新版(华师大版)八年级数学下：19.2.1《菱形的判定》同步训练(含答案).pdf

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1、1 1 19.2.1菱形的判定 一选择题（共6 小题） 1平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A（ 3，0） 、B（0，2） 、C（3，0） 、D（0， 2） ，四边 形 ABCD 是（） A矩形 B菱形 C正方形D梯形 2如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别是 AD ，BC 中点，连接AF，BE，CE，DF 分别交于点M，N，四边形 EMFN 是（） A正方形B菱形 C 矩形 D 无法确定 3下列说法正确的是（） A对角线相等的平行四边形是菱形 B有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C对角线相互垂直的四边形是菱形 D有一个角是直角的平行四边形是菱形 4如图，在平行四边形ABCD

2、 中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD 是菱形的是（） AAB=BC BAC BD CBD 平分 ABC DAC=BD 5下列说法中，正确的是（） A同位角相等B对角线相等的四边形是平行四边形 C矩形的对角线一定互相垂直D四条边相等的四边形是菱形 6下列说法中，正确的是（） A同位角相等B对角线相等的四边形是平行四边形 C四条边相等的四边形是菱形D矩形的对角线一定互相垂直 二填空题（共7 小题） 7如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 O，OA=OC ，OB=OD ，添加一个条件使四边形ABCD 是菱 形，那么所添加的条件可以是_（写出一个即可） 8已知 ?ABCD ，对

3、角线AC ，BD 相交于点O，请你添加一个适当的条件，使?ABCD 成为一个菱形，你添加的条 件是_ 9如图，在 ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点E，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE=DF 给出下列条件： BEEC； BFCE； AB=AC ； 从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是_（只填写序号） 10如图在 Rt ABC 中，ACB=90 ，AC=4 ，BC=3，D 为斜边 AB 上一点， 以 CD、CB 为边作平行四边形CDEB ， 当 AD=_，平行四边形CDEB 为菱形 11如图，在平行四边形ABCD 中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可

4、以是 _ 12如图，在 ABC 中，点 D、E、 F 分别在边AB、BC、CA 上，且 DECA ，DFBA 下列四种说法： 四边形 AEDF 是平行四边形； 如果 BAC=90 ，那么四边形AEDF 是矩形； 如果 AD 平分 BAC ，那么四边形AEDF 是菱形； 如果 AD BC 且 AB=AC ，那么四边形AEDF 是菱形 其中，正确的有_（只填写序号） 13在四边形ABCD 中， AB=CD ，AD=BC ，那么再加上条件_，此四边形就成为菱形（填上一个正 确的条件即可） 三解答题（共7 小题） 14如图：在 ?ABCD 中， AC 为其对角线，过点D 作 AC 的平行线与BC 的延

5、长线交于E （1）求证： ABC DCE； （2）若 AC=BC ，求证：四边形ACED 为菱形 15如图，在四边形ABCD 中， AB=AD ，BC=DC ，AC、BD 相交于点O，点 E 在 AO 上，且 OE=OC （1）求证： 1=2； （2）连结 BE、DE，判断四边形BCDE 的形状，并说明理由 16如图，在三角形纸片ABC 中， AD 平分 BAC ，将 ABC 折叠，使点A 与点 D 重合，展开后折痕分别交AB 、 AC 于点 E、F，连接 DE、DF求证：四边形AEDF 是菱形 17 如图， 在四边形 ABCD 中，AD BC，AM BC，垂足为 M，AN DC，垂足为 N，

6、若 BAD= BCD ，AM=AN ， 求证：四边形ABCD 是菱形 18 如图所示，已知：矩形ABC D 中， O 是 AC 与 BD 的交点，过点O 的直线 EF 与 AB 、CD 的延长线分别交于点 E、F （1）求证： BOE DOF； （2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形AECF 是菱形？并证明你的结论 19.如图，在 ?ABCD 中， EF 过 AC 的中点 O，与边 AD 、BC 分别相交于点E、F （1）试说明四边形AECF 是平行四边形； （2）当 EF 过 AC 的中点，且与AC 垂直时，试说明四边形AECF 是菱形 13如图，在矩形ABCD 中， E，F 分别

7、为 AD ，BC 的中点，连结AF， DF，BE，CE，AF 与 BE 交于 G，DF 与 CE 交于 H求证：四边形EGFH 为菱形 19.2.1菱形的判定 参考答案与试题解析 一选择题（共6 小题） 1平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A（ 3，0） 、B（0，2） 、C（3，0） 、D（0， 2） ，四边 形 ABCD 是（） A矩形B菱形C正方形D 梯形 考点：菱形的判定；坐标与图形性质 分析：在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD ，再根据图形特点进行判断 解答：解：图象如图所示： A（ 3，0） 、B（ 0，2） 、 C（ 3，0） 、D（0， 2） ，

8、 OA=0C ，OB=OD ， 四 边形 ABCD 为平行四边形， BDAC ， 四边形 ABCD 为菱形， 故选： B 点评：本题考查了点的坐标的表示方法，及菱形的判定定理 2如图，在矩形ABCD 中，E，F 分别是 AD ，BC 中点，连接AF，BE，CE，DF 分别交于点M，N，四边形 EMFN 是（） A正方形B菱形C矩形D无法确定 考点：菱形的判定；矩形的性质 分析：求出四边形ABFE 为平行四边形， 四边形 BFDE 为平行四边形， 根据平行四边形的性质得出BE FD， 即 GE FH，同理可证EHGF，得出四边形EGFH 为平行四边形，求出GE=GF，根据菱形的判定得出即可 解答

9、：解：四边形ABCD 为矩形， AD BC，AD=BC ， 又 E， F分别为 AD ，BC 中点， AEBF，AE=BF ，EDCF，DE=CF， 四边形 ABFE 为平行四边形，四边形BFDE 为平行四边形， BEFD，即 GEFH， 同理可证 EH GF， 四边形 EGFH 为平行四边形， 四边形 ABFE 为平行四边形，ABC 为直角， ABFE 为矩形， AF，BE 互相平分于G 点， GE=GF， 四边形 EGFH 为菱形 故选 B 点评：本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进 行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强 3下列说

10、法正确的是（） A对角线相等的平行四边形是菱形 B有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C对角线相互垂直的四边形是菱形 D有一个角是直角的平行四边形是菱形 考点：菱形的判定 分析：利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项 解答：解： A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A 选项错误； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B 选项正确； C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C 选项错误； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D 选项错误， 故选： B 点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大 4如图，在平行四边形ABCD 中，添加下列条件不

11、能判定平行四边形ABCD 是菱形的是（） AAB=BC BAC BD CBD 平分 ABC D AC=BD 考点：菱形的判定；平行四边形的性质 分析：根据菱形的判定定理，即可求得答案注意排除法的应用 解答：解：四边形ABCD 是平行四边形， A、当 AB=BC 时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得?ABCD 是菱形，故本选项正确； B、当 ACBD 时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得?ABCD 是菱形，故本选项正确； C、当 BD 平分 ABC 时，易证得AB=AD ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得?ABCD 是菱形，故本 选项正确； 由排除法可得D 选项错误

12、 故选 D 点评：此题考查了菱形的判定熟记判定定理是解此题的关键 5下列说法中，正确的是（） A同位角相等B对角线相等的四边形是平行四边形 C矩形的对角线一定互相垂直D 四条边相等的四边形是菱形 考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质 分析：A、根据平行线的性质进行判断； B、由平行线的判定定理进行判断； C、由矩形的性质进行判断； D、由菱形的判定定理进行判断 解答：解： A、两直线平行时，同位角才相等故本选项错误； B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形例如：等腰梯形的对角线相等故本选项错误； C、矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直故本选项

13、错误； D、根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形故本选项正确； 故选： D 点评：本题考查了菱形、平行四边形的判定，矩形的性质等熟记四边形的性质和定义是解题的关键 6下列说法中，正确的是（） A同位角相等B对角线相等的四边形是平行四边形 C四条边相等的四边形是菱形D 矩形的对角线一定互相垂直 考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质 分析：根据平行线的性质判断A 即可；根据平行四边形的判定判断B 即可；根据菱形的判定判断C 即可； 根据矩形的性质判断D 即可 解答：解： A、如果两直线平行，同位角才相等，故A 选项错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四

14、边形，故B 选项错误； C、四边相等的四边形是菱形，故C 选项正确； D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故D 选项错误； 故选 C 点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能 力和辨析能力 二填空题（共7 小题） 7如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 O，OA=OC ，OB=OD ，添加一个条件使四边形ABCD 是菱 形，那么所添加的条件可以是AB=AD（写出一个即可） 考点：菱形的判定 专题：开放型 分析：利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形 解答：解： OA=OC ，OB=OD ， 四

15、边形 ABCD 是平行四边形， 邻边相等的平行四边形是菱形， 添加的条件是AB=AD （答案不唯一） ， 故答案为： AB=AD 点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键 8已知 ?ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O，请你添加一个适当的条件，使?ABCD 成为一个菱形，你添加的条 件是AD=DC 考点：菱形的判定；平行四边形的性质 专题：开放型 分析：根据菱形的定义得出答案即可 解答：解：邻边相等的平行四边形是菱形， 平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点 O，试添加一个条件：可以为：AD=DC ； 故答案为： AD=DC 点评：此题主要考查了菱形的判

16、定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键 9如图，在 ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点E，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE=DF 给出下列条件： BEEC； BFCE； AB=AC ； 从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是（只填写序号） 考点：菱形的判定 专题：推理填空题 分析：首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定 得到答案即可 解答：解：由题意得：BD=CD ，ED=FD ， 四边形 EBFC 是平行四边形， BEEC，根据这个条件只能得出四边形EBFC 是矩形， BF CE，根据 EBFC

17、是平行四边形已可以得出BFCE，因此不能根据此条件得出菱形， AB=AC ， ， ADB ADC ， BAD= CAD AEB AEC （SAS） ， BE=CE ， 四边形 BECF 是菱形 故答案为： 点评：本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大 10如图在 Rt ABC 中，ACB=90 ，AC=4 ，BC=3，D 为斜边 AB 上一点， 以 CD、CB 为边作平行四边形CDEB ， 当 AD=，平行四边形CDEB 为菱形 考点：菱形的判定 分析：首先根据勾股定理求得AB=5 ；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB ， CD=CB ；最后

18、RtBOC 中，根据勾股定理得，OB 的值，则AD=AB 2OB 解答：解：如图，连接CE 交 AB 于点 O RtABC 中， ACB=90 ， AC=4， BC=3， AB=5（勾股定理） 若平行四边形CDEB 为菱形时， CEBD ，且 OD=OB ，CD=CB AB ?OC=AC?BC， OC= 在 RtBOC 中，根据勾股定理得，OB=， AD=AB 2OB= 故答案是： 点评：本题考查了菱形的判定与性质菱形的对角线互相垂直平分 11如图，在平行四边形ABCD 中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是ACBD ， AB=BC 考点：菱形的判定；平行四边形的性质 专题：开放型

19、 分析：在平行四边形ABCD 的基础上，邻边相等或对角线互相垂直均可判定 解答：解：在平行四边形ABCD 的基础上 菱形 ABCD 是一组邻边相等的平行四边形， 平行四边形ABCD 中，只需添一个条件：邻边AB=AD 或 AD=CD ； 菱形 ABCD 的对角线互相垂直平分， 平行四边形ABCD 中，只需添一个条件：AC BD 故答案是： AC BD， AB=BC 等 点评：本题主要考查的是平行四边形和菱形的判定定理但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边 形、菱形之间的关系 12如图，在 ABC 中，点 D、E、 F 分别在边AB、BC、CA 上，且 DECA ，DFBA 下列四种说法： 四

20、边形 AEDF 是平行四边形； 如果 BAC=90 ，那么四边形AEDF 是矩形； 如果 AD 平分 BAC ，那么四边形AEDF 是菱形； 如果 AD BC 且 AB=AC ，那么四边形AEDF 是菱形 其中，正确的有（只填写序号） 考点：菱形的 判定；平行四边形的判定；矩形的判定 专题：压轴题 分析：根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答 解答：解： DECA， DFBA ， 四边形 AEDF 是平行四边形；故 正确； 若 BAC=90 ，则平行四边形AEDF 是矩形；故 正确； 若 AD 平分 BAC ，则 DE=DF ； 所以平行四边形是菱形；故 正确； 若 AD BC，AB=A

21、C ； 根据等腰三角形三线合一的性质知：DA 平分 BAC ； 由 知：此时平行四边形AEDF 是菱形；故 正确； 所以正确的结论是 点评：此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 一组邻边相等的平行四边形是菱形 13在四边形ABCD 中， AB=CD ，AD=BC ，那么再加上条件AB=AD，此四边形就成为菱形（填上一个正确 的条件即可） 考点：菱形的判定 专题：开放型 分析：根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABCD 是平行四边形； 根据一组邻边相等的 平行四边形是菱形，可补充条件AB=AD

22、此题属开放性题目，答案不唯一 解答：解：可添加的条件为AB=AD ， AB=CD ， AD=BC ， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=AD ， 四边形 ABCD 为菱形 故答案为： AB=AD 点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法： 菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“ 对角线互相垂直平分的四边形是菱形” ） 三解答题（共7 小题） 14如图：在 ?ABCD 中， AC 为其对角线，过点D 作 AC 的平行线与BC 的延长线交于E （1）求证： ABC DCE； （2）若 AC=BC ，求证：

23、四边形ACED 为菱形 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 专题：证明题 分析：（1）利用 AAS 判定两三角形全等即可； （2）首先证得四边形ACED 为平行四边形，然后证得AC=AD ，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可 解答：证明： （1）四边形ABCD 为平行四边形， ABCD，AB=CD ， B=1， 又 DEAC 2=E， 在ABC 与 DCE 中， ， ABC DCE； （2）平行四边形ABCD 中， AD BC， 即 AD CE， 由 DE AC， ACED 为平行四边形， AC=BC ， B=CAB ， 由 AB CD， CAB= ACD ， 又

24、B=ADC ， ADC= ACD ， AC=AD ， 四边形 ACED 为菱形 点评：本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大 15如图，在四边形ABCD 中， AB=AD ，BC=DC ，AC、BD 相交于点O，点 E 在 AO 上，且 OE=OC （1）求证： 1=2； （2）连结 BE、DE，判断四边形BCDE 的形状，并说明理由 考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质 专题：证明题 分析：（1）证明 ADC ABC 后利用全等三角形的对应角相等证得结论； （2）首先判定四边形BCDE 是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可 解答：

25、（1）证明：在ADC 和ABC 中， ， ADC ABC （SSS） ， 1=2； （2）四边形BCDE 是菱形； 证明： 1= 2， AC 垂直平分BD ， OE=OC， 四边形 DEBC 是平行四边形， ACBD ， 四边形 DEBC 是菱形 点评：本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大 16如图，在三角形纸片ABC 中， AD 平分 BAC ，将 ABC 折叠，使点A 与点 D 重合，展开后折痕分别交AB 、 AC 于点 E、F，连接 DE、DF求证：四边形AEDF 是菱形 考点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题） 专题：证明题 分析：由 B

26、AD= CAD ，AO=AO ， AOE= AOF=90 证AEO AFO，推出 EO=FO，得出平行四边 形 AEDF ，根据 EFAD 得出菱形AEDF 解答：证明： AD 平分 BAC BAD= CAD 又 EFAD ， AOE= AOF=90 在 AEO 和AFO 中 ， AEO AFO （ASA ） ， EO=FO 又 A 点与 D 点重合， AO=DO ， EF、AD 相互平分， 四边形 AEDF 是平行四边形 又 EFAD ， 平行四边形AEDF 为菱形 点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定， 线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点， 注意：对角线互相平分的四边形

27、是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形 17如图， 在四边形 ABCD 中，AD BC，AM BC，垂足为 M，AN DC，垂足为 N，若 BAD= BCD，AM=AN ， 求证：四边形ABCD 是菱形 考点：菱形的判定 专题：证明题 分析：首先证明 B=D，可得四边形ABCD 是平行四边形，然后再证明ABM ADN 可得 AB=AD ， 再根据菱形的判定定理可得结论 解答：证明： AD BC， B+BAD=180 ， D+C=180 ， BAD= BCD， B=D， 四边形 ABCD 是平行四边形， AM BC，AN DC， AMB= AND=90 ， 在ABM 和ADN 中， ，

28、ABM ADN （AAS ） ， AB=AD ， 四边形 ABCD 是菱形 点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形 18如图所示，已知：矩形ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，过点O 的直线 EF 与 AB、CD 的延长线分别交于点 E、F （1）求证： BOE DOF； （2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形AECF 是菱形？并证明你的结论 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质 专题：证明题 分析：（1）由矩形的性质：OB=OD ，AE CF 证得 BOE DOF； （2）当 EFAC 时，四边形AECF 是菱形根据已知条

29、件可证明四边形AECF 是平行四边形，当EFAC ，可根 据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定 解答：证明： （1）四边形ABCD 是矩形 OB=OD （矩形的对角线互相平分） AECF（矩形的对边平行） E=F， OBE=ODF BOE DOF（AAS ） ； （2）当 EFAC 时，四边形AECF 是菱形 证明：四边形ABCD 是矩形 OA=OC （矩形的对角线互相平分） 又 BOE DOF OE=OF 四边形 AECF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） EFAC ， 四边形 AECF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的

30、判定和性质和菱形的判定解答此题的关键是熟知矩形、菱 形、全等三角形的判定与性质定理 19如图，在 ?ABCD 中， EF 过 AC 的中点 O，与边 AD 、BC 分别相交于点E、F （1）试说明四边形AECF 是平行四边形； （2）当 EF 过 AC 的中点，且与AC 垂直时，试说明四边形AECF 是菱形 考点：菱形的判定；平行四边形的判定与性质 专题：证明题 分析：（1）要说明四边形AECF 是平行四边形， 我们可以通过说明AE=CF 、AECF 或 AO=CO 、EO=FO 证AOE COF 可得； （2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来加以说明 解答：解： （1）在平行四边形AB

31、CD 中， AD BC， EAC= FCA ， AEF= CFE 又 AO=OC ， AOE COF， OE=OF 四边形 AECF 是平行四边形； （对角线互相平分的四边形是平行四边形） （2）四边形AECF 是平行四边形，AC EF， 四边形 AECF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： 定义； 四边相等； 对角线互相垂直平分具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定 20如图，在矩形ABCD 中， E，F 分别为 AD ，BC 的中点，连结AF， DF，BE，CE，AF 与 BE 交于 G，DF 与 CE 交于 H

32、求证：四边形EGFH 为菱形 考点：菱形的判定；矩形的性质 专题：证明题 分析：根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF 是平行四边形，根 据平行四边形的性质，可得GF 与 EH、EG 与 FH 的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH 的形状，根据三角 形全等，可得EG 与 FG 的关系，根据菱形的定义，可得证明结论 解答：证明：在矩形ABCD 中 AD=BC ，且 E、F 分别是 AD 、BC 的中点， AE=DE=BF=CF 又 AD BC， 四边形 AECF 、BEDF 是平 行四边形 GFEH、EG FH 四边形 EGFH 是平行四边形 在AEG 和 FBG 中， ， AEG FBG （AAS ） EG=GB，AG=GF ， 在ABE 和 BAF 中 ， ABE BAF （SAS） ， AF=BE ， EG=GB=BE，AG=GF=AF， EG=GF， 四边形 EGFH 是菱形 点评：考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大