新版高中数学高考真题分类：考点25数列求和及综合应用.pdf

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1、温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点 25 数列求和及综合应用 一、选择题 1.（20xx新课标高考理科12）设AnBnCn的三边长分别为an，bn， cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,若 b1c1，b1c12a1，an1an，bn 1 cnan 2 ，cn 1 bnan 2 ，则（） A、Sn 为递减数列 B、Sn 为递增数列 C、S2n 1为递增数列，S2n为递减数列 D、S2n 1为递减数列，S2n为递增数列 【解析】 选B.因为 nn aa 1 ， 2 1 nn n ac b， 2 1

2、nn n ab c，所以 1 aan， 1n b 1n c 2 nn ac 2 nn ab 1 )( 2 1 )( 2 1 acbacb nnnnn 1n b)2( 2 1 2 111 acbac nnn ，注意到 111 2acb，所以 1 2acb nn . 于是 nnn CBA中， 边长 1 aCB nn为定值，另两边的长度之和为1 2acb nn为定值 . 因为 1n b 1n c 2 nn ac 2 nn ab )( 2 1 nn cb， 所以)() 2 1 ( 11 1 cbcb n nn ，当n时，有0 nn cb，即 nn cb，于是 nnn CBA 的边 nnC B的高 n

3、h随n增大而增大，于是其面积 nnnnn hahCBS 1 2 1 | 2 1 为递增数 列. 二、填空题 2. （20xx新课标高考理科14）若数列 n a的前n项和 3 1 3 2 nn aS，则 n a的通项公式是 n a_ 【解题指南】先利用 S1=a1求出 a1的值 , 再利用 Sn-Sn-1=an求出通项公式an. 【解析】 由 111 3 1 3 2 aaS，解得1 1 a，又 3 1 3 2 nn aS，所以 11 22 33 nnnnn SSaaa，得 1 2 n n a a ，所以数列 n a是首项为1，公比为2的 等比数列 . 故数列的通项公式 1 )2( n n a 【

4、答案】 1 )2( n 3.（20xx湖南高考理科15） 设 n S为数列 n a的前 n 项和， 1 ( 1), 2 n nn n SanN则 （1） 3 a_； （2） 12100 SSS_. 【解题指南】（1）令3n，4n代入即可得到答案. （2）通过 1 1 1 2 1 2 1 )1( 2 1 )1( n n n n n nnnaassa整理可发现当当 n为偶数时 有 1 1 2 1 n nn aa，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案. 【解析】 （1）因为 2 1 111 asa，所以 4 1 1 a， 8 1 33213 aaaas， 16 1 443214 aaaaas，即

5、16 1 321 aaa，把代入得 16 1 3 a. （2）因为当2n时， nn1 nnn1nn 1n 1 11 ass( 1) a( 1)a 22 n ，整理得 n n n n n aa 2 1 ) 1()1(1 (1 1 ，所以，当n为偶数时， n na 2 1 1 ， 当n为奇数时， n nn aa 2 1 2 1 ，所以 1 1 2 1 n n a， 所以 为奇数 为偶数， n n n n n a , 2 1 2 1 1 ，所以当n为偶数时， 11 2 1 nnn aa， 所以 3 3 2 21100994321 2 1 2 1 2 1 aaassssss )()()( 2 1 2

6、1 991003412 100 100 99 99 aaaaaaaa 2310035992100 11111111111 ()()() 22222222222 )1 2 1 ( 3 1 ) 2 1 1() 2 1 1 ( 3 2 2 1 1 ) 2 1 1( 2 1 4 1 1 ) 4 1 1 ( 2 1 100100100 10050 . 【答案】 （1） 16 1 （2）) 1 2 1 ( 3 1 100 4.（20xx重庆高考理科12）已知 n a是等差数列， 1 1a，公差0d， n S为其前n项和，若 1 a、 2 a、 5 a成等比数列，则 8 S 【解题指南】 先根据 1 a、

7、2 a、 5 a成等比数列求出数列的公差, 然后根据公式求 出 8 S. 【解析】 因为 1 a、 2 a、 5 a成等 1 比数列 , 1 1a所以dd41)1( 2 , 化简得dd2 2 因为0d, 所以2d, 故.64568 2 78 8 18 daS 【答案】64 三、解答题 5. （20xx大纲版全国卷高考理科22）已知函数 1 = ln 1. 1 xx fxx x （I ）若0,0,xfx时求 的最小值 ;； （II ）设数列 2 1111 1,ln 2. 234 nnnn aaaa nn 的通项证明： 【解析】 （I ） 2 2 )1( )21 ( )( x xx xf， 令0)

8、(xf，即0 )1( )21( 2 2 x xx ，解得0x或 21 x 若 2 1 ，则)21(20x时，0)(xf，所以0)(xf. 若 2 1 ，则0x时，( )00, 定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|. 数列 a1,a2,a3, 满足 an+1=f(a n),n N * . (1) 若 a1=-c-2, 求 a2及 a3. (2) 求证 : 对任意 nN * ,an+1-anc. (3) 是否存在a1, 使得 a1,a2, ,a n, , 成等差数列 ?若存在 , 求出所有这样的a1; 若不存在 , 说明理由 . 【解析】 (1)a2=2,a3=c+10. (2)f(x)

9、= 当 an -c 时, an+1-an=c+8c. 当-c-4 an-2(-c-4)-c-8=c; 所以 , 对任意 nN * ,an+1-anc. (3) 由(2), 结合 c0, 得 an+1an, 即an 为无穷递增数列, 又an 为等差数列 , 所以存在正数M,当 nM时,an-c, 从而 an+1=f(an)=an+c+8, 由于 an 为等差数列 , 因此其公差d=c+8. 若 a1-c, 所以 an+1=f(an)=an+c+8, 而 a2=a1+c+8, 故当 a1=-c-8 时,an 为无穷等差数列, 符合要求 . 若 -c-4 a12 时,a3=2-(a1-2)=4-a1

10、, 所以 a1(4-a1)=(2-a1) 2 , 得 a1=2-( 舍去 ) 或 a1=2+. 综合得a1=1 或 a1=2+. (3) 假设这样的等差数列存在, 那么 a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1|. 由 2a2=a1+a3得 2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*). 以下分情况讨论: 当 a12 时, 由(*) 得 a1=0, 与 a12 矛盾 ; 当 00, 因此存在m 2 使得 am=a1+2(m-1)2. 此时 d=am+1-am=2-|am|-ama1a9, 求 a1的取值范围 . 【解题指南】按等比中项列式,a3用通项表示 , 求出首项 , 第(2) 问, 直接

11、按基 本量列式求解. 【解析】 (1) 因为数列 an 的公差 d=1, 且 1,a1,a3成等比数列 , 所以 2 1 a=1 (a1+2), 即 2 1 a-a1-2=0, 解得 a1=-1 或 a1=2. (2) 因为数列 an的公差 d=1, 且 S5a1a9, 所以 5a1+10 2 1 a+8a1, 即 2 1 a+3a1-100, 解得 -5a12. 15. （20xx广东高考理科19）设数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 11 212 1, 33 n n S aann n ，nN. （1）求 2 a的值； （2）求数列 n a的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有

12、 12 1117 4 n aaa . 【解题指南】 本题以递推数列为背景，考查通项公式与前n项和的关系及不 等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用. 证明不等式的 过程中，放缩的尺度要拿捏准确. 【解析】 （1）因为 1 1a，在 2 1 212 33 n n S ann n 中令1n，可得 2 4a； （2） 由已知可得 32 1 12 2 33 nn Snannn， 即 1 (1 ) (2 ) 2 3 nn n nn Sna，则当2n 时， 1 (1) (1) 2(1) 3 nn nn n Sna，可得12(1)(1)nnnananan n，也就 是 1 (1)(1) nn

13、nanan n，同除以(1)n n可得 1 1 1 nn aa nn ，数列 n a n 是公差为1 的等差数列，且 1 1 1 a ，所以 n a n n ， 2 n an，显然 1 1a也满足 2 n an，即所求 通项公式为 2 n an. （3）当1n时， 2 1 117 1 14a 结论成立； 当2n时， 12 11157 1 444aa 结论成立； 当3n时， 2 11111 (1)1 n ann nnn，则 222 12 1111111 1 434 n aaan 1111 1 42334(1)n n 5111111 423341nn 717 44n ，即对一切nN， 12 111

14、7 4 n aaa 成立 . 16. （20xx广东高考文科19）设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S，满足 2 1 441, nn SannN且 2514 ,aaa构成等比数列 (1) 证明： 21 45aa； (2) 求数列 n a的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 n，有 12231 1111 2 nn a aa aa a 【解题指南】 本题以递推数列为背景，考查通项公式与前n项和的关系及不 等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用. 证明不等式的 过程中，放缩的尺度要拿捏准确. 【解析】 （1）当1n时， 22 1221 45,45aaaa，因为0 n a

15、，所以 21 45aa； （2）当2n时， 2 1 4411 nn San， 22 11 4444 nnnnn aSSaa， 2 22 1 442 nnnn aaaa， 因为 0 n a，所以 1 2 nn aa，当2n时， n a是公差2d的等差数列 . 因为 2514 ,aa a构成等比数列， 2 5214 aaa， 2 222 624aaa，解得 2 3a, 由（1）可知， 2 121 45=4,1aaa，又因为 21 312aa，则 n a是首项 1 1a, 公 差2d的等差数列 . 数列 n a的通项公式为21 n an. （3） 12231 1111111 1 33 55 7212

16、1 nn a aa aa ann 11111111111 (1)()()()(1). 23355721212212nnn 17.（20xx山东高考理科20）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2a n+1 （）求数列 an的通项公式； （） 设数列bn的前 n 项和 Tn，且 Tn+ 1 2 n n a = （为常数） ，令 cn=b2n， （nN）. 求数列 cn的前 n 项和 Rn. 【解题指南】 （） 先设出等差数列的首项和公差，然后根据 12,4 224nn aaSS 可列方程组求得数列的通项公式；（）先根据前n 项和与通项的关系求 出 n b的通项公式，

17、由cn=b2n求出c? n 的通项，再利用错位相减法求出Rn. 【解析】 （）设等差数列 na的首项为1a，公差为d， 由 12,4 224nn aaSS得 112212 ,4864 11 11 dnadna dada 解得2,1 1 da， 因此 * , 12Nnnan （）由题意知 1 2 nn n T， 所以2n时， 1nnn TTb= 121 2 2 2 1 2 nnn nnn 故 * 1 122 , 4 1 1 2 22 Nnn n bc n nnn 所以 13210 4 1 1 4 1 3 4 1 2 4 1 1 4 1 0 n n nR， 则 n n nR 4 1 1 4 1 3

18、 4 1 2 4 1 1 4 1 0 4 1 4321 ， 两式相减得 nn n nR 4 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 3 14321 nn n n n 4 1 3 31 3 1 4 1 1 4 1 1 4 1 4 1 整理得 1 4 13 4 9 1 nn n R， 所以数列 n c的前 n 项和 1 4 13 4 9 1 n n n R. 18.（20xx 山东高考文科20）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a2n=2an+1 （）求数列 an的通项公式； （）设数列 n b满足 * 2 2 1 1 , 2 1 1Nn a b a b a b

19、 n n n ，求 n b的前n项和 n T. 【解题指南】 （） 先设出等差数列的首项和公差，然后根据 12,4 224nn aaSS 可列方程组求得数列的通项公式；（）先根据 * 2 2 1 1 , 2 1 1Nn a b a b a b n n n 求 出 bn的通项公式 , 再利用错位相减法求出Tn. 【解析】 （）设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d， 由12,4 224nn aaSS得 112212 ,4864 11 11 dnadna dada 解得2,1 1 da， 因此 * , 12Nnnan （）由已知 * 2 2 1 1 , 2 1 1Nn a b a b a b

20、 n n n , 当1n时， , 2 1 1 1 a b 当2n时， nnn n n a b 2 1 2 1 1 2 1 1 1 ， 所以 * , 2 1 Nn a b n n n ， 由（）知 * ,12Nnnan， 所以 * , 2 12 Nn n b n n， 又 n n n T 2 12 2 5 2 3 2 1 32 ， 1432 2 12 2 32 2 5 2 3 2 1 2 1 nn n nn T， 两式相减得 1432 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 nnn n T， 11 2 12 2 1 2 3 nn n ， 所以 n n n T 2 32 3. 1

21、9. （20xx陕西高考文科17）设 S n 表示数列 n a的前n项和 . ( ) 若 n a是等差数列 , 推导Sn的计算公式 ; ( ) 若 1 1,0aq, 且对所有正整数n, 有 1 1 n n q S q . 判断 n a是否为等比数 列，并证明你的结论. 【解题指南】倒序相加法推导等差数列的前n 项和；利用 1 n nn 1 Sn1 a SSn2 ， ， 推导 n a的通项公式判断是否为等比数列. 【解析】 ( ) 设公差为d, 则dnaan) 1( 1， )()()()(2 111121 121 121 aaaaaaaaS aaaaS aaaaS nnnnn nnn nnn )

22、 2 1 ( 2 )( )(2 1 1 1 d n an aan SaanS n nnn . ( ) n a是等比数列 . 证明如下： 因为 n nnnn nnn n n q q qq q q q q SSa q q S 11 1 1 1 1 1 11 11 ， 又因为 1 1,0aq，所以当n1 时， 有, 1 1 q q q a a n n n n 因此 , n a数列是首项 1, 公比q0的等比数列 . 20.（20xx新课标高考文科17）已知等差数列 n a的前n项和 n S满 足0 3S，55S. （）求 n a的通项公式； （）求数列 1212 1 nn aa 的前 n项和 . 【

23、解题指南】（）利用0 3 S，5 5 S求出等差数列的首项及公差，利用 dnaan)1( 1求出 n a的通项公式； （）将（）中的通项公式，代入到 1212 1 nn aa 中，利用裂项相消法求前n 项和 . 【解析】 （）设数列 n a的公差为d，则d nn naSn 2 )1( 1 . 由已知可得 . 5105 , 033 1 1 da da 解得 1 1. 1. a d 故 n a的通项公式为nan2. （）由（）知 ) 12 1 32 1 ( 2 1 )21)(23( 11 1212 nnnnaa nn ， 从而数列 1212 1 nn aa 的前n项和为 ) 12 1 32 1 3 1 1 1 1 1 1 1 ( 2 1 nnn n 21 关闭 Word 文档返回原板块。