《高考数学第一轮复习---指数与对数函数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学第一轮复习---指数与对数函数.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 1 页 共 16 页 2007 年高考数学第一轮复习-指数与对数函数 一、指数与对数运算： （一）知识归纳： 1根式的概念： 定义：若一个数的n次方等于), 1(Nnna且 ，则这个数称a的n次方根 .即，若 ax n ，则x称a的n次方根)1Nnn且， 1）当n为奇数时，na的次方根记作 n a； 2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记 作 )0(aa n . 性质： 1）aa nn )(；2）当n为奇数时，aa nn ； 3）当n为偶数时， )0( )0
2、( | aa aa aa n 2幂的有关概念： 规定： 1）naaaa n (N * ， 2）)0( 1 0 aa， n个 3）p a a p p ( 1 Q，4）maaa nm n m ,0(、nN * 且)1n 性质： 1）raaaa srsr ,0( 、sQ） ， 2）raaa srsr ,0()( 、sQ） ， 3）rbababa rrr ,0,0()(Q） （注）上述性质对r、sR 均适用 . 3对数的概念： 定义：如果) 1,0(aaa且的 b 次幂等于N，就是Na b ，那么数 b称以a为底 N 的对数，记作,logbN a 其中a称对数的底， N 称真数 . 地址：西安经济技术
3、开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 2 页 共 16 页 1）以 10 为底的对数称常用对数，N 10 log记作Nlg， 2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，N e log记作Nln 基本性质： 1）真数 N 为正数（负数和零无对数），2）01loga ， 3）1log a a ，4）对数恒等式：Na N a log 运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则 1）NMMN aaa loglog)(log； 2）NM N M aaa logloglog； 3）nMnM a n a (loglogR）. 换底公式：),0, 1,0
4、, 0, 0( log log logNmmaa a N N m m a 1）1loglogab ba ，2）.loglogb m n b a n am （二）学习要点： 1bNNaaN a bn log,（其中1,0,0aaN）是同一数量关系的三种不 同表示形式， 因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运 算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底. 2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换 技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常 使用的变换技巧，必须通过各种
5、题型的训练逐渐积累经验. 【例 1】解答下述问题： （1）计算： 25. 0 2 1 2 1 3 2 5 .0 3 2 0625.0)32.0()02.0()008.0() 9 4 5() 8 3 3( 解析 原式 = 4 1 3 2 2 1 3 2 ) 10000 625 ( 10 24 50) 8 1000 () 9 49 () 27 8 ( 9 2 2)2 9 17 ( 2 1 10 24 25 1 25 3 7 9 4 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 3 页 共 16 页 （2）计算 1.0lg 2 1 036.0lg
6、 2 1 600lg )2(lg8000lg5lg 23 . 解析 分子 =3)2lg5(lg2lg35lg3)2(lg3)2lg33(5lg 2 ； 分母 =4 100 6 lg26lg 10 1 1000 36 lg)26(lg； 原式 = 4 3 . （3）化简： .) 2 ( 24 8 53 323 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3 4 aa aa a b a aabb baa 解析 原式 = 5 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 )( )(2 )2()2()( )2()( aa aa a
7、ba bbaa baa 2 3 2 3 1 6 1 6 5 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 )2(aaaa a a ba a baa. （4）已知：36log, 518,9log 3018 求 b a值. 解析 ,5log, 518 18 b b ab a b22 )2(2 )3log18(log )9log18(log1 6log5log 2log18log 36log 1818 1818 1818 1818 30 . 评析 这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高， 但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则， 以及学
8、 习数式变换的各种技巧. 【例 2】解答下述问题： （1）已知1log2loglogxxxx bca 且， 求证： b a acc log2 )( 解析 0log, 1, log log2 log log logxx b x c x x a a a a a a ， 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 4 页 共 16 页 2 loglog)1(loglog2 log 2 log 1 1cbcc bc aaaa aa = bb aaa aa accacbac log2log )()(loglog)(log （2）若0 lglg )l
9、g( lg lglg lg lglg 2 yx yx y yx x yx ，求)(log 2 xy的值 . 解析 去分母得0)lg()lg(lg 22 yxyx 1 1 0)lg( 0lglg yx xy yx yx ， x、 y是二次方程01 2 tt的两实根，且yxyxyx, 1, 1,0,0，解 得 2 51 t， 0)(log, 2 15 , 2 15 ,0 2 yxyxx 评析 例 2 是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多 从这种练习中积累经验. 二、指数函数与对数函数 （一）学习要点： 1指数函数： 定义：函数 ) 1, 0(aaay x 且 称指数函
10、数， 1）函数的定义域为R，2）函数的值域为),0(， 3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数. 函数图像： 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 5 页 共 16 页 1）指数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、二象限， 2）指数函数都以x轴为渐近线（当10a时，图象向左无限接近x轴，当1a时， 图象向右无限接近x轴） ， 3）对于相同的) 1, 0(aaa且，函数 xx ayay与的图象关于y轴对称 . 函数值的变化特征： 2对数函数： 定义：函数 )1, 0(logaaxy a 且 称对数函数， 1）函数
11、的定义域为),0(，2）函数的值域为R， 3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数， 4）对数函数xy a log与指数函数)1, 0(aaay x 且互为反函数 . 1）对数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、四象限， 2）对数函数都以y轴为渐近线（当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时， 图象向下无限接近y轴） . 4）对于相同的) 1, 0(aaa且，函数xyxy a a1 loglog与的图象关于x轴对称 . 函数值的变化特征： 10a1a 100yx时， 10yx时， 10yx时 10yx时， 10yx时， 100yx时 ， 10a1a 01yx时， 01yx
12、时， 010yx时. 01yx时， 01yx时， 100yx时. 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 6 页 共 16 页 （二）学习要点： 1解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质， 更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识. 2指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12 个小点）是解决含指数、对 数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要 结合指数、对数的特殊值共同分析. 3含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解
13、决这类问题的最基本的分类 方案是以“底”大于1 或小于 1 分类 . 4在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函 数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合 问题等等，因此要努力提高综合能力. 【例 1】已知 1 1 log)( x mx xf a 是奇函数（其中)1,0 aa， （1）求m的值； （2）讨论)(xf的单调性； （3）求)(xf的反函数)( 1 xf ； （4）当)(xf定义域区间为)2, 1(a时，)(xf的值域为), 1(，求a的值 . 解析 （1）0 1 1 log 1 1 log 1 1 log)()
14、( 2 22 x xm x mx x mx xfxf aaa 对定义域内的任意x恒成立， 10)1(1 1 122 2 22 mxm x xm ， 当) 1(0)(1xxfm时不是奇函数，1m， （2） , 1 1 log)( x x xf a 定义域为), 1()1,(， 求导得e x xf a log 1 2 )( 2 ， 当1a时，)(,0)(xfxf在), 1()1,(与上都是减函数； 当10a时，), 1() 1,()(, 0)(与在xfxf上都是增函数； （另解）设 1 1 )( x x xg，任取11 1221 xxxx或， 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座
15、10 层电话： 029-86570103 第 7 页 共 16 页 0 ) 1)(1( )(2 1 1 1 1 )()( 21 12 1 1 2 2 12 xx xx x x x x xgxg， )()( 12 xgxg，结论同上； （3） 1 1 1)1( 1 1 1 1 log y y yyy a a a xaxa x x a x x y， )10,0( 1 1 )(,0,01 1 aax a a xfya x x y 且 （4）)2, 1()(, 3, 21axfaax在上为减函数， 命题等价于1)2(af，即0141 3 1 log 2 aa a a a ， 解得32a. 评析 例 1
16、 的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基 本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验. 【例 2】对于函数 )32(log)( 2 2 1 axxxf，解答下述问题： （1）若函数的定义域为R，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R，求实数a 的取值范围； （3）若函数在), 1内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1 ,(，求实数a 的值； （5）若函数的值域为 1,(，求实数a 的值； （6）若函数在 1 ,(内为增函数，求实数a 的取值范围 . 解答 记 222 3)(32)(aaxaxxxgu， （1）Rxu
17、对0恒成立，3303 2 min aau， a的取值范围是)3,3(； （2）这是一个较难理解的问题。从“x a log的值域为R” ，这点思考，“u 2 1 log的值域 为 R”等价于“)(xgu能取遍), 0(的一切值”，或理解为“)(xgu的值域包 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 8 页 共 16 页 含 了区间),0(” )(xgu的值域为),0(),3 2 a 命题等价于3303 2 min aaau或， a 的取值范围是),33,(； （3）应注意“在), 1内有意义”与定义域的概念是不同的， 命题等价于“),
18、10)(xxgu对恒成立”，应按)(xg的对称轴ax0分类， 33 1 2 1 0124 1 0)1( 1 2 a a a a a a g a 或或， a的取值范围是)3,2(； （4）由定义域的概念知，命题等价于 不等式032 2 axx的解集为 31|xxx或， 3, 1 21 xx是方程032 2 axx的两根， , 2 3 2 21 21 a xx axx 即 a 的值为 2； （5）由对数函数性质易知：)(xg的值域为),2，由此学生很容易得2)(xg，但 这是不正确的.因为“2)(xg”与“)(xg的值域为),2”并不等价，后者要求)(xg能 取遍),2的一切值（而且不能多取）.
19、)(xg的值域是),3 2 a， 命题等价于123)( 2 min aaxg； 即 a 的值为 1； （6）命题等价于： 0) 1( 1 1 ,(0)( 1 ,()( 0 g ax xxg xg 恒成立对 为减函数在 ， 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 9 页 共 16 页 即 2 1 a a ，得 a 的取值范围是)2, 1. 评析 学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概 念， 许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同， 才能作出准确的解答，并要在学习中不断积
20、累经验. 【例 3】解答下述问题： （）设集合03log21log2| 8 2 2 1 xxxA， 若当Ax时，函数 4 log 2 log)( 22 xx xf a 的最大值为2， 求实数 a 的值 . 解析 3log 2 1 |03log7log2| 22 2 2 xxxxxA82|xx 而axaxxaxxf2log)2(log)2)(log(log)( 2 2 222 ， 令3 2 1 , 82,log2txtx， atattgxf2)2()()( 2 ，其对称轴 2 2a t， 当 4 7 2 2a t，即12)3()( 2 3 max agtga时，适合； 当 6 13 2) 2 1
21、 ()( , 2 3 , 4 7 2 2 max agtga a t时即，适合； 综上， 6 13 1或a. （）若函数 2 27 24)( 2 1 x x axf在区间 0， 2上的最大值为9，求实数a 的值 . 解析 2 27 22 2 1 )( 2xx axf， 令 41, 20,2txt x ， ),41( 22 27 )( 2 1 2 27 2 1 )()( 2 22 t a atatttgxf 抛物线)(tg的对称轴为at， 当 2 5 8 43 94 2 43 )4()( , 2 5 max aagxfa时，不合； 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电
22、话： 029-86570103 第 10 页 共 16 页 当 2 5 a时，5914)1 ()( max aagxf，适合； 综上，5a （）设关于x的方程 bb xx (024 1 R） ， （1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解. 解析 （1）原方程为 1 24 xx b， 11)12(22)2(24 221xxxxx ， ), 1b当时方程有实数解； （2）当1b时，12 x ，方程有唯一解0x； 当1b时，bb xx 1121)12( 2 . bb xx 112,011 , 02的解为)11(log2bx； 令 , 0
23、111011bbb bb x 112,01时当的解为)11 (log2bx； 综合、，得 1）当 01b 时原方程有两解：)11 (log2bx； 2）当10bb或时，原方程有唯一解)11 (log2bx； 3）当1b时，原方程无解. 评析 例 3 是一组具有一些综合性的指数、对数问题， 问题的解答涉及指数、对数函数， 二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常 广泛，应通过解题学习不断积累经验. 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 11 页 共 16 页 训练题 一、选择题： 1若nN *，
24、则 124124 11nnnn （） A 2 B n 2C n1 2D n2 2 2若) 3log 4log 4log 3log ()3log4(log3loglog 4 3 3 42 4349 x，则x（） A 4 B16 C256 D81 3当10a时， a aa aaa,的大小关系是（） A a aa aaaBaaa a aa 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 12 页 共 16 页 C aa aaa a D a aa aaa 4若1 3 2 log a ，则 a 的取值范围是（） A 2 3 1aB 2 3 110aa或
25、 C1 3 2 aD1 3 2 0aa或 5函数)2( x fy的定义域为 1，2，则函数)(log2xfy的定义域为（） A 0， 1 B1，2 C2，4 D 4，16 6若函数)2, 3()(log)( 3 2 1 在axxxf上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A 9， 12 B4，12 C4，27 D 9，27 二、填空题： 7计算 3log2 2 450lg2lg5lg. 8函数 x axf)1()( 2 是减函数，则实数a 的取值范围是. 9若1)1 (log )1( k k ，则实数k 的取值范围是. 10已知函数)1,0)(4(log)(aa x a xxf a 且的值域为
26、R，则实数a 的取值范 围 是. 三、解答题： 11已知 4 4 2 2 1 )3 1 )(2 1 ( ,3 1 a a a a aa aa a a求的值 . 12已知函数) 10, 1)(lg()(babaxf xx ， （1）求)(xf的定义域； （2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x 轴？ （3）当 a、b 满足什么条件时)(xf恰在), 1(取正值 . 13求函数)(log)1(log 1 1 log)( 222 xpx x x xf的值域 . 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 13 页 共 16 页
27、14在函数)1, 1(logxaxy a 的图象上有A、B、C 三点，它们的横坐标分别为m、2m、4m，若 ABC 的面积为S，求函数)(mfS的值域 . 15已知函数) 10)(1(log)1 (log)(aaxxxf aa 且 ， （1）讨论)(xf的奇偶性与单调性； （2）若不等式2|)(|xf的解集为axx求, 2 1 2 1 |的值； （3）求)(xf的反函数)( 1 xf ； （4）若 3 1 )1( 1 f，解关于x的不等式mmxf()( 1 R）. 作案与解析 一、选择题： 1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A 二、填空题 710 8)2, 0()0,2(9），（ 1
28、0)0 , 1(104110，（），（ 117 1 9) 1 (3 1 2 a a a a a a， 47 1 49) 1 ( 2 22 a a a a， )()( 12 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 aaaaaaaa aa aa 1863) 1 1)( 1 ( a a a a， 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 14 页 共 16 页 而5 1 2) 1 ( 1 2 4 4 4 4 a a a a a a， 5200 5 5020 5 )347()218( 原式. 12 （1）1)()0(
29、0 xxxxx b a baba， 又 0, 1 10 1 x b a b a ，故函数的定义域是),0(. （2）问题的结论取决于)(xf的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法： 求导，运用单调性定义，复合分析，但以方法最好. （解一）求导得：),lnln( lg )(bbaa ba e xf xx xx 10 1 b a ， 0ln 0ln b a ，0,0lg, 0lnln xxxx baebbaa而， )(,0)(xfxf在定义域内单调递增，故不存在所述两点； （解二）任取0 12 xx，则 11 22 lg)()( 12 xx xx ba ba xfxf， 10 10 1 11 2
30、2 1122 12 12 xx xx xxxx xx xx ba ba baba bb aa b a ， ),()( 12 xfxf即)(xf在定义域内单调递增，故不存在所述两点； （3）)(xf在），1 (单调递增，命题等价于：0)1 (f， 1ba 13)(1(log)(),1(1 2 xpxxfppx 4 )1( ) 2 1 (log)1(log 2 2 2 2 2 pp xpxpx， （1）当p p 2 1 1，即3p时， 2 1 log2,()( 2 p xf值域为； 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 15 页 共 1
31、6 页 （2）当1 2 1p ，即31p时，), 1()(pxxf在上单调递减， )1(2log)1 ()( 2 pfxf，)(xf值域为)1(log1 ,( 2 p. 14设 A、B、C 在x轴上的射影分别为A1、B2、C1， CCAACCBBBBAA SSSmfS 111111 )( 梯形梯形梯 形 )4(log)2(log)2(loglogmmmm aaaa ) 1( )4( 4 1log )4( )2( log)4(loglog2 2 m mmmm m mm aaaa ， 令 4)2( 4 )4( 4 2 mmm u， 5 9 11, 5 4 0,54)21(4)2( 22 uum，
32、)(, 1mfSa的值域为). 5 9 log,0( a 15 （1）)(, 01 01 xf x x 定义域为)();1 , 1(xfx为奇函数； x x xf 1 1 log)( 2 ，求导得e xx x e x x xf aa log 1 2 ) 1 1 (log 1 1 )( 2 ， 当1a时，)(,0)(xfxf在定义域内为增函数； 当10a时，)(,0)(xfxf在定义域内为减函数； （2）当1a时，)(xf在定义域内为增函数且为奇函数， 3,23log, 1) 2 1 (af a 得命题； 当 )(,10xfa时 在定义域内为减函数且为奇函数， 3 3 ,2 3 1 log,1) 2 1 (af a 得命题； （3）)1(1 1 1 1 1 log yyy a axa x x a x x y 地址：西安经济技术开发区凤城一路8 号御道华城A 座 10 层电话： 029-86570103 第 16 页 共 16 页 x a a xf e e x x x y y ( 1 1 )(, 1 11 R） ； （4）mxfa a a f x x 12 12 )(,2 1 1 3 1 , 3 1 )1( 11 ， mm x 1)1 (2；当1m时，不等式解集为xR； 当11m时，得 m m x 1 1 2， 不等式的解集为 1 1 log| 2 m m xx； 当xm,1时