2007年考研数学一.pdf

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1、万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 1 - 2007 年考研数学一真题 一、选择题 （本题共10 小题，每小题4 分，满分40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1）当0x 时，与x等价的无穷小量是( ) A. 1 x eB. 1 ln 1 x x C. 11xD.1cosx (2) 曲线 y= 1 ln(1 x e x ), 渐近线的条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)如图，连续函数y=f(x)

2、在区间 -3，-2，2，3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间-2，0， 0， 2的图形分别是直径为2 的上、下半圆周，设F(x)= 0 ( ) x f t dt.则下列结论正确的是( ) A. F(3)= 3 ( 2) 4 FB. F(3)= 5 (2) 4 FC. F(3)= 3 (2) 4 FD. F(3)= 5 ( 2) 4 F (4)设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是( ) A. 若 0 ( ) lim x f x x 存在，则f（0）=0 B. 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，则f（0） =0 C. 若 0 ( ) lim x f

3、x x 存在，则 (0)f=0 D. 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，则 (0)f=0 (5)设函数 f （ x） 在 （ 0, +） 上具有二阶导数， 且“( )fxo, 令 n u=f(n)=1,2, n, 则下列结论正确的是( ) A.若 12 uu，则 n u必收敛B. 若 12 uu，则 n u 必发散 C. 若 12 uu，则 n u 必收敛D. 若 12 uu，则 n u必发散 (6)设曲线 L：f(x, y) = 1 (f(x, y) 具有一阶连续偏导数） ，过第象限内的点M 和第象限内的点N,T 为 L 上 从点 M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是(

4、 ) A. ( ,) r x y dxB. ( ,) r f x y dyC. ( ,) r f x y dsD. ( , ) ( ,) xy r fx y dxfx y dy （7）设向量组1，2，3线形无关，则下列向量组线形相关的是：( ) （A） , 122331 （B） , 122331 （C）1223312,2,2（D）1223312,2,2 （8）设矩阵A= 211 1 21 11 2 ，B= 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ，则 A 于 B ( ) (A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北

5、四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 2 - （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p01p，则此人第4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为：( ) （A） 2 3 (1)pp(B) 2 6 (1)pp (C) 22 3(1)pp(D) 22 6(1)pp (10) 设随即变量（ X，Y）服从二维正态分布，且X 与 Y 不相关，( )Xfx，( )Yfy分别表示X，Y 的概率密 度，则在 Yy 的条件下， X 的条件概率密度|(| )XYfxy为( ) （A）( )Xfx(B) (

6、)Yfy (C) ( )Xfx( )Yfy(D) ( ) ( ) X Y fx fy 二 填空题 ：1116 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11） 3 1 2 1 1 x e dx x _. （12）设( , )f u v为二元可微函数，(,) yx zf xy，则 z x _. (13)二阶常系数非齐次线性方程 2 4 32 x yyye的通解为y_. (14)设曲面 ：| 1xyz，则(|)xy ds_. (15)设矩阵 A 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ，则 3 A的秩为 _. （16）在区间（ 0，1）中随机地取两个

7、数，则这两个数之差的绝对值小于 1 2 的概率为 _. 三解答题： 1724 小题，共86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 . 222222 ( , )2( , )4,0f x yxyx yDx y xyy(17) （本题满分 11分）求函数在区域 上的最大值和最小值。 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 3 - 2 2 (18)(10) 23, 1(01) 4 Ixzdydzxydzdxxydxdy y zxz 本题满分

8、分 计算曲面积分 其中为曲面的上侧 . (19)() ( ),( ) , ( , ) ( )( ),( )( )( , )( )( ). f xg xa ba b f ag af bg ba bfg 本题是 11分 设函数在上连续，在内二阶导数且存在相等的最大值， 证明：存在，使得 0 2 (20)(10) (,)( ) 240,(0)0,(0)1 2 (1),1,2,; 1 (2)( ) n n n nn a xy x yxyyyy aan n y x 本题满分分 设幂级数在内收敛，其和函数满足 证明 求的表达式 . 123 123 2 123 123 (21)(11) 0 20(1) 40

9、 21(2) xxx xxax xxa x xxxa a 本题满分分 设线性方程组 与方程 有公共解，求的值及所有公共解 . (22)设 3 阶对称矩阵A 的特征向量值 123 1,2,2, 1 (1 , 1,1) T 是 A 的属于 1的一个特征向量 , 记 53 4BAAE其中E为 3 阶单位矩阵 ( )I验证 1 是矩阵B的特征向量 ,并求B的全部特征值的特征向量； ()II求矩阵B. (23)设二维变量( ,)x y的概率密度为 2 ( ,) 0 xy f x y 01, 01xy 其他 ( )I求2 P XY； 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17

10、层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 4 - ()II求zXY的概率密度 . (24)设总体X的概率密度为 1 0 2 1 ( ,)1 2(1) 0 x f xx 其他 1 X, 2 X, n X是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值 ( )I求参数的矩估计量； ()II判断 2 4X是否为 2 的无偏估计量,并说明理由 . 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 5 - 2007 年考研数学一真题解析 一、选择题

11、（本题共10 小题，每小题4 分，满分40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后括号内） （2）当0x 时，与x等价的无穷小量是(B) A. 1 x eB. 1 ln 1 x x C. 11xD.1cosx (2) 曲线 y= 1 ln(1 x e x ), 渐近线的条数为(D) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)如图，连续函数y=f(x) 在区间 -3，-2，2，3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间-2，0， 0， 2的图形分别是直径为2 的上、下半圆周，设F(x)= 0 ( ) x f t dt.则下列结论正确的是(C) A. F(3

12、)= 3 ( 2) 4 FB. F(3)= 5 (2) 4 FC. F(3)= 3 (2) 4 FD. F(3)= 5 ( 2) 4 F (4)设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是(C) A. 若 0 ( ) lim x f x x 存在，则f（0）=0 B. 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，则f（0） =0 C. 若 0 ( ) lim x f x x 存在，则 (0)f=0 D. 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，则 (0)f=0 (5)设函数 f（x）在（ 0, +）上具有二阶导数，且“( )fxo, 令 n u=f(n)=1,2

13、, n, 则下列结论正确的是(D) A.若 12 uu，则 n u必收敛B. 若 12 uu，则 n u 必发散 C. 若 12 uu，则 n u 必收敛D. 若 12 uu，则 n u必发散 (6)设曲线 L：f(x, y) = 1 (f(x, y) 具有一阶连续偏导数） ，过第象限内的点M 和第象限内的点N,T 为 L 上 从点 M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是(B) A. ( ,) r x y dxB. ( ,) r f x y dyC. ( ,) r f x y dsD. ( , ) ( ,) xy r fx y dxfx y dy （7）设向量组1，2，3线形无关，则下列向量组

14、线形相关的是：(A) （A） , 122331 （B） , 122331 （C）1223312,2,2（D）1223312,2,2 （8）设矩阵A= 211 1 21 11 2 ，B= 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ,则 A 于 B，(B) (A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 6 - （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p01p，则此人第4 次射击恰

15、好第 2 次命中目标的概率为：(C) （A） 2 3 (1)pp(B) 2 6 (1)pp (C) 22 3(1)pp(D) 22 6(1)pp (10) 设随即变量（ X，Y）服从二维正态分布，且X 与 Y 不相关，( )Xfx，( )Yfy分别表示X，Y 的概率密 度，则在Yy 的条件下， X 的条件概率密度|( |)XYfx y为(A) （A）( )Xfx(B) ( )Yfy (C) ( )Xfx( )Yfy(D) ( ) ( ) X Y fx fy 二 填空题 ：1116 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （11） 3 1 2 1 1 x e dx x

16、1 2 1 2 e. （12）设( , )f u v为二元可微函数，(,) yx zf xy，则 z x 1 12 (,)ln(,) yxyxyx fxyyxyyfxy. (13)二阶常系数非齐次线性方程 2 4 32 x yyye的通解为y 32 12 2 xxx C eC ee. (14)设曲面 ：| 1xyz，则(|)xy ds 4 3 3 . (15)设矩阵 A 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ，则 3 A的秩为 . （16）在区间（ 0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 1 2 的概率为 3 4 . 三、解答题： 1724 小题，共86

17、 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 222222 ( , )2( , )4,0f x yxyx yDx y xyy(17) （本题满分 11分）求函数在区域 上的最大值和最小值。 【详解 】 ： 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 7 - 3 3 22 222222 2 2 22 220 (1)( , )(0,0)(0) 420 ( ,)(2, 1)(2) 040 (3)4,0 ( , )2(4) 0 2220 4220

18、4 x y fxyxy x yf fxyx y x yf y xyy F x yxyx yxy FFF xyz xxyx yx yy xy 求驻点 或； (2) 考察边界，此时最大值为，最小值为 考察边界 22 22 22 531 , 222 7 4 0,48 4,04 028 000 xy xy xy 此时数值为 ，此时数值为 ，此时数值为 综上所述 x ，y时，取得为 最小值 x ，y 取得为 2 2 (18)(10) 23, 1(01) 4 Ixzdydzxydzdxxydxdy y zxz 本题满分分 计算曲面积分 其中为曲面的上侧 【详解 】 1 1 2 2 1 1 1 4 23 2

19、3 y xoyx Ixzdydzzydzdxxydxdy xzdydzzydzdxxydxdy 取为平面上被椭圆所围部分的下侧， 记为由与围成的空间闭区域，则 1 23Gaussxzdydzzydzdxxydxdy 公式(3 )zz dxdydz 2 2 1 0 1 4 33 y xz zdxdydzdzzdxdy 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 8 - 2 2 1 1 4 2330,. y x xzdydzzydzdxxydxdyxydxdyI 而 (19)()

20、 ( ),( ) , ( , ) ( )( ),( )( )( , )( )( ) f xg xa ba b f ag af bg ba bfg 本题是 11分 设函数在上连续，在内二阶导数且存在相等的最大值， 证明：存在，使得 【详解 】 证明 ：设( ),( )fxg x在( , )a b内某点( , )ca b同时取得最大值，则( )( )f cg c，此时的c 就是所求点 ( )( )fg使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设 ( )max( ),( )max( )f cf xg dg x故有( )( )0,( )( )0f cg cg df d，由介值定理， 在( ,)c d内肯定

21、 存在( )( )fg使得由罗尔定理在区间( , ),(, )ab内分别存在一点 1212 ,()()ff使得 0在 区间 12 (,)内再用罗尔定理，即 ( , )( )( )a bfg存在，使得 0 2 (20)(10) (,)( ) 240,(0)0,(0)1 2 (1),1,2,; 1 (2)( ) n n n nn a xy x yxyyyy aan n y x 本题满分分 设幂级数在内收敛，其和函数满足 证明 求的表达式 【详解 】 (1) 将已知条件中 0 n n n a x 幂级数代入到微分方程中，整理即可得到： 2 2 ,1,2,; 1 nn aan n (2) 解题如下 万

22、学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 9 - 2 0 1 2242 31 53 75 97 3579 0 21 1 (0)00 (0)11 2 0 1 1 21 42 21 1 62 3 21 1 1 82 3 4 11 11 1 1 22 32 3 4 1 ! nnn n n n nx n ya ya aaaaa n aa aa aa aa a xxxxxx xxxe n 故 123 123 2 123 123 (21)(11) 0 20(1) 40 21(2) xxx

23、 xxax xxa x xxxa a 本题满分分 设线性方程组 与方程 有公共解，求的值及所有公共解 【详解 】 ： 因为方程组 (1)、 (2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组 123 123 2 123 123 0 20 (3) 40 21 xxx xxax xxa x xxxa 的解 . 即距阵 2 11 10 020 140 1211 a a a 2 1110 0110 0010 00340 a aa 方程组 (3)有解的充要条件为 1,2aa. 当1a时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解 .解方程组(1)的基础解系为 (1,0, 1) T

24、此时的公共解为：,1,2,xkk 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 10 - 当2a时 ， 方 程 组 (3)的 系 数 距 阵 为 11 101110 12200110 14400001 1 1 110000 此 时 方 程 组 (3) 的 解 为 123 0,1,1xxx，即公共解为：(0,1, 1) T k (22)设 3 阶对称矩阵A 的特征向量值 123 1,2,2, 1 (1 , 1,1) T 是 A 的属于 1的一个特征向量 , 记 53 4BAAE其

25、中E为 3 阶单位矩阵 ( )I验证 1是矩阵 B的特征向量 ,并求B的全部特征值的特征向量； ()II求矩阵B. 【详解 】 ： （）可以很容易验证 111( 1,2,3.) nn An，于是 5353 111111 (4)(41)2BAAE 于是 1 是矩阵 B 的特征向量 . B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与 A 的关系得到，即 53 ( )( )4 ( )1BAA， 所以 B 的全部特征值为2，1，1. 前面已经求得 1为 B 的属于 2 的特征值，而 A 为实对称矩阵， 于是根据B 与 A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于 1

26、 的特征向量为 123 (,) T x xx，所以有方程如下： 123 0xxx 于是求得B 的属于 1 的特征向量为 23 ( 1,0,1) ,(1 ,1,0) TT （）令矩阵 123 111 ,101 110 P，则 1 ( 2,1,1)P BPdiag，所以 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 11 - 1 111 333 111 112 (2 , 1, 1)101(2 , 1, 1 ) 333 110 121 333 BPd i a gPd i a g 01

27、1 101 110 (23)设二维变量( ,)x y的概率密度为 2 ( ,) 0 xy f x y 01, 01xy 其他 ( )I求2 P XY； ()II求zXY的概率密度 . 【详解 】 ： （）2(2) D P XYxy dxdy，其中 D 为0 1,01xy中2xy的那部分区域； 求此二重积分可得 1 1 2 00 2(2) x PXYdxxy dy 1 2 0 5 () 8 xxdx 7 24 （）( ) Z FzP ZzP XYz 当0z时，( )0 Z Fz； 当2z时，( )1 Z Fz； 当01z时， 32 00 1 ( )(2) 3 zzx Z Fzdxxy dyzz

28、当12z时， 11 32 1 15 ( )1(2)24 33 Z zz x Fzdxxy dyzzz 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 12 - 于是 2 2 2,01 ( )44,12 0, Z zzz fzzzz 其他 (24)设总体X的概率密度为 1 0 2 1 ( ,)1 2(1) 0 x f xx 其他 1 X, 2 X, n X是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值 ( )I求参数的矩估计量； ()II判断 2 4X是否为 2 的无偏估计量,并说明理由 . 【详解 】 ： （）记EX，则 1 0 22(1) xx EXdxdx 11 42 ， 解出 1 2 2 ，因此参数的矩估计量为 1 2 2 X； （）只须验证 2 (4)EX是否为 2 即可，而 22 221 (4)4()4() )4() )EXE XDXEXDXEX n ，而 11 42 EX， 22 1 (12) 6 EX， 222 51 () 481212 DXEXEX， 于是 2 22533131 (4) 1233 nnn EX nnn 因此 2 4X不是为 2 的无偏估计量.