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1、1 / 31 平面几何基础知识教程 一、几个重要定义 外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心 内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心 垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心 凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形 折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形=120 时费马 点与此角顶点重合 13 / 31 设 ABC 中任一内角均 证明留给读者，作为习题 5Ptolemy 定理 本文主要介绍一些平面几何圆中较为重要和常用的定理，而Ptolemy 定理是一个 17 / 31 十分重要的定理，及其也有重要的推广 xHAQX7
2、4J0X Ptolemy 定理：若 四边形ABCD是圆内接四边形，则 证明： 至此，我们重新把求费马点至三顶点距离的长度和的问题提出，运用Ptolemy 定 理解决： 18 / 31 如图，设 AB=c,AC=b,BC=a由，有 A，F，B,C 四点共圆 (这里我们用到著名的求积公式: 19 / 31 ,证略. 至此，本文平面几何圆的基础知识已经全部介绍完毕，这里将以著名的Chapple 定理结束 (只做了解 这是与圆幂定理的应用有关的定理之一 Chapple 定理： 设 R 是 ABC的外接圆半径， r 是内切圆半径 ,d 是这两圆的圆心 距，则 证明： 20 / 31 事实上 Chappl
3、e 定理对旁心也有相应的公式，不过是等号右边的符号-变+ 但对本文不提及旁心，因此略去 习题： 第一部分 (四点共圆的应用 1. 如图，在ABC中，AB=AC.任意延长 CA到 P，再延长 AB 到 Q 使 AP=BQ.求 证： ABC的外心 O与 A,P ,Q 四点共圆 .(1994 年全国初中数学联合竞赛二试第1 题LDAYtRyKfE 2.如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且 .求证：.(1992 年全国初中数学联合竞赛二试 第 2 题 3. 如图，设 AB,CD为O的两直径，过 B作 PB垂直于 AB,并与 CD延长线相交 于点 P ,过 P作直线与O分别交于 E,F 两点，连结
4、 AE,AF分别与 CD交于 G,H 求 证:OG=OH.(2002 年我爱数学初中生夏令营一试第2 题.Zzz6ZB2Ltk 21 / 31 第二部分 (圆幂定理的应用 4.如图，等边三角形ABC中，边 AB与O相切于点 H，边 BC,CA与O交于点 D,E,F,G。已知 AG=2,GF=6,FC=1.则 DE=_.(第 33 届美国中学生数学邀请 赛试卷改编 dvzfvkwMI1 5. 如图，O和O 都经过点 A 和 B，PQ切O 于 P，交O 于 Q，M，交 AB的 延长线于 N.求证: .rqyn14ZNXI 6.如图,已知点 P是 O外一点 ,PS,PT 是 O的两条切线，过点P 作
5、 O 的割线 PAB, 交 O 于 A.B 两点，并交 ST于点 C,求证: .(2001 年 TI 杯全国 22 / 31 初中数学竞赛 B 卷第 14 题EmxvxOtOco 第三部分 (Ptolemy 定理的应用 7.已知 a,b,x,y 是正实数，且，求证 : . 8.从锐角ABC 的外心 O 向它的边 BC,CA,AB 作垂线 ,垂足分别为 D,E,F.设 ABC 的外接圆和内切圆半径分别为R,r.求证:OD+OE+OF=R+r .SixE2yXPq5 9.设 ABC与 ABC的三边分别为 a,b,c 与 a,b ,c ,且 B= B, A+ A=.试 证:aa =bb+cc. 6e
6、wMyirQFL 第四部分 (Simon 定理的应用 10证明 Carnot 定理 11.如图, ABC的边 BC上的高 AD的延长线交外接圆于P，作 PE AB于 E，延长 ED交 AC的延长线于 F .求证: .kavU42VRUs 23 / 31 12.设 P 为 ABC 外接圆圆周上一点 ,P 在边 BC,CA,AB上的射影分别为L,M,N 令 PL=l,PM=m,PN=n,BC=a,CA=b,AB=c,求证 : .提示： 应用张角定理:设 P 为 ABC 的边BC 上一点， BAP=， CAP=, 则 ，证略）y6v3ALoS89 习题解答： 1 证明： 2.证明: 24 / 31 3 25 / 31 证明： 4.解: 26 / 31 5证明： 6.证明: 27 / 31 7证明： 8证明： 28 / 31 9.证明: 29 / 31 10证明： 30 / 31 11.证明: 12.证明: 31 / 31 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。