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1、2010 年北京高考文科数学试题及答案 第卷 （选择题共 140 分） 一、 本大题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 集合 2 03,9PxZxMxZ x，则PMI= (A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)1,2,3 (D)0,1,2,3 在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B. 若 C为线段 AB的中点，则点C对应的复数是 （A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i 从 1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从 1,2,3中随机选取一个数为b，则 ba 的概率是 （A） 4 5 (B)
2、3 5 （C） 2 5 (D) 1 5 若 a,b 是非零向量，且 ab，ab ，则函数 ( )() ()f xxabxba 是 （A）一次函数且是奇函数（B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数（D）二次函数但不是偶函数 （5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为： (6) 给定函数 1 2 yx ， 1 2 log (1)yx， |1|yx ， 1 2 x y，期中在区间（ 0，1）上 单调递减的函数序号是 （A）（B）（C）（D） （7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为的四个等腰三角形，及
3、其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为 （A）2sin2cos2；（B）sin3 cos3 （C）3sin3cos1（D ）2sin cos1 （8）如图，正方体 1111 ABCD-AB C D 的棱长为 2， 动点 E、F 在棱 11 A B上。点 Q是 CD的中点，动点 P在棱 AD上，若 EF=1，DP=x， 1 AE=y(x,y大于零 ) ， 则三棱锥 P-EFQ的体积： （A）与 x，y 都有关；（B）与 x，y 都无关； （C）与 x 有关，与 y 无关；（D）与 y 有关，与 x 无关； 第卷 （共 110 分） 二、 填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分
4、 （9）已知函数 2 log,2, 2,2. x x x x y 右图表示的是给 定 x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图， 处应填写；处应填写。 （10）在 ABC中。若1b ，3c， 2 3 c，则 a= 。 （11）若点 p（m ，3）到直线 4310xy 的距离为 4，且点 p 在不等式 2xy3 表示的平 面区域内，则m= 。 （12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。 由图中数据可知a= 。若要从身高在 120 ，130， 130 ，140， 140 ，150 三组内的 学生中，用分层抽样的方法选取18 人参加一项活动 ，
5、则从身高在 140 ，150 内的学生中选取的人数 应为。 （13）已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为2，焦点与椭圆 22 1 259 xy 的焦点相同，那么双曲线 的焦点坐标为；渐近线方程为。 （14）如图放置的边长为1 的正方形 PABC沿 x 轴滚动。 设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是 ( )yf x，则( )f x的最小正周期为； ( )yf x在其两个相邻零点间的图像与x 轴 所围区域的面积为。 说明： “正方形 PABC沿 x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。沿x 轴正方向滚动是指 以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点B落在 x 轴上
6、时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续， 类似地，正方形PABC可以沿着 x 轴负方向滚动。 三、 解答：本大题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题共13 分） 已知函数 2 ( )2cos 2sinf xxx （）求() 3 f 的值； （）求( )f x的最大值和最小值 （16） （本小题共13 分） 已知| n a为等差数列，且 3 6a， 6 0a。 （）求| n a的通项公式； （）若等差数列| n b满足 1 8b， 2123 baaa，求| n b的前 n 项和公式 （17） （本小题共13 分） 如图，正方形ABCD 和四边形
7、 ACEF所在的平面互相垂直。 EF/AC，AB=2,CE=EF=1 （）求证： AF/ 平面 BDE ； （）求证： CF平面 BDF; (18) （本小题共14 分） 设定函数 32 ( )(0) 3 a fxxbxcxd a ，且方程 ( )90fxx 的两个根分别为1，4。 （）当 a=3 且曲线 ( )yf x 过原点时，求 ( )f x 的解析式； （）若( )f x在(,)无极值点，求a 的取值范围。 （19） （本小题共14 分） 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，离心率是 6 3 ，直线y=t ，与椭圆C 交与不同的两点M ，N，以线段为直径作圆P,
8、圆心为 P。 （）求椭圆C的方程； （）若圆P与 x 轴相切，求圆心P的坐标； （）设 Q （x，y）是圆 P 上的动点，当变化时，求y 的最大值。 （20） （本小题共13 分） 已知集合 121 |(,),0,1,1,2, nn SXXxxxxinn，对于 12 (,) n Aa aa， 12 (,) nn Bb bbS，定义 A与 B 的差为 1122 (|,|,|); nn ABababab A与 B之间的距离为 11 1 ( ,)| i d A Bab （）当 n=5 时，设 (0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)AB ，求 AB，(,)d A B ； （）证明： , nn
9、A B CSABS有 ，且 (,)( ,)d AC BCd A B ; ( ) 证明：,( ,),( ,),(,) n A B CS d A Bd A Cd B C三个数中至少有一个是偶数 答案 一、 选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分） B C D A C B A C 二、 提空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分） 2x 2 logyx 1 -3 0.030 3 (4,0) 30xy 4 1 三、 解答题（本大题共6 小题，共 80 分） （共 13 分） 解： （） 2 2 ()2cossin 333 f = 31 1 44 （） 22 ( )2(2cos1
10、)(1cos)fxxx 2 3cos1,xxR 因为cos1,1x, 所以，当cos1x时( )f x取最大值 2；当cos0x时，( )f x 去最小值 -1 。 （共 13 分） 解： （）设等差数列 n a的公差d。 因为 36 6,0aa 所以 1 1 26 50 ad ad 解得 1 10,2ad 所以10(1) 2212 n ann （）设等比数列 n b的公比为q 因为 2123 24,8baaab 所以 824q 即q=3 所以 n b的前n项和公式为 1(1 ) 4(13 ) 1 n n n bq S q （共 13 分） 证明： （）设 AC于 BD交于点 G 。因为 EF
11、AG,且 EF=1，AG=1 2 AG=1 所以四边形AGEF为平行四边形 所以 AFEG 因为 EG平面 BDE,AF平面 BDE, 所以 AF平面 BDE （）连接FG 。因为 EFCG,EF=CG=1, 且 CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CFEG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BD AC.又因为平面ACEF 平面 ABCD, 且平面 ACEF 平面 ABCD=AC, 所以 BD 平面 ACEF.所以 CFBD.又 BD EG=G, 所以 CF平面 BDE. (18)( 共 14 分) 解：由 32 ( ) 3 a f xxbxcxd得 2 ( )2fxaxbxc 因为
12、2 ( )9290fxxaxbxcx的两个根分别为1,4 ，所以 290 168360 abc abc （* ） （）当 3a 时，又由（ *）式得 260 8120 bc bc 解得3,12bc 又因为曲线 ( )yf x 过原点，所以 0d 故 32 ( )312f xxxx （ ） 由 于a0, 所 以 “ 32 ( ) 3 a f xxbxcxd在 （ - ， + ） 内 无 极 值 点 ” 等 价 于 “ 2 ( )20fxaxbxc 在（ - ， +）内恒成立” 。 由（ *）式得295 ,4ba ca。 又 2 (2 )49(1)(9)bacaa 解 0 9(1)(9)0 a a
13、a 得1,9a 即a的取值范围1,9 （19） （共 14 分） 解： （）因为 6 3 c a ，且2c，所以 22 3,1abac 所以椭圆 C的方程为 2 2 1 3 x y （）由题意知(0, )( 11)ptt 由 2 2 1 3 yt x y 得 2 3(1)xt 所以圆 P 的半径为 2 3(1)t 解得 3 2 t所以点 P的坐标是（ 0， 3 2 ） （ ）由 （ ） 知 ， 圆P 的 方 程 222 ()3(1)xytt。因 为 点( ,)Q x y在 圆P 上。所以 222 3(1)3(1)yttxtt 设cos ,(0,)t，则 2 3(1)cos3 sin2sin()
14、 6 tt 当 3 ，即 1 2 t，且0x，y取最大值 2. (20)( 共 13 分) （）解：( 01 ,1 1 , 01 , 00 , 10 )AB=（1,0,1,0,1） ( ,)011 1010010d A B=3 ( ) 证明：设 121212 (,),(,),(,) nnnn Aa aaBb bbCc ccS 因为 11 ,0,1a b ，所以 11 0,1(1,2, )abin 从而 1122 (,) nnn ABabababS 由题意知,0,1(1,2, ) iii a b cin 当0 i c时， iiiiii acbcab 当 1 i c 时，(1)(1) iiiiii
15、ii acbcabab 所以 1 (,)(,) n ii i d AC BCabd A B ( ) 证明：设 121212 (,),(,),(,) nnnn Aa aaBb bbCc ccS (,),( ,),( ,)d A Bk d A Cl d B Ch 记0(0,0,0) n S由（）可知 (,)(,)(0,) (,)(,)(0,) (,)(,) d A Bd AA BAdBAk d A Cd AA CAdCAl d B Cd BA CAh 所以(1,2, ) ii bain中 1 的个数为 k,(1,2, ) ii cain中 1 的个数为l 设t是使1 iiii baca成立的i的个数。则2hlkt 由此可知，, ,k l h三个数不可能都是奇数 即(,),(,),(,)d A Bd A Cd B C三个数中至少有一个是偶数。