平行四边形性质和判定综合习题精选[答案详细]90539.pdf

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1、第十九章平行四边形性质和判定综合习题精选 一解答题 共 30 小题） 12018?资阳）如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，AEBD 于 E，CFBD 于 F 1）求证： BE=DF ； 2）若 M、N 分别为边AD 、BC 上的点，且DM=BN ，试判断四边形MENF 的形状 不必 说明理由） 22018?昭通）如图所示，?AECF 的对角线相交于点O，DB 经过点 O，分别与AE，CF 交于 B，Db5E2RGbCAP 求证：四边形ABCD 是平行四边形 32018?徐州）如图，在四边形ABCD 中， AB=CD ，BF=DE ， AEBD ，CFBD ，垂足分别为E，Fp1EanqF

2、DPw 1）求证： ABE CDF； 2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证： AO=CO 42018?铜仁地区）已知：如图，在ABC 中， BAC=90 ，DE、DF 是ABC 的 中位线，连接EF、AD 求证： EF=AD DXDiTa9E3d 52018?泸州）如图，已知D 是ABC 的边 AB 上一点， CEAB， DE 交 AC 于点 O，且 OA=OC ，猜想线段CD 与线段 AE 的大小关系和位置关 系， 并加以证明 62018?恩施州）如图，已知，?ABCD 中， AE=CF ，M、N 分别是 DE、BF 的 中点 求证：四边形MFNE 是平行四边形 72009?永州）如图，

3、平行四边形ABCD ，E、F两点在对角线BD 上，且 BE=DF ， 连接 AE，EC，CF，FARTCrpUDGiT 求证：四边形AECF 是平行四边形 82009?来宾）在 ?ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边ADE 和等边 BCF，连接 BE、DF求证：四 边形 BEDF 是平行四边形5PCzVD7HxA 92006?黄冈）如图所示，DB AC，且 DB=AC，E是 AC 的中点，求证：BC=DE 2 / 18 102006?巴中）已知：如图，在梯形ABCD 中， AD BC，AD=24cm ，BC=30cm ，点 P自点 A 向 D 以 1cm/s 的 速度运动，到D 点

4、即停止点Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运动，到B 点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边 形问当 P，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？jLBHrnAILg 112002?三明）如图：已知D、 E、F 分别是 ABC 各边的中点， 求证： AE 与 DF 互相平分 12已知：如图，在?ABCD 中，对角线AC 交 BD 于点 O，四边形AODE 是平行四 边形求证：四边形ABOE 、四边形DCOE 都是平行四边形xHAQX74J0X 13如图，已知四边形ABCD 中，点 E，F，G，H分别 是 AB、 CD、AC 、BD 的中点，并且点E、F、G、H有在 同一条直线上

5、LDAYtRyKfE 求证： EF和 GH 互相平分 14如图： ?ABCD 中， MN AC ，试说明MQ=NP 15已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点 O，EF 经过点 O 并且分别和AB，CD 相交于点E，F，点 G， H 分别为 OA，OC 的中点求证：四边形EHFG 是平行四边形 Zzz6ZB2Ltk 16如图，已知在?ABCD 中， E、F是对角线 BD 上的两点， BE=DF ，点 G、H 分别在 BA 和 DC 的延长线上，且 AG=CH ，连接 GE、EH、HF、FGdvzfvkwMI1 1）求证：四边形GEHF 是平行四边形； 2）若点 G、

6、H 分别在线段BA 和 DC 上，其余条件不变，则1）中的结论是否成立？不用说明理由） 17如图，在 ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线一点，过点 A 作 BE 的平 行线与线段ED 的延长线交于点F，连接 AE、CFrqyn14ZNXI 1）求证： AF=CE ； 2）如果 AC=EF ，且 ACB=135 ，试判断四边形AFCE 是什么样的四 边形，并证明你的结论 18如图平行四边形ABCD 中， ABC=60 ，点 E、F分别在 CD、BC 的延长线上， AEBD ，EFBF，垂足为点F，DF=2EmxvxOtOco 1）求证： D 是 EC 中点； 2）求

7、FC 的长 192018?厦门）如图，已知 ABC 是等边三角形，点D、 F分别在线段BC、AB上， EFB=60 ，DC=EF SixE2yXPq5 1）求证：四边形EFCD 是平行四边形； 2）若 BF=EF，求证： AE=AD 3 / 18 202018?滨州）如图，四边形ABCD ，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点 1）请判断四边形EFGH 的形状？并说明为什么； 2）若使四边形EFGH 为正方形，那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质？ 212008?佛山）如图，ACD 、ABE 、BCF 均为直线BC 同侧的等边三角 形 1）当 AB AC 时，证明：四

8、边形ADFE 为平行四边形； 2）当 AB=AC 时，顺次连接A、D、F、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构 成图形的类型和相应的条件6ewMyirQFL 22如图，以 ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别作三个等边三角形即ABD 、 BCE、ACF ，那么，四边形AFED 是否为平行四边形？如果是，请证明之，如 果不是，请说明理由kavU42VRUs 232007?黑龙江）在 ABC 中， AB=AC ，点 P为 ABC 所在平面内一点，过点 P分别作 PEAC 交 AB 于点 E，PFAB 交 BC 于点 D，交 AC 于点 F若点 P在 BC 边上 如图 1），此时 PD=0，可

9、得结论：PD+PE+PF=AB y6v3ALoS89 请直接应用上述信息解决下列问题： 当点 P分别在 ABC 内如图 2）， ABC 外如图 3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成 立， PD，PE，PF与 AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证 明M2ub6vSTnP 242006?大连）如图1，P 为 RtABC 所在平面内任意一点不在直线AC 上）， ACB=90 ，M 为 AB 边中 点操作：以PA、PC 为邻边作平行四边形PADC，连续 PM 并延长到点E，使 ME=PM ，连接 DE0YujCfmUCw 探究： 1）请猜想与线段DE 有关的三个结论；

10、 2）请你利用图2，图 3 选择不同位置的点P按上述方法操作； 3）经历 2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明； 如果你认为你写的结论是错误的，请用图2 或图 3 加以说明； 注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分） 4）若将 “ RtABC ” 改为 “ 任意 ABC ” ，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE 有关的结论 直接写答 案）eUts8ZQVRd 252005?贵阳）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一 组对顶角的两个图形全等；sQsAEJkW5T 4 / 18 1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边

11、形分割成满足以上全等关系的直线有_组； 2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； 3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？ 26如图，在直角梯形ABCD 中， AB CD， BCD=Rt ， AB=AD=10cm ，BC=8cm点 P从点 A 出发，以每秒 3cm 的速度沿折线ABCD 方向运动，点Q 从点 D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动已知动点 P、Q 同时发，当点Q 运动到点C 时， P、Q 运动停止，设运动时间为 tGMsIasNXkA 1）求 CD 的长； 2）当四边形PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长； 3

12、）在点 P、点 Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ 的面积为 20cm 2？若存在，请求出所有满足条件的 t的值；若不存在，请说明理 由TIrRGchYzg 27已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O0，0）、 A2，0）、 B1，1），则第四个顶点C 的坐标是多 少？7EqZcWLZNX 28已知平行四边形ABCD 的周长为36cm，过 D 作 AB ，BC 边上的高DE、DF，且 cm，求平行四边形ABCD 的面积 lzq7IGf02E 29如图，在平面直角坐标系中，已知O 为原点，四边形ABCD 为平行四边形，A、B、 C 的坐标分别是A3，）， B2，3）， C2，3），点

13、 D 在第一象 限zvpgeqJ1hk 1）求 D 点的坐标； 2）将平行四边形ABCD 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得 的四边形 A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？NrpoJac3v1 3）求平行四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？ 30如图所示 ?ABCD 中， AF 平分 BAD 交 BC 于 F， DEAF 交 CB 于 E求证： BE=CF 答案与评分标准 一解答题 共 30 小题） 12018?资阳）如图，已知四边形ABCD 为平行四边形， AEBD 于 E，CFBD 于 F 1）求证： BE=DF ； 2）若 M、N 分别为边AD 、BC

14、上的点，且DM=BN ，试判断四边形MENF 的形状 不必说明理由） 考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 分析： 1）根据平行四边形的性质和已知条件证明ABE CDF 即可得到BE=DF ； 2）根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF 的形状 解答： 1）四边形ABCD 是平行四边形， AB=CD ， ABCD， ABD= CDB， AEBD 于 E，CFBD 于 F， AEB= CFD=90 ， ABE CDFA AS）， BE=DF ； 2）四边形 MENF 是平行四边形 证明：有 1）可知： BE=DF ， 5 / 18

15、 四边形 ABCD 为平行四边行， AD BC， MDB=MBD ， DM=BN ， DNF BNE ， NE=MF ， MFD= NEB ， MFE= NEF， MFNE， 四边形MENF 是平行四边形 点评： 本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质 22018?昭通）如图所示，?AECF 的对角线相交于点O，DB 经过点 O， 分别与 AE，CF 交于 B，D求证：四边形ABCD 是平行四边 形1nowfTG4KI 考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题 ：证明题。 分析： 平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四

16、边形是平行四边形 解答： 证明：四边形AECF 是平行四边形 OE=OF，OA=OC ，AECF， DFO= BEO， FDO= EBO ， FDO EBO ， OD=OB ， OA=OC ， 四边形 ABCD 是平行四边形 点评： 本题考查平行四边形的性质定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性质 32018?徐州）如图，在四边形ABCD 中， AB=CD ，BF=DE ，AE BD，CFBD，垂足分别为E， FfjnFLDa5Zo 1）求证： ABE CDF； 2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证： AO=CO 考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题 ：证明题。

17、 分析： 1）由 BF=DE ，可得 BE=CF，由 AEBD，CFBD，可得 AEB= CFD=90 ，又由 AB=CD ，在直角三角形中利用HL 即可证得： ABE CDF；tfnNhnE6e5 2）由 ABE CDF，即可得 ABE= CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB CD，又由 AB=CD ，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD 是平行四边形，则可得 AO=CO HbmVN777sL 解答： 证明： 1） BF=DE ， BFEF=DE EF， 即 BE=DE ， AEBD ，CF BD， AEB= CFD=90 ， AB=CD ， Rt

18、ABERtCDFHL ）； 2） ABE CDF， ABE= CDF， ABCD， AB=CD ， 四边形 ABCD 是平行四边形， AO=CO 6 / 18 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是要注意数 形结合思想的应用V7l4jRB8Hs 42018?铜仁地区）已知：如图，在ABC 中， BAC=90 ，DE、DF 是ABC的中位 线，连接 EF、AD求证： EF=AD 83lcPA59W9 考点 ：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。 专题 ：证明题。 分析： 由 DE 、DF 是ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求

19、得四边形 AEDF 是平行四边形，又BAC=90 ，则可证得平行四边形AEDF 是矩形，根据矩形的对 角线相等即可得EF=AD mZkklkzaaP 解答： 证明： DE，DF 是ABC 的中位线， DEAB ，DF AC， 四边形 AEDF 是平行四边形， 又 BAC=90 ， 平行四边形AEDF 是矩形， EF=AD 点评： 此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质此题综合性较强，但难度不 大，解题的关键是注意数形结合思想的应用AVktR43bpw 52018?泸州）如图，已知D 是ABC 的边 AB 上一点， CEAB，DE 交 AC 于点O， 且 OA=OC ，

20、猜想线段CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系，并加以证明 考点 ：平行四边形的判定与性质。 专题 ：探究型。 分析： 根据 CEAB ，DE 交 AC 于点 O，且 OA=OC ，求证 ADO ECO，然后求证 四边形 ADCE 是平行四边形，即可得出结论ORjBnOwcEd 解答： 解：猜想线段CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系是：平行且相等 证明： CE AB， DAO= ECO， OA=OC ， ADO ECO， AD=CE ， 四边形 ADCE 是平行四边形， CDAE 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是求证 ADO ECO，然

21、后可得证四边形ADCE 是平行四边形，即可得出结论2MiJTy0dTT 62018?恩施州）如图，已知，?ABCD 中， AE=CF ，M、N 分别是 DE、BF 的中 点 求证：四边形MFNE 是平行四边形 考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题 ：证明题。 分析： 平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条 件为 M、N 分别是 DE、 BF 的中点，根据条件在图形中的位置，可选择利用“ 一组对边平行且相等的四边形为平行 四边形 ” 来解决gIiSpiue7A 解答： 证明：由平行四边形可知，AD=CB ， DAE=

22、 FCB， 又 AE=CF ， DAE BCF ， DE=BF ， AED= CFB 又 M、N 分别是 DE、BF 的中点， ME=NF 又由 AB DC，得 AED= EDC EDC= BFC， MENF 四边形MFNE 为平行四边形 7 / 18 点评： 平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活 地选择方法uEh0U1Yfmh 72009?永州）如图，平行四边形ABCD ，E、F两点在对角线BD上， 且 BE=DF ，连接 AE，EC，CF，FA 求证：四边形AECF 是平行四边形 考点 ：平行四边形的判定与性质。 专题 ：证明题。 分

23、析： 根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF 是平行四边形 解答： 证明：连接AC 交 BD 于点 O， 四边形 ABCD 为平行四边形， OA=OC ， OB=OD BE=DF ， OE=OF 四边形 AECF 为平行四边形 点评： 平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区 别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法IAg9qLsgBX 82009?来宾在 ?ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边ADE 和等边 BCF， 连接 BE、 DF求证：四边形BEDF 是平行四边形 考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三

24、角形的性质。 专题 ：证明题。 分析： 由题意先证 DAE= BCF=60 ，再由 SAS 证 DCF BAE ，继而题目得证 解答： 证明：四边形ABCD 是平行四边形， CD=AB ， AD=CB ， DAB= BCD 又 ADE 和 CBF 都是等边三角形， DE=BF ，AE=CF DAE= BCF=60 DCF= BCD BCF ， BAE= DAB DAE ， DCF= BAE DCF BAESAS ） DF=BE 四边形 BEDF 是平行四边形 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平行四边形的五种判 定方法与平行四边形的性质相呼应，每种

25、方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联 系WwghWvVhPE 92006?黄冈）如图所示，DB AC，且 DB=AC，E是 AC 的中点，求证： BC=DE 考点 ：平行四边形的判定与性质。 专题 ：证明题。 分析： 可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DBCE 是平行四边 形，即可证明BC=DE 解答： 证明： E 是 AC 的中点， EC=AC， 又 DB=AC， DB=EC 又 DBEC， 8 / 18 四边形 DBCE 是平行四边形 BC=DE 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平行四边形的五种判 定方法与平

26、行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系asfpsfpi4k 102006?巴中）已知：如图，在梯形ABCD 中， AD BC，AD=24cm ，BC=30cm ，点 P自点 A 向 D 以 1cm/s 的速度运动，到D 点即停止点Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运 动，到 B 点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形问当P，Q 同时出发，几秒后其中 一个四边形为平行四边形？ooeyYZTjj1 考点 ：平行四边形的判定与性质；梯形。 专题 ：动点型。 分析： 若四边形PDCQ 或四边形APQB 是平行四边形，那么QD=CQ 或 AP=BQ ，根

27、据这个结论列出方程就可以求 出时间BkeGuInkxI 解答： 解：设 P，Q 同时出发t 秒后四边形PDCQ 或四边形APQB 是平行四边形，根据已知得到AP=t ，PD=24 t，CQ=2t，BQ=302tPgdO0sRlMo 1）若四边形PDCQ 是平行四边形，则PD=CQ， 24t=2tt=88 秒后四边形PDCQ 是平行四边形； 3cdXwckm15 2）若四边形APQB 是平行四边形，则AP=BQ ， t=302tt=1010 秒后四边形APQB 是平行四边形 h8c52WOngM 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应 11

28、2002?三明）如图：已知D、 E、F 分别是 ABC 各边的中点， 求证： AE 与 DF 互相平分 考点 ：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。 专题 ：证明题。 分析： 要证 AE 与 DF 互相平分，根据平行四边形的判定，就必须先四边形ADEF 为 平行四边形 解答： 证明： D、E、F 分别是 ABC 各边的中点，根据中位线定理知： DEAC ，DE=AF ， EFAB ，EF=AD ， 四边形 ADEF 为平行四边形 故 AE 与 DF 互相平分 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键三角形的中位线的性 质定理，为证明线段相等和平行提

29、供了依据v4bdyGious 12已知：如图，在?ABCD 中，对角线AC 交 BD 于点 O，四边形AODE 是平行 四边形 求证：四边形ABOE 、四边形DCOE 都是平行四边形 考点 ：平行四边形的判定与性质。 专题 ：证明题。 分析： 因为 ?ABCD ，OB=OD ，又 AODE 是平行四边形，AE=OD ，所以 AE=OB ， 又 AE OD，根据平行四边形的判定，可推出四边形ABOE 是平行四边形同 理，也可推出四边形DCOE 是平行四边形J0bm4qMpJ9 解答： 证明： ?ABCD 中，对角线AC 交 BD 于点 O， OB=OD ， 又四边形AODE 是平行四边形， AE

30、OD 且 AE=OD ， AEOB 且 AE=OB ， 四边形 ABOE 是平行四边形， 同理可证，四边形DCOE 也是平行四边形 点评： 此题要求掌握平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 9 / 18 13如图，已知四边形ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB、CD、AC 、BD 的中 点， 并且点 E、F、G、H 有在同一条直线上 求证： EF和 GH 互相平分 考点 ：平行四边形的判定与性质。 专题 ：证明题。 分析： 要证明 EF和 GH 互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性 质：平行四边形的对角线互相平分即可证明XVauA9grYP

31、解答： 证明：连接EG、GF、FH、HE，点 E、F、G、H 分别是 AB、CD、AC、 BD 的中点 在ABC 中， EG=BC；在 DBC 中， HF=BC， EG=HF 同理 EH=GF 四边形 EGFH 为平行四边形 EF 与 GH 互相平分 点评： 本题考查的是综合运用平行四边形的性质和判定定理熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平行 四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与 联系bR9C6TJscw 14如图： ?ABCD 中， MN AC ，试说明MQ=NP 考点 ：平行四边形的判定与性质。 专题 ：证明题。 分析： 先

32、证 AMQC 为平行四边形，得AC=MQ ，再证 APNC 为平行四边形，得AC=NP ，进而求解 解答： 证明：四边形ABCD 是平行四边形， AM QC，APNC 又 MN AC， 四边形 AMQC 为平行四边形，四边形APNC 为平行四边形 AC=MQ AC=NP MQ=NP 点评： 本题考查的知识点为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 15已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，EF 经过点 O 并且分别和AB ，CD 相交 于点 E，F，点 G，H 分别为 OA， OC 的中点求证：四边形EHFG 是平行四边形pN9LBDdtrd 考点 ：平行四边形

33、的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题 ：证明题。 分析： 要证四边形EHFG 是平行四边形，需证OG=OH ，OE=OF，可分别由四边形ABCD 是平行四边形和 OEB OFD 得出DJ8T7nHuGT 解答： 证明：如答图所示， 点 O 为平行四边形ABCD 对角线 AC ，BD 的交点， OA=OC ， OB=OD G，H 分别为 OA ，OC 的中点， OG=OA，OH=OC， OG=OH 又 ABCD， 1=2 在OEB 和OFD 中， 1=2，OB=OD ， 3=4， OEB OFD ， 10 / 18 OE=OF 四边形 EHFG 为平行四边形 点评： 此题主要考查平行四边

34、形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 16如图，已知在?ABCD 中， E、F是对角线 BD 上的两点， BE=DF ，点 G、H 分别在 BA 和 DC 的延长线上，且 AG=CH ，连接 GE、EH、HF、FGQF81D7bvUA 1）求证：四边形GEHF 是平行四边形； 2）若点 G、H 分别在线段BA 和 DC 上，其余条件不变，则1）中的结论是否成立？不用说明理由） 考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题 ：证明题；探究型。 分析： 1）先由平行四边形的性质，得AB=CD ，AB CD，根据两直线平行内错角相等得GBE= HDF再由 SAS 可证 GB

35、E HDF，利用全等的性质，证明GEF=HFE，从而得GEHF，又 GE=HF，运用一组对边平 行且相等的四边形是平行四边形得证4B7a9QFw9h 2）仍成立可仿照1）的证明方法进行证明 解答： 1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， AB=CD ， ABCD， GBE=HDF 又 AG=CH ， BG=DH 又 BE=DF ， GBE HDF GE=HF， GEB= HFD ， GEF=HFE， GEHF，四边形GEHF 是平行四边形 2）解：仍成立证法同上） 点评： 本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 17如图，在 ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线

36、段 BC 延长线一点，过点A 作 BE 的平行线与线段ED 的延长线 交于点 F，连接 AE、CFix6iFA8xoX 1）求证： AF=CE ； 2）如果 AC=EF ，且 ACB=135 ，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论 考点 ：平行四边形的判定与性质；正方形的判定。 专题 ：证明题。 分析： 1）由 AFEC，根据平行线的性质得到DFA= DEC ， DAF= DCE，而 DA=DC ，易证得 DAF DCE，得到结论；wt6qbkCyDE 2）由 AFEC，AF=CE ，根据平行四边形的判定得到四边形AFCE 是平行四边形，再根据对角线相等即 AC=EF ，可判

37、断平行四边形AFCE 是矩形，则FCE= CFA=90 ，通过 Kp5zH46zRk ACB=135 ，可得到 FCA=135 90 =45 ，则易判断矩形AFCE 是正方形 解答： 1）证明： AFEC， DFA= DEC， DAF= DCE ， D 是 AC 的中点， DA=DC ， DAF DCE ， AF=CE ； 2）解：四边形AFCE 是正方形理由如下： AFEC，AF=CE ， 四边形 AFCE 是平行四边形， 又 AC=EF ， 平行四边形AFCE 是矩形， FCE= CFA=90 ， 而 ACB=135 ， FCA=135 90 =45 ， FAC=45 ， FC=FA， 矩

38、形 AFCE 是正方形 11 / 18 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形也考查了矩形、正方 形的判定方法Yl4HdOAA61 18如图平行四边形ABCD 中， ABC=60 ，点 E、F分别在 CD、BC 的延长线上， AEBD ，EFBF，垂足为 点 F， DF=2ch4PJx4BlI 1）求证： D 是 EC 中点； 2）求 FC 的长 考点 ：平行四边形的判定与性质。 分析： 1）根据平行四边形的对边平行可以得到AB CD，又 AEBD ，可以证明四边形ABDE 是平行四边形， 所以 AB=DE ，故 D 是 EC 的中点；qd3YfhxC

39、zo 2）连接 EF，则 EFC 是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到CDF 是等腰三角 形，再利用 ABC=60 推得 DCF=60 ，所以 CDF 是等边三角形，FC=DF，FC 的长度即可求出E836L11DO5 解答： 1）证明：在平行四边形ABCD 中， ABCD，且 AB=CD ， 又 AEBD ， 四边形 ABDE 是平行四边形， AB=DE ， CD=DE ， 即 D 是 EC 的中点； 2）解：连接EF， EFBF， EFC 是直角三角形， 又 D 是 EC 的中点， DF=CD=DE=2 ， 在平行四边形ABCD 中， AB CD， ABC=60

40、， ECF= ABC=60 ， CDF 是等边三角形， FC=DF=2 故答案为： 2 点评： 本题主要考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的判 定，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键，2）中连接EF构造出直角三角形比较重要S42ehLvE3M 192018?厦门）如图，已知 ABC 是等边三角形，点D、 F分别在线段BC、AB 上， EFB=60 ， DC=EF501nNvZFis 1）求证：四边形EFCD 是平行四边形； 2）若 BF=EF，求证： AE=AD 考点 ：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题 ：证明

41、题。 分析： 1）由 ABC 是等边三角形得到B=60 ，而 EFB=60 ，由此可以证明EFDC，而 DC=EF ，然后即可证 明四边形 EFCD 是平行四边形；jW1viftGw9 2）如图，连接BE，由 BF=EF， EFB=60 可以推出 EFB 是等边三角形，然后得到EB=EF ， EBF=60 ，而 DC=EF，由此得到EB=DC ，又 xS0DOYWHLP ABC 是等边三角形，所以得到ACB=60 ， AB=AC ，然后即可证明 AEB ADC ，利用全等三角形的性质就 证明 AE=AD LOZMkIqI0w 解答： 证明： 1） ABC 是等边三角形， ABC=60 ， EF

42、B=60 ， ABC= EFB， EFDC内错角相等，两直线平行）， DC=EF， 四边形 EFCD 是平行四边形； 12 / 18 2）连接 BE BF=EF， EFB=60 ， EFB 是等边三角形， EB=EF ， EBF=60 DC=EF， EB=DC ， ABC 是等边三角形， ACB=60 ，AB=AC ， EBF= ACB ， AEB ADC ， AE=AD 点评： 此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边 三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题ZKZUQsUJed 202018?滨州）如图，四边形ABCD

43、 ，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点 1）请判断四边形EFGH 的形状？并说明为什么； 2）若使四边形EFGH 为正方形，那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质？ 考点 ：平行四边形的判定；三角形中位线定理；正方形的性质。 专题 ：证明题。 分析： 1）连接 AC，利用中位线定理即可证明四边形EFGH 是平行四边形； 2）由于四边形EFGH 为正方形，那么它的邻边互相垂直且相等，根据中位线定理可以推出四边形ABCD 的对角 线应该互相垂直且相等dGY2mcoKtT 解答： 解： 1）如图，四边形EFGH 是平行四边形连接AC ， E、F分别是 AB 、BC 的中点，

44、 EFAC ，EF=AC 同理 HGAC， EFHG，EF=HG EFGH 是平行四边形； 2）四边形 ABCD 的对角线垂直且相等 假若四边形EFGH 为正方形， 它的每一组邻边互相垂直且相等， 根据中位线定理得到四边形ABCD 的对角线应该互相垂直且相等 点评： 此题主要考查了三角形的中位线定理，及平行四边形的判定，正方形的性质等知 识 212008?佛山）如图，ACD 、ABE 、BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形 1）当 AB AC 时，证明：四边形ADFE 为平行四边形； 2）当 AB=AC 时，顺次连接A、D、F、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条

45、件rCYbSWRLIA 考点 ：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题 ：证明题。 分析： 1）要证明ADEF 是平行四边形，可通过证明EF=AD ，DF=AE 来实现， AD=AC ，AE=AB ，那么只要证明 ABC DFC 以及 FEB CAB 即可 AD=DC ， CF=CB，又因为 FCB=ACD=60 ，那么都减去一个 ACE 后可得出 BCA= FCD，那么就构成了SAS，ABC DFC，就能求出AE=DF ，同理可通过证明 FEB CAB 得出 EF=AD FyXjoFlMWh 2）可按 BAC 得度数的不同来分情况讨论，如果BAC=60 ， EAD

46、+ BAC+ DAC=180 ，因此， A 与 F重 合 A、D、F、 E 四点所构成的图形为一条线段TuWrUpPObX 当 BAC 60 时，由 1）AE=AB=AC=AD，因此 A、D、F、E 四点所构成的图形是菱形 解答： 1）证明： ABE 、 BCF 为等边三角形， 13 / 18 AB=BE=AE ， BC=CF=FB ， ABE= CBF=60 CBA= FBE ABC EBF EF=AC 又 ADC 为等边三角形， CD=AD=AC EF=AD 同理可得 AE=DF 四边形 AEFD 是平行四边形 2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段 当图形为菱形时，BAC 60 或 A 与 F不重合、 ABC 不为正三角形） 当图形为线段时，BAC=60 或 A 与 F重合、 ABC 为正三角形） 点评： 本题的关键是通过三角形的全等来得出线段的相等，要先确定所要证得线段所在的三角形，然后看证明三 角形全等的条件是否充足，缺少条件的要根据已知先求出了7qWAq9jPqE 22如图，以 ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别作三个等边三角形即ABD 、BCE、 ACF ，那么，四边 形