2014年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学卷.pdf

《2014年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学卷.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学卷.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试山东文科数学 卷 第卷（共50 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 (1) 已知,a bR i是虚数单位 . 若a i2bi，则 2 ()abi (A) 34i(B) 34i(C) 43i(D) 43i (2) 设集合 2 |20,|14Ax xxBxx ，则AB (A) (0, 2(B) (1,2)(C) 1,2)(D) (1,4) (3) 函数 2 1 ( ) log1 f x x 的定义域为 (A) (0, 2)(B) (0,2(C) (2,)(D) 2,)

2、(4) 用反证法证明命题： “设,a b为实数，则方程 3 0xaxb至少有一个实根”时，要做 的假设是 (A) 方程 3 0xaxb没有实根(B) 方程 3 0xaxb至多有一个实根 (C) 方程 3 0xaxb至多有两个实根 (D) 方程 3 0xaxb恰好有两个实根 (5) 已知实数,x y满足 (01) xy aaa ，则下列关系式恒成立的是 (A) 33 xy(B) sinsinxy (C) 22 ln(1)ln(1)xy(D) 22 11 11xy (6) 已知函数log ()( ,0,1) a yxc a caa为常数，其中的图象如右图， 则下列结论成 立的是 (A) 0,1ac

3、(B) 1,01ac (C) 01,1ac(D) 01,01ac x y 0 1 (7) 已知向量 (1, 3),(3,)abm . 若向量 ,a b的夹角为 6 ，则实数m (A) 2 3(B) 3(C) 0 (D) 3 (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单 位： kPa）的分组区间为 12,13),13,14),14,15),15,16),16,17 ，将其按从左到右的顺序 分别编号为第一组，第二组，, ，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。 已知第一组与第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有6 人，则第三组中有疗效的人数为

4、( ) (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18 (9) 对于函数( )f x，若存在常数0a，使得 x取定义域内的每一个值，都有 ( )(2)f xfax，则称( )f x为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( ) (A) ( )f xx (B) 3 ( )f xx (C) ( )tanf xx(D) ( )cos(1)f xx (10) 已知,x y满足约束条件 10, 230, xy xy 当目标函数zaxby (0,0)ab在该约 束条件下取到最小值2 5时， 22 ab的最小值为 ( ) (A)5 (B) 4 (C) 5(D) 2 171615141312 / kPa舒张压

5、 频率/ 组距 0.36 0.08 0.16 0.24 第 II 卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分. (11) 执行右面的程序框图，若输入的x的值为 1，则输出的n的值为. (12) 函数 23 sin 2cos 2 yxx的最小正周期为. (13) 一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为2 的正六边形，侧棱长 都相等，则该六棱锥的侧面积为。 (14) 圆心在直线20xy上的圆C与y轴的正半轴相切， 圆C截x轴所 得弦的长为2 3，则圆C的标准方程为。 (15) 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2c，右顶点为A，抛

6、 物线 2 2(0)xpy p的焦点为F， 若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c， 且|FAc， 则双曲线的渐近线方程为。 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分. (16)（本小题满分12 分） 海关对同时从A， B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商 品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6 件样 品进行检测 . 地区A B C 数量50 150 100 （）求这6 件样品中来自A，B，C 各地区商品的数量； （II ）若在这 6 件样品中随机抽取2 件送往甲机构进行进一步检测，求这2 件商品来自相同 地区的概率 . 开

7、始 输入 x 是 0n 3 43 0xx 结束 1xx 否 输入 x 1nn (17) （本小题满分12 分） ABC中，角 A， B， C 所对的边分别为, ,a b c. 已知 6 3,cos, 32 aABA. （）求b的值； （II ）求ABC的面积 . (18) （本小题满分12 分） 如图，四棱锥PABCD中，,/,BCADPCDAP平面ADBCAB 2 1 ,FE,分别 为线段PCAD,的中点。 （）求证：BEFAP平面/ （）求证：PACBE平面 P A B C D E (19) （本小题满分12 分） 在等差数列 n a中，已知公差 1 2a， 2 a是 1 a与 4 a的等

8、比中项 . （）求数列 n a 的通项公式； （II ）设 (1) 2 nn n ba，记 1234 ( 1) n nn Tbbbbb，求 n T. (20) （本小题满分13 分） 设函数 x1 f(x) = alnx + x + 1 ，其中a为常数 . （）若0a，求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （II ）讨论函数()f x的单调性 . (21) （本小题满分14 分） 在平面直角坐标系 xOy中， 椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ， 直线yx被 椭圆C截得的线段长为 4 10 5 . （）求椭圆C的方程； （II ）过原点的直线

9、与椭圆C交于 A，B两点（A，B不是椭圆 C的顶点） . 点D在椭 圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、 y轴分别交于M，N 两点 . （i ）设直线 BD，AM 的斜率分别为 12 ,k k，证明存在常数使得 12 kk，并求出的 值； （ii ）求OMN面积的最大值 . 参考答案 一、选择题 15、ACDAA610、 DBCDB 二、填空题 11、 3 12、13、12 14、 22 (2)(1)4xy 15、yx （1）已知iRba,是虚数单位，若 ia bi2，则 2 ）（bia （A）i 43（B）i 43（C）i 34（D）i34 【解析】由 ia bi2得，12ba， 2 ）（b

10、iaiiii4344)2( 22 故答案选A （2）设集合,41, 02 2 xxBxxxA则BA （A）(0,2 （B） (1,2) （C） 1,2) （D）(1,4) 【解析】4, 1)20(BA，数轴上表示出来得到BA1,2) 故答案为C （3）函数 1log 1 )( 2 x xf的定义域为 （A）)20( ，（B）2,0(（C）),2(（D）)2 ， 【解析】01log 2 x故2x。选 D （4）用反证法证明命题“ 设,Rba则方程0 2 baxx至少有一个实根” 时要做的假设 是 （A）方程0 2 baxx没有实根（ B）方程0 2 baxx至多有一个实根 （C）方程0 2 ba

11、xx至多有两个实根（D）方程0 2 baxx恰好有两个实根 【解析】答案选A，解析略。 （5）已知实数 yx, 满足) 10(aaa yx ，则下列关系式恒成龙的是 （A） 33 yx（B）yxsinsin （C）)1ln()1ln( 22 yx（D） 1 1 1 1 22 yx 【解析】由)10(aaa yx 得， yx ，但是不可以确定 2 x与 2 y的大小关系，故C、D 排除，而 xysin 本身是一个周期函数，故B 也不对， 33 yx 正确。选A， （6）已知函数 ) 10为常数。其中( )(log,aaa,ccxy a 的图像如右图，则下列结论 成立的是 （A）11,ca（B）1

12、01c,a （C）1, 10ca（D）1010c,a 【解析】 由图象单调递减的性质可得01a，向左平移小于1 个单位，故01c 答案选 D （7）已知向量)3()31 (,m,b,a已知向量 (1, 3),(3,)abm . 若向量 ,a b的夹角为 6 ，则实数m (A) 2 3(B) 3(C) 0 (D) 3 【解析】： 2 2 33 3 cos,2 9 2 33393 a bm a ba ba bm mmm r r r rr rr r 答案： B （8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据 （单位： kPa）的分组区间为12,13）, 13,14）

13、,14,15）,15,16. 将其按从左到右的顺序分别 编号为第一组，第二组， ，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知 第一组和第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有6 人，则第三组中有疗效的人数为 （A）6（B）8（C）12（D）18 【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4 200.450 500.3618 18612 答案： C （9） 对于函数f(x)， 若存在常数0a， 使得x取定义域内的每一个值，都有a-x)f(f(x)2， 则称f(x)为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是 （A）xxf)(（B） 2 )(xxf （C）xxftan)(（ D）

14、)1cos()(xxf 【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。 答案： D 171615141312/ kPa舒张压 频率 / 组距 0.36 0.08 0.16 0.24 x y 0 1 （10）已知 x,y满足的约束条件 ,x-y- ,x-y- 032 01 当目标函数 )00(,babyaxz 在该约束 条件下取得最小值52时， 22 ba的最小值为 （A）5（B）4（C）5（D）2 【 解 析 】 ： 10 230 xy xy 求 得 交 点为2,1， 则 225ab ， 即 圆心0,0到 直 线 2250ab 的距离的平方 2 2 2 5 24 5 。 答案：B 11执

15、行右面的程序框图，若输入的x的值为 1，则输出的n的值为。 【解析】：根据判断条件034 2 xx，得31x， 输入1x 第一次判断后循环，11,21nnxx 第二次判断后循环，21,31nnxx 第三次判断后循环，31,41nnxx 第四次判断不满足条件，退出循环，输出3n 答案： 3 12函数 23 sin 2cos 2 yxx的最小正周期为。 【解析】： 2 33111 sin2cossin2cos2sin 2 222262 yxxxxx 2 2 T. 答案：T 13一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱 锥的侧面积为。 【解析】：设六棱锥的高为

16、h，斜高为h ， 开 输 入 是 0n 3 43 0xx 结 1xx 否 输 入 1nn 则由体积 11 22sin 6062 3 32 Vh 得：1h， 2 2 32hh 侧面积为 1 2612 2 h. 答案： 12 14圆心在直线20xy上的圆C与y轴的正半轴相切， 圆C截x轴所得的弦的长2 3， 则圆C的标准方程为。 【解析】设圆心,0 2 a aa ，半径为a. 由勾股定理 2 2 2 3 2 a a 得：2a 圆心为2,1，半径为2，圆C的标准方程为 22 214xy 答案： 22 214xy 15已 知 双 曲 线 22 22 10,0 xy ab ab 的 焦 距 为 2c，

17、右 顶 点 为A ， 抛 物 线 2 20xpy p的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FAc， 则双曲线的渐近线方程为。 【解析】由题意知 22 2 P cab， 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 , 2 P c ， 即, cb代入双曲线方程为 22 22 1 cb ab ，得 2 2 2 c a ， 2 2 11 bc aa 渐近线方程为yx， . 答案：yx 16、 （）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为： :50 :150 :1001: 3: 2A B C 地区A B C 数量50 150 100 所以各地区抽取商品数为： 1 :61 6 A

18、， 3 :63 6 B， 2 : 62 6 C； （）设各地区商品分别为： 12312 ,A B BB C C 基本时间空间为： 123121213 ,A BA BA BA CA CB BB B 1112232122313212 ,B CB CBBB CB CB CB CC C ，共 15 个. 样本时间空间为： 12132312 ,B BB BB BC C 所以这两件商品来自同一地区的概率为： 4 15 P A. 17、 （）由题意知： 23 sin1cos 3 AA ， 6 sinsinsincoscossincos 2223 BAAAA ， 由正弦定理得： sin 3 2 sinsins

19、in abaB b ABA （）由余弦定理得： 222 2 12 6 cos4 3903,3 3, 23 bca Acccc bc 又因为 2 BA为钝角，所以bc，即3c， 所以 13 2 sin. 22 ABC SacB 18、 （）连接AC交 BE于点 O，连接 OF ，不妨设AB=BC=1, 则 AD=2 ,/,BCADBCAB四边形 ABCE为菱形 APOFPCACFO/,中点，分别为 又BEFAPBEFOF平面，平面/ （）CDAPPCDCDPCDAP,平面，平面 CDBEBCDEEDBCEDBC/,/为平行四边形，,PABE ACBEABCE为菱形，又 PACACPAAACPA平

20、面、又,PACBE平面 19、 （）由题意知： n a为等差数列，设dnaan1 1 ， 2 a为 1 a与 4 a的等比中项 P A B C D E 41 2 2 aaa 且 0 1 a ，即 daada3 11 2 1 ，2d解得： 2 1 a nnan22) 1(2 （）由（）知：nan 2，)1( 2 )1( nnab nnn 当 n 为偶数时： 2 2 2 2 2 2 6422 2262422 11534312 1433221 2 nn n n n n nnn nnTn 当 n 为奇数时： 2 12 1 2 2 1 12 2 116422 121262422 121534312 14

21、33221 2 nn nn n n nnn nnn nnnnn nnTn 综上： 为偶数 为奇数， n nn n nn Tn , 2 2 2 12 2 2 20、 (1)0a当时 2 12 ( ),( ) 1(1) x f xfx xx 2 21 (1) (1 1)2 f (1)0(1,0)f又直线过点 11 22 yx (2) 2 2 ( )(0) (1) a fxx xx 2 2 0( )0.( ) (1) afxf x x 当时，恒大于在定义域上单调递增. 2 22 2(1)2 0( )=0. ( ) (1)(1) aa xx afxf x xxx x 当时，在定义域上单调递增 . 22

22、1 0(22)4840,. 2 aaaaa当时，即 ( )f x开口向下，在定义域上单调递减。 1,2 1(22)84121 00. 22 aaaa ax aa 当时， 12 221 10.10 2 a xx x aa 对称轴方程为且 121121121 ( )(0,)(,) 1+ 21 (+) aaaaaa f x aaa aa a 在单调递减，单调递增， ，单调递减。 0( )0( ) 11121 ( )0( )(0,) 22 1211211+ 21 (,)(+) af xaf x aa af xaf x a aaaaaa aaa 综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递增 时，在定义域上单调递减；时，在单调递减， 单调递增，单调递减。 21、 (1) 222 22 22 3333 =,4 2244 ccab eab aaa 即 设直线与椭圆交于 ,p q两点。不妨设p点为直线和椭圆在第一象限的交点。 22 4 102 5 2 5 (,) 555 44 55 1 p ab 又弦长为， 22 2 2 4,1 1. 4 ab x y 联立解得 椭圆方程为