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1、1 1 专题十四推理与证明、新定义 1.【 20xx高考湖北 ，理9 】已知集 合 22 (, )1,Ax yxyx yZ， ( , ) | 2, | 2, ,Bx yxyx yZ，定义集合 12121122 (,) (,), (,)ABxxyyxyAxyB，则 AB 中元素的个数为（） A77 B49 C45 D30 【答案】 C 【解析】因为集合 22 ( ,)1, ,Ax yxyx yZ ，所以集合A中有 9 个元素（即9 个点），即 图中圆中的整点，集合( , ) | 2, | 2,Bx yxyx yZ中有 25 个元素（即25 个点） ：即图 中正方形ABCD中的整点，集合 1212
2、1122 (,) (,), (,)ABxxyyxyAxyB的元素可看 作正方形 1111 DCBA中的整点（除去四个顶点），即45477个. 【考点定位】1. 集合的相关知识，2. 新定义题型 . 【名师点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个 新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系 所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 2.【 20xx 高考广东， 理 8】 若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（） A 大于 5 B. 等于 5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 【答案】C 【解析
3、】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即3n或4n时命题成立， 由此可排除A、B、D，故选C 【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断 【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断， 此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时 所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案C，由于3n时易知正三角 形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除A、B，又当4n时易知正四面体的四个顶点 也是两两距离相等的从而可以排除D 3.【20xx 高考浙江，理6】设A，B是有限集，定义( ,)()()d
4、 A Bcard ABcard AB， 其中()card A表示有限集A 中的元素个数，命题：对任意有限集A，B，“AB”是 “ (,)0d A B”的充分必要条件； 命题：对任意有限集A，B，C，( ,)( ,)( ,)d A Cd A Bd B C， （） A. 命题和命题都成立 B. 命题和命题都不成立 C. 命题成立，命题不成立 D. 命题不成立，命题成立 【答案】 A. 【考点定位】集合的性质 【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关 概念与已知的集合相关知识点的结合，即可知命题正确，同时注重数形结合思想的运用， 若用韦恩图表示三个集合A，B，
5、C，则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确 定集合中元素个数大小的比较. 4. 【20xx 高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图 描述了甲、乙、丙 三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（） A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以80 千米 / 小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油 D某城市机动车最高限速80 千米 / 小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 D 【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1 升汽油
6、，最 多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误； B中以相同速度行驶相同路程，甲 燃油效率最高，所以甲最省油，B错误， C中甲车以80 千米 / 小时的速度行驶1 小时，甲 车每消耗1 升汽油行驶的里程10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油， C错误， D中某城市机动 车最高限速80 千米 / 小时 . 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用 乙车更省油 , 选 D. 考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数 图象的理解 . 【名师点睛】本题考查对新定义“燃油效率”的理解和读图能力，本题属于中等题，有能力 要求，贴近学生生活，要求按照
7、“燃油效率”的定义，汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，可 以断定“燃油效率”高的车省油，相同的速度条件下，“燃油效率”高的汽车，每消耗1 升 汽油行驶的里程必然大，需要学生针对四个选择只做出正确判断. 5. 【20xx 高考福建，理15】一个二元码是由0 和 1 组成的数字串 * 12n x xxnN，其中 1,2, k xkn称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生 码元错误 （即码元由0 变为 1，或者由 1 变为 0） ，已知某种二元码 127 x xx的码元满足如下 校验方程组： 4567 2367 1357 0, 0, 0, xxxx xxxx xxxx 其中运
8、算定义为：000,011,101,110 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用 上述校验方程组可判定k等于 【答案】5 【考点定位】推理证明和新定义 【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的 特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的 6. 【20xx 高考山东，理11】观察下列各式： 00 1 4C 011 33 4CC 0122 555 4 ;CCC 01233 7777 4CCCC 照此规律，当nN时， 0121 21212121 n nnnn CCCC . 【答案】
9、 1 4 n 【考点定位】1、合情推理； 2、组合数 . 【名师点睛】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意 在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归 纳、总结出一般的规律，从而得到结论. 此题属基础题 . 7. 【20xx 江苏高考， 23】 （本小题满分10 分） 已知集合3 ,2 , 1X，)(,3 ,2, 1 * NnnYn，,),(abbabaSn 整除或整除 n YbXa,，令( )f n表示集合 n S所含元素的个数. （ 1）写出(6)f的值； （ 2）当6n时，写出( )f n的表达式，并用数学归纳法证明.
10、 【答案】（1） 13（2） 2,6 23 11 2,61 23 2 2,62 23 1 2,63 23 1 2,64 23 12 2,65 23 nn nnt nn nnt nn nnt fn nn nnt nn nnt nn nnt 【解析】 试题分析： （1） 根据题意按 a分类计数：1,1,2,3,4,5,6;ab2,1,2,4,6;ab3,1,3,6;ab 共 13 个（ 2）由（ 1）知1,1,2,3, ;abn2,1,2,4,2 ;abk * 3,1,3,3 ;()abk kN，所 以当6n时，( )f n的表达式要按236除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行 证明 试题
11、解析：（1）613f 2,1k ， 3,1k 中产生，分以下情形讨论： 1）若16kt，则615kt，此时有 12 1323 23 kk fkfkk 11 12 23 kk k，结论成立； 2）若161kt，则6kt，此时有1121 23 kk fkfkk 1111 12 23 kk k，结论成立； 3）若162kt，则61kt，此时有 11 1222 23 kk fkfkk 12 1 12 23 k k k，结论成立； 4）若163kt，则62kt，此时有 2 1222 23 kk fkfkk 11 1 12 23 k k k，结论成立； 5）若164kt，则63kt，此时有 1 1222
12、23 kk fkfkk 111 12 23 kk k，结论成立； 6）若165kt，则64kt，此时有 1 1121 23 kk fkfkk 1112 12 23 kk k，结论成立 综上所述，结论对满足 6n 的自然数 n均成立 【考点定位】计数原理、数学归纳法 【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： 归纳奠基：证明当取第一个自然数 0 n时命题成立； 归纳递推：假设 nk，(kN， 0 kn) 时，命题成立，证明当 1nk时，命题成立； 由得出结论 8. 【 20xx高 考 北 京 ， 理20 】 已 知 数 列 n a满 足 ： * 1 aN， 1 36a ，
13、且 1 218 23618 nn n nn aa a aa ， ， 1 2n， ， 记集合 * | nManN （）若 1 6a，写出集合M 的所有元素； （）若集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3 的倍数； （）求集合M 的元素个数的最大值 【答案】（1）6,12,24M， （2）证明见解析， （3）8 【解析】（）由已知 1 218 23618 nn n nn aa a aa ， ， 可知： 1234 6,12,24,12,aaaa 6,12,24M （）因为集合M存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设 k a是3 的倍数，由已知 1 218 23618 nn n n
14、n aa a aa ， ， ，可用用数学归纳法证明对任意nk， n a是3 的倍数，当 1k时，则M 中的所有元素都是3 的倍数，如果1k时，因为 1 2 kk aa或 1 236 k a，所以 1 2 k a是 3 的倍数， 于是 1k a是 3 的倍数， 类似可得， 21 , k aa都 是 3 的倍数，从而对任意1n， n a是 3 的倍数，因此M 的所有元素都是3 的倍数 . 考点定位： 1. 分段函数形数列通项公式求值；2. 归纳法证明；3. 数列元素分析 . 【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求 值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，
15、考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力， 本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生. 【20xx 高考上海，理23】对于定义域为R的函数g x，若存在正常数，使得cosg x是 以为周期的函数，则称g x为余弦周期函数，且称为其余弦周期. 已知fx是以为 余弦周期的余弦周期函数，其值域为R. 设fx单调递增，00f，4f. （1）验证sin 3 x h xx是以6为周期的余弦周期函数； （2）设ba证明对任意,cfafb，存在 0 ,xa b，使得 0 fxc； （3）证明：“ 0 u为方程cos1fx在0,上得解”的充要条件是“ 0 u为方程 cos1fx在,2上有解”
16、，并证明对任意0,x都有fxfxf. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析 （2） 由于fx的值域为R， 所以对任意,cfafb，c都是一个函数值， 即有 0 Rx， 使得 0 fxc. 若 0 xa，则由fx单调递增得到 0 cfxf a，与,cfafb 矛盾，所以 0 xa. 同理可证 0 xb. 故存在 0 ,xa b使得 0 fxc. （3）若 0 u为cos1fx在0,上的解，则 0 cos1f u，且 0 ,2u， 00 coscos1f uf u，即 0 u为方程cos1fx在,2上的解 . 同理，若 0 u为方程cos1fx在,2上的解，则 0 u为该方程在0,上
17、的解 . 以下证明最后一部分结论. 由（ 2）所证知存在 01234 0xxxxx，使得 i fxi，0i，1，2，3，4. 而 1 , ii x x是函数cosfx的单调区间，0i，1，2，3. 与之前类似地可以证明： 0 u是cos1fx在0,上的解当且仅当 0 u是 cos1fx在,2上的解 . 从而cos1fx在0,与,2上的解的个数相同. 故4 ii fxfx，0i，1，2，3，4. 对于 1 0,xx，0,fx，4 ,5fx， 而coscosfxfx，故4fxfxfxf. 类似地，当 1 , ii xx x，1i，2，3时，有fxfxf. 结论成立 . 【考点定位】新定义问题 【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可. 二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性 质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质. 三是 考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.