj1 解：设浓度为 x%的盐水为 a千克，加水 b千克，则由题意得 由(2得 8 (a+b=7 (a+2b 即a=6b代入 (1得 6bx=140b 答： x为 例7 从两个重量分别为7千克和 3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块， 把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切 10 / 13 下的合金的重量是多少？BkeGuInkxI 解：设重量为 7千

23、克的合金的含铜百分数为x，重量为 3千克的合金的含铜百分数为y， 切下的合金的重量是z千克，由题意得： (21-10z x=(21-10z y (21-10z (x-y=0 xy 21-10z=0 z=2.1 答：所切下的合金的重量是2.1千克 . 例8 甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水. 若从甲、乙、丙中各取出重量相等的 盐水，将它们混合后就成为含盐10%的盐水；若从甲和乙中按重量之比为2：3来取，混合 后就成为含盐7%的盐水；若从乙和丙中按重量之比为3：2来取，混合后就成为含盐9%的 盐水 . 求甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数.PgdO0sRlMo 分析：题设中有三种混合方

24、式，但每种混合方式从各个容器中取出的盐水的重量都是未知 的，我们可以引进辅助未知数，将这些量分别用字母表示.3cdXwckm15 解：设甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为x%、 y%、z% 第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出a克盐水，则有 a x%+ a y%+ a z%=3a 10% 从甲和乙中按重量之比为2：3来取盐水时，设从甲中取盐水2m克，从乙中取盐水3m 克，则有 2m x%+ 3m y%=(2m +3m7%h8c52WOngM 从乙和丙中按重量之比为3： 2来取盐水时，设从乙中取盐水3n克，从丙中取盐水2n 克，则有 3n y%+ 2n z%=(3n+2n 9%v4bd

25、yGious 将上面三式消去辅助未知数得： 答：甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为10%、5%、15% 评注：本题中我们假设的未知数a、m、n不是题目所要求的，而是为了便于列方程而 设的，这种设元方法叫做辅助未知数法，辅助未知数在求解过程中将被消去.J0bm4qMpJ9 例9组装甲、乙、丙3种产品，需用A、B、C3种零件 . 每件甲需用 A、B各2个；每件乙需 用B、 C各1个；每件丙需用2个A和 1个 C. 用库存的 A、 B、 C3种零件，如组装成p件甲产 品、 q件乙产品、r件丙产品，则剩下2个A和1个 B， C恰好用完 . 求证：无论怎样改变生产 甲、乙、丙的件数，也不能把库存

26、的A、 B、C3种零件都恰好用完.+(3-(2 得： 3z=3r+1 它的左边是3的倍数，而右边却是3的倍数加 1，矛盾，不成 立，所以不能把库存的A、B、C3种零件都恰好用完.bR9C6TJscw 评注：本题列出方程组后，没有解出x、y、z，而导出矛盾，而是巧妙地通过方程的加减得 11 / 13 出矛盾式 3z=3r+1，从而得出结论.所以有些数学问题应从整体上来把握解法.pN9LBDdtrd 3巩固练习 选择题 1、有酒精 a升和水 b升，将它们混合后取出x升，这 x升混合液中含水( 升 A、 B、 C、 D、 2、一件工作，甲、乙、丙合作需7天半完成；甲、丙、戊合作需5天完成；甲、丙、丁

27、 合作需 6天完成；乙、丁、戊合作需4天完成，那么这5人合作， ( 天可以完成这件工 作.DJ8T7nHuGT A、3天 B、4天 C、5天 D、7天 3、某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20，若八月份产品要达到六月份 的产量，则八月份的产量比七月份要增加 (安徽省初中数学联赛试卷4B7a9QFw9h A、 B、 C、 D、 5、 某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该任务后才能执行下一项任 务，现有 U，V，W 的时间分别为10秒， 2分和 15分，一项任务的相对等待时间为提交任务到 完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比，则下面四种执行顺序中使三项任 务相对等

28、候时间之和最小的执行是的比例混合 .A的原价为每千克50元， B的原价为每千 克40元，如果 A的价格增加 10% ， B的价格减少 15% ，那么混合咖啡的价格保持不变. 则x: y为 ( wt6qbkCyDE A、5：6 B、 6：5 C、5： 4 D、4： 5 填空题 7、因工作需要，对甲、乙、丙三个小组的人员进行三次调整，第一次丙组不动，甲、 乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一 组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组，三次调整后，甲组有5人， 乙组有 13人，丙组有 6人. 则各组原有人数为Kp5zH46zRk 8、A、 B

29、、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干，8天可完工；若 B、C、D、E四人一起干，6天可完工；若A、E二人干， 12天可完工，则A一个人单独干天 可完工 .Yl4HdOAA61 9、某车间共有86名工人，已知每人平均每天可加工甲种部件15个，或乙种部件12个， 或丙种部件 9个，要使加工后的部件按3个甲种部件，2个乙种部件和1个丙种部件配套，则 应安排人加工甲种部件，人加工乙种部件，人加工丙种部件.ch4PJx4BlI 10、容积为 V的容器盛酒精溶液，第一次倒出后，用水加满. 第二次倒出后，再用 12 / 13 水加满，这时它的浓度为20%，则原来酒精溶液的浓度为qd3Yf

30、hxCzo 11、若干克含盐4%的盐水蒸去一些水分后变成了含盐为10%的盐水，再加进300 克含盐 4%的盐水，混合后变成了含盐6.4%的盐水，则最初有4%的盐水克 12、一种灭虫药粉40千克，含药率是15%，现在要用含药率较高的同样的灭虫药粉50 千克和它混合，使混合后的含药率在25%与30%之间 (不包括 25%和30%，则所用药粉含药 率的范围是E836L11DO5 解答题 13、甲、乙两部抽水机共同灌溉一块稻田，5小时可以完成任务的. 已知甲抽水机 3小 时的抽水量等于乙抽水机5小时的抽水量，甲、乙抽水机单独灌溉这块稻田各需几小时？ S42ehLvE3M 14、有一水库，在单位时间内有

31、一定量的水流进，同时也向外放水，按现在的进出水 量，水库中的水可使用40天，因最近在水源的地方降雨，流入水库的水量增加20%，如果 放水量增加 10%，则仍可使用40天，如果按原来的放水量放水，可使用多少天？501nNvZFis 15、某作业组要在规定的时间内恰好完成一项工程，如果减少两名工人，则需增加4天 恰好完成，如果增加3人，则可提前2天完成，且略显轻松，又如果增加4人，则可提前3天 完成，且略显轻松.问这个作业组原有多少人，规定完成工作时间是多少天？jW1viftGw9 16、现有男、女工人共22人，其中全体男工和全体女工在相同的时间内可完成同样的 工作；若将男工人数与女工人数对调一下

32、，则全体男工25天能完成的工作，全体女工要36 天才能完成，问男、女工人各多少人.xS0DOYWHLP 17、甲、乙两容器内都盛有酒精，甲有v1千克 ,乙有 v2千克 . 甲中纯酒精与水 (重量 之比 为m 1:n 1，乙中纯酒精与水之比为 m 2:n 2，问将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比是 多少？ (1979年高考理科试卷LOZMkIqI0w 18、已知：青铜含有80%的铜、 4%锌和 16%锡，而黄铜是铜和锌的合金. 今有黄铜和青 铜的混合物一块，其中含有74%的铜、 16%锌和 10%锡. 求黄铜含有铜和锌之比.ZKZUQsUJed 19、今有浓度分别为5%、 8%、9%的甲、乙、丙三种食盐水60千克、 60千克、 47千克 . 现要配制浓度为7%的食盐水 100千克，问 (1甲种食盐水最多可用多少千克？(2 甲种食盐 水最少用多少千克？dGY2mcoKtT 20、有三块合金，第一块是60%的铝和 40%的铬，第二块是10%的铬和 90%的钛，第三 块是 20%的铝、 50%的铬和 30%的钛，现将它们铸成一块含钛45%的新的合金，问在新的合 金中，铬的百分比为多少？rCYbSWRLIA 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 13 / 13 途。