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1、1 / 6 经济数学基础 积分学 一、单项选择题 1在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4 ）的曲线为（ A） Ay = x 2 + 3 2.若 1 0 d)2(xkx = 2 ，则 k = （A）A1 3下列等式不成立的是（D） D ) 1 d(dln x xx 4若cxxf x 2 ed)( ，则 )(xf =（D）. D. 2 e 4 1 x 5.)d(e x x（ B） B cx xx ee 6.若cxxf xx 11 ede)( ，则 f ( x) = （C） C 2 1 x 7. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) B )()(d)(aFxF
2、xxf x a 8 下列定积分中积分值为0 的是（A） A x xx d 2 ee 1 1 9 下列无穷积分中收敛的是（C） C 1 2 d 1 x x 10设R( q)=100-4 q，若销售量由10 单位减少到5 单位，则收入R 的改 变量是（ B） B-350 11下列微分方程中，（D）是线 D xyyxy x lnesin 12 微分方程 0)()( 432 xyyyy 的阶是（C） C. 2 13在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 3 ）的曲线为（ C） C2 2 xy 14 下列函数中，（C）是 2 sin xx 的原函数 C 2 cos 2 1 xx 15 下列等式不
3、成立的是（D） D ) 1 d(dln x xx 16若 cxxf x 2 ed)( ，则 )(xf =（D） D. 2 e 4 1 x 17. )d(e x x （ B ） B cx xx ee 18.若cxxf xx 11 ede)( ，则f (x) = （ C） C 2 1 x 19. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) B )()(d)(aFxFxxf x a 20下列定积分中积分值为0 的是（ A ）Ax xx d 2 ee 1 1 21 下列无穷积分中收敛的是（C） C 1 2 d 1 x x 22 下列微分方程中，（D）是线性微分方程 D xyyxy
4、x lnesin 23微分方程0)()( 432 xyyyy的阶是（C） C. 2 24. 设函数 x xx xf cos1 sin )( 2 ，则该函数是（ A ）.A. 奇函数 25.若 42) 1( 2 xxxf ， 则 )(xf (A) A. 22x 26.曲 线)s i n( 2 1 xxy在0x处 的 切 线 方 程 为 ( A Axy 27. 若)(xf的一个原函数是 x 1 , 则)(xf=（D）D 3 2 x 28. 若cxxxf x22e d)(则)(xfC. )1 (e2 2 xx x 二、填空题 1 x x ded 2 x x de 2 2函数xxf2sin)(的原函数
5、是 - 2 1 cos2x + c ( c 是任意常数 ) 3若cxxxf 2 )1(d)(，则)(xf)1(2 x. 4 若cxFxxf )(d)(则xf xx )de(e = cF x )e( . 5 e 1 2 dx)1ln( d d x x 0. 6 1 1 22 d )1( x x x 0 7无穷积分 0 2 d ) 1( 1 x x 是收敛的 （判别其敛散性） 8设边际收入函数为R( q) = 2 + 3q，且 R (0) = 0，则平均收入函数 为 2 + q 2 3 9. 0e)( 23 yy x 是 2 阶微分方程 . 10微分方程 2 xy 的通解是 c x y 3 3 1
6、1 x x ded 2 x x de 2 12 _d)cos(xx。答案： cxcos 13函数 f (x) = sin2x 的原函数是x2cos 2 1 14 若cxxxf x 32d)(， 则)(xf答 案 ： 32ln2 x 15若cxFxxf )(d)(，则xxfx)d1 ( 2 =. 2 / 6 答案： cxF)1( 2 1 2 16 e 1 2 dx) 1ln( d d x x . 答案： 0 17 1 1 2 d )1( sin x x x 答案： 0 18无穷积分 0 - dex x 是答案： 1 19.0e)( 23 yy x 是阶微分方程 . 答案：二阶 20微分方程 2
7、xy的通解是 答案： cxy 3 3 1 21.函数 2 4 ) 2ln( 1 )(x x xf 的定义域是 (-2,-1)U(-1,2 22.若2 2sin sin lim 0 x mx x ，则m4 23.已知 x xxf3)( 3 ，则 )3(f =27+27 ln3 24.若函数 )(xf 在 0x 的邻域内有定义， 且 , 1)0(,0)0(ff 则 x xf x )( lim 0 1. 25.若 2d 0 xe kx , 则k-1/2 ( 三) 判断题 1、e) 1 1(lim 0 x x x . ( ) 12.若 函 数)(xf在 点 0 x 连 续 ， 则 一 定 在 点 0
8、x 处 可 微 . ( ) 13.已知xxxftan)(，则)(xf= xx 2 cos 1 2 1 （） 14、18220d 20 2 x. （ ）. 15.无穷限积分 0 dsinxx 是发散的 . ( 三、计算题 x x x d 1 sin 2 解 c xxx x x x 1 cos) 1 (d 1 sind 1 sin 2 2 x x x d2 2解 cx x xxx x 2 2ln 2 )(d22 d2 3 xxxdsin 3解cxxxxxxxxxx sincosdcoscosdsin 4 xxxd1)ln( 4解 xxxd1)ln( = x x x xxd 1)( 2 1 ln1)
9、( 2 1 2 2 = cx x xxx 4 )ln2( 2 1 2 2 5 x xx d)e1 (e 3ln 0 2 5解 x xx d)e1 (e 3ln 0 2 = 3ln 0 2 )ed(1)e1( xx = 3ln 0 3 )e1( 3 1x = 3 56 6 x x x d ln e 1 6解 )(lnd2ln2)2(dlnd ln e 1 e 1 e 1 e 1 xxxxxxx x x e 1 2d 2 e2x x 4d 2 e2 e 1 x x 7 2 e 1 1 d 1ln x xx 7解 x xx d ln1 1 2 e 1 = )lnd(1 ln1 1 2 e 1 x x
10、 = 2 e 1 ln12x=) 13(2 8 xxxd2cos 2 0 8解 xxxd2cos2 0 = 2 0 2sin 2 1 xx - xxd2sin 2 1 2 0 = 2 0 2cos 4 1 x = 2 1 9 xxd) 1ln( 1e 0 3 / 6 9解法一x x x xxxxd 1 )1ln(d)1ln( 1e 0 1e 0 1e 0 =x x d) 1 1 1(1e 1e 0 = 1e 0 )1ln(1exxeln=1 解法二令1xu，则 u u uuuuuxxd 1 lndlnd)1ln( e 1 e 1 e 1 1e 0 = 11eee e 1 u 10求微分方程1
11、2 x x y y 满足初始条件 4 7 )1(y 的特 解 10解因为 x xP 1 )( ， 1)( 2 xxQ 用公式 d1)e(e d 1 2 d 1 cxxy x x x x d1)e(e ln2ln cxx xx x cxx c xx x24 24 1 324 由 4 7 12 1 4 1 )1( 3 c y ， 得 1c 所以，特解为 x xx y 1 24 3 11求微分方程 0 e 3 2 y y xy 满足初始条件 3)1(y 的 特解 11解将方程分离变量： xyy xy dede 3 2 等式两端积分得c xy3 e 3 1 e 2 1 2 将初始条件3) 1(y代入，
12、得 c 33 e 3 1 e 2 1 ，c = 3 e 6 1 所以，特解为： 33 ee2e3 2 xy 12求微分方程x x y yln 满足1 1x y的特解 . 12解： 方程两端乘以 x 1 ，得 x x x y x yln 2 即 x x x yln )( 两边求积分，得 c x xxx x x x y 2 ln )(lndlnd ln 2 通解为： cx xx y 2 ln 2 由 1 1x y ，得1c 所以，满足初始条件的特解为： x xx y 2 ln 2 13求微分方程yyxylntan的通解 13解将原方程分离变量xx yy y dcot ln d 两端积分得 lnln
13、y = lnC sin x 通解为 y = e C sinx 14求微分方程 x x yyx ln 的通解 . 14. 解将原方程化为： x y x y ln 11 ，它是一阶线性微分方程， x xP 1 )( ， x xQ ln 1 )( 用公式 ( )d( )d e( )ed P xxP xx yQ xx c de ln 1 e d 1 d 1 cx x x x x x de ln 1 e lnln cx x xx d ln 1 cx xx x )ln(lncxx 15求微分方程 yxy2 的通解 15解 在微分方程yxy2中，xxQxP2)(,1)( 由通解公式 )de2(e)de2(e
14、 dd cxxcxxy xx xx )e2e2(e)de2e2(ecxcxx xxxxxx )e22( x cx 16求微分方程xxyyxsin的通解 16解：因为 x xP 1 )( ，xxQsin)(，由通解公式得 4 / 6 )desin(e d 1 d 1 cxxy x x x x =)desin(e lnln cxx xx = )dsin( 1 cxxx x = )sincos( 1 cxxx x 17 x x x d sin 解 xxx x xx x x dsin2d 2 1 sin2d sin = cxcos2 x x d 2 1 = xd 18 x x x d e 2 1 解：
15、 ) 1 d(e)d 1 (ed e 1 2 1 2 1 x x x x x xx x c x 1 e) 1 (d)d 1 ( 2 x x x 19 x xx d ln1 1 解： )d(ln ln1 1 d 1 ln1 1 d ln1 1 x x x xx x xx )lnd(1 ln1 1 x x cxln12 ) 1 (d)d 1 ( 2 x x x 20 xxxdln e 1 解： e 1 22 e 1 2 e 1 2 e 1 4 1 e 2 1 d 1 2 1 ln 2 1 dlnxx x xxxxxx =)1e( 4 12 （答案： 21 xxxdln e 1 2 解： 9 1 e
16、 9 2 9 1 e 3 1 d 1 3 1 ln 3 1 dln 3 e 1 33 e 1 3 e 1 3 e 1 2 xx x xxxxxx 22xxxdcos 2 0 解 xxxdcos 2 0 = 2 0 sin xx 2 0 2 0 cos 2 dsinxxx 2 23 45 86 lim 2 2 4 xx xx x 3 2 14 24 1 2 lim )1)(4( )2)(4 lim 44 x x xx xx xx （ 解：原式 24. x x x 2sin 11 lim 0 4 1 1 2 1 2 1 2 2sin lim 2 1 11 1 lim ) 11 1 2sin (li
17、m 2sin)11 )1111 lim 0 0 00 x x x xx x xx xx x x xx （ ）（ 解：原式 25 x x x x ) 3 1 (lim e x x x x x x x x xx 4 3 1 4 lim 4 3 3 1 4 4 3 ) 3 4 1(lim ) 3 4 1(lim) 3 4 1(lim 经 经 解：原式 26设xxxycosln，求yd dx x x xdy x x x x x xxxxxxy ) cos sin 2 3 ( cos sin 2 3 cos )(cos 2 3 )cos(ln)()cosln( 2 1 2 1 2 1 2 3 解： 27
18、.设 x xy 1 sin 2ln，求y. 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 11 cos2ln2 2 111 cos2ln2 2 11 1 sin2ln2)2()(ln)2(ln xxxxxxx x x x xxy xx xxx 解： 28设 )(xyy 是由方程 xy yxyxe13 22 确定的隐函数 , 求 y . xxe yeyx y yxyeyyyxyx xyeyyyxyx eyxyx xy xy xy xy xy 3 32 2332 02332 13x 22 求导得：解：方程两边对 29设 )(xyy 是由方程 yx yxye1)cos( 2 确定的
19、隐 函数 ,求yd. 5 / 6 yx yx yx yx yx yx xyxy xyy y yyyyxyxy yxyyxyxy yxy yxy esin2 )sin(e 1e02)sin( e12)sin( e1)cos( e1)cos(x 2 2 求导得：解：方程两边对 30.xxd)21( 10 Cxxdx 1110 21 11 1 2 1 2121 2 1 解：原式 31. Cx xxx x x 2 1 2 1 e52e5de5d e5 e 32. Cxxdxx x x sin2cos2d cos 33. Cxxx cxxxxdxxxxxdxdxx 2cos 4 1 2sin 2 1 2
20、cos 2 1 2sin 2 1 2sin2sin 2 1 2sin 2 1 2cos 34. 2 7 1ln51 10 1 ln51 10 1 ln51 10 1 ln51ln51 5 1 lnln51d ln51 22 1 2 e 1 e 1 e 1 e xxdxxdxx x x e 35. ee x x x xx x 2 1 11 2 1 2 1 2 1 e 1 ded e 36. 1sin0dcoscosdcosdsin 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 xxxxxxxxxx 37. 1ddlnlndln 1 e 1 e 1 1 e 1 ee xexexxxxxxx 四、应用题
21、1 投产某产品的固定成本为36(万元) ，且边际成本为)(xC=2x + 40( 万元 / 百台 ). 试求产量由4 百台增至6 百台时总成本的增量，及产量为多少 时，可使平均成本达到最低. 1 解当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为 6 4 d)402(xxC = 6 4 2 )40(xx = 100（万元） 又 x cxxC xC x 0 0d)( )( = x xx3640 2 = x x 36 40 令 0 36 1)( 2 x xC ， 解得6x. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6 百台时可使平均成本达到最小. 2 已知某产
22、品的边际成本C( x)=2（元 / 件），固定成本为0，边际收益 R (x)=12-0.02 x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上 再生产 50 件，利润将会发生什么变化？ 2解因为边际利润 )()()(xCxRxL =12-0.02 x 2 = 10-0.02x 令 )(xL = 0 ，得 x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值 . 所以，当产量为500 件 时，利润最大 . 当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为 550 500 2 550 500 )01.010(d)02.010(xxxxL =500 - 525 = - 25 （元
23、） 即利润将减少25 元. 3 生 产 某 产 品 的 边 际 成 本 为C( x)=8x( 万 元 / 百 台 ) ， 边 际 收 入 为 R(x)=100-2 x（万元 /百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润 最大？从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？ 3. 解L( x) =R( x) -C( x) = (100 2 x) 8 x =100 10 x 令L( x)=0, 得 x = 10 （百台） 又 x = 10是 L( x) 的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10 是 L(x) 的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 xxxxLLd)101
24、00(d)( 12 10 12 10 20)5100( 12 10 2 xx 4已知某产品的边际成本为34)(xxC( 万元/ 百台 ) ，x 为产量 ( 百台) ，固定成本为18(万元) ，求最低平均成本. 4 解：因为总成本函数为 6 / 6 xxxCd)34()( =cxx32 2 当 x= 0 时， C (0)= 18 ，得 c =18 即C ( x)=1832 2 xx 又平均成本函数为 x x x xC xA 18 32 )( )( 令 0 18 2)( 2 x xA ， 解得 x = 3( 百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成 本最低 . 最
25、底平均成本为 9 3 18 332)3(A ( 万元/ 百台) 5设生产某产品的总成本函数为xxC3)( 万元) ，其中 x为产 量，单位：百吨销售x 百吨时的边际收入为xxR215)( （万元 / 百吨），求： (1) 利润最大时的产量； (2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？ 5 解 ： (1) 因 为 边 际 成 本 为 1)(xC ， 边 际 利 润 )()()(xCxRxL = 14 2x 令0)(xL，得 x= 7 由该题实际意义可知，x= 7 为利润函数 L( x) 的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7 百吨时利润最大 . (2) 当产量由
26、 7百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为 8 7 2 8 7 )14(d)214(xxxxL =11264 98 + 49 = - 1 （万元） 即利润将减少1 万元. 6投产某产品的固定成本为36(万元 ) ，且边际成本为)(xC=2x + 40( 万 元/百台 ). 试求产量由4 百台增至6 百台时总成本的增量，及产量为多少 时，可使平均成本达到最低. 解当产量由 4 百台增至 6百台时，总成本的增量为 6 4 d)402(xxC = 6 4 2 )40(xx = 100（万元） 又 x cxxC xC x 0 0d)( )( = x xx3640 2 = x x 36 40 令 0 36
27、 1)( 2 x xC ， 解得6x. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6 百台时可使平均成本达到最小. 7已知某产品的边际成本为34)(xxC( 万元/ 百台) ，x 为产量 ( 百台) ，固定成本为18( 万元) ，求最低平均成本 . 解：因为总成本函数为 xxxCd)34()( = cxx32 2 当 x= 0 时，C(0)= 18 ，得 c =18 即 C( x)= 1832 2 xx 又平均成本函数为 x x x xC xA 18 32 )( )( 令 0 18 2)( 2 x xA ， 解得 x = 3( 百台 ) 该题确实存在使平均成本
28、最低的产量. 所以当 x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 9 3 18 332)3(A ( 万元/ 百台) 8 生产某产品的边际成本为C(x)=8x( 万元 / 百台 ) ，边际收入为 R ( x)=100-2 x（万元 / 百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利 润最大？从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？ 解 ： 已 知C( x)=8x( 万 元 / 百 台 ) ，R( x)=100-2 x ， 则 xxL10100)( 令 0)(xL ，解出唯一驻点10x 由该题实际意义可知，x= 10 为利润函数L( x) 的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为10 百
29、台时利润最大 . 从利润最大时的产量再生产2百台，利润的改变量为 20220200)5100(d)10100( 12 10 2 12 10 xxxxL （万元） 即利润将减少20 万元. 9设生产某产品的总成本函数为xxC3)( 万元) ，其中 x 为产量， 单位：百吨销售x 百吨时的边际收入为 xxR215)( （万元/ 百 吨），求： (1) 利润最大时的产量； (2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 1)(xC ，边际利润 )()()(xCxRxL = 14 2 x 令0)(xL，得 x= 7 由该题实际意义可知，x= 7为利润函数L(x) 的极大值点，也是最大 值点 . 因此，当产量为7 百吨时利润最大 . (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为 8 7 2 8 7 )14(d)214(xxxxL =11264 98 + 49 = - 1 （万元） 即利润将减少1 万元.