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1、（第 11题图） 黄浦区 2017 年高考模拟考 数 学 试卷2017 年 4 月 （完卷时间： 120 分钟满分： 150 分） 一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分. 其中第 16 题每题满分4 分，第 712 题每题 满分 5 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1函数 2 2yxx的定义域是 2若关于, x y的方程组 10 420 axy xay ， 有无数多组解，则实数a_ 3若“ 2 230xx ”是“ xa ”的必要不充分条件，则 a 的最大值为 4已知复数 1 34iz ， 2 izt ( 其中 i 为虚数单位 ) ，且 12 zz 是实数，则实数t
2、等于 5若函数 3 (0), ( ) 1 (0) x xax f x ax (a0, 且 a 1) 是 R 上的减函数，则a 的取值范围是 6设变量, x y满足约束条件 2 1 2 xy xy y ， ， ， 则目标函数2zxy的最小值为 7.已知圆 22 :(4)(3)4Cxy和两点(, 0), (, 0)(0)AmB mm，若圆C上至少存在一 点P，使得90APB，则m的取值范围是 8. 已知向量 (cos(), 1) 3 a，(1, 4)b，如果ab，那么 cos(2 ) 3 的值为 9若从正八边形的8 个顶点中随机选取3 个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角 形的概率是 10若
3、将函数( )f x |sin() |(0) 8 x的图像向左平移 12 个单位后，所得 图像对应的函数为偶函数，则的最小值是 11三棱锥PABC满足：ABAC，ABAP，2AB，4APAC， 则该三棱锥的体积V 的取值范围是 12对于数列 n a，若存在正整数T，对于任意正整数n都有 n Tn aa成立，则称数列 n a 是以T为 周期的周期数列设 1 (01)bmm，对任意正整数n 都有 1 11) 1 (01) ( nn n n n bb b b b ， ，若 数列 nb 是以 5 为周期的周期数列，则m的值可以是(只要求填写满足条件的一个m 值即可 ) 二、选择题（本大题共有4 题，满分
4、20 分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分 13下列函数中，周期为 ，且在 4 2 ，上为减函数的是（） Ay=sin(2x+ ) 2 By= cos(2x+ ) 2 C y=sin(x+ ) 2 Dy= cos(x+ ) 2 14如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的 表面积是（） A9B10 C11D12 15已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点到左顶点的距离等 于它到渐近线距离的2 倍，则其渐近线方程为（） A20xyB20xy C430xyD340xy 16如图所示
5、， 2 3 BAC ，圆M与 ,AB AC分别相切于点,D E， AD1，点P是圆M及其内部任意一点，且APxADyAE ( ,)x yR，则xy的取值范围是（） A1,42 3B423,42 3 C1,23D23,23 三、解答题 （本大题共有5 题，满分 76 分 ）解答下列各题必须在答题 纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分 如图，在直棱柱 111 ABCA B C中， 1 2AAABAC，ABAC，D E F,分别是 111 ,A B CCBC的中点 （1）求证： AEDF； （2）求 AE与平
6、面DEF 所成角的大小及点 A到平面DEF的距离 18（本题满分14 分）本题共有2 小题，第小题满分6 分，第小题满分8 分 在ABC中，角,A B C的对边分别为, ,a b c，且cos , cos , cosbC aA cB成等差数列 （1）求角A的大小； （2）若3 2a，6bc，求ABAC+的值 19（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 如果一条信息有n1,)nnN（种可能的情形 （各种情形之间互不相容），且这些情形发 生 的 概率 分 别为 12 , n ppp， 则称H 12 ()()() n fpfpfp（ 其中 ( )f xlog
7、, a xx(0,1)x）为该条信息的信息熵已知 11 ( ) 22 f （1）若某班共有32 名学生， 通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选 中”的信息熵的大小； （2）某次比赛共有n 位选手（分别记为 12 , n A AA）参加，若当1,2,k,1n时，选手 k A获得冠军的概率为2 k ，求“谁获得冠军”的信息熵H关于 n 的表达式 20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2小题满分 6 分，第 3小题 满分 6 分 设椭圆 M: 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点为A、中心为O，若椭圆 M 过点 1 1 (,)
8、2 2 P， 且APPO （1）求椭圆M 的方程； （2）若 APQ 的顶点 Q 也在椭圆M 上，试求 APQ 面积的最大值； （3）过点A作两条斜率分别为 12 ,k k的直线交椭圆M 于,D E两点，且 12 1k k，求证：直线 DE恒过一个定点 x y 21 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2小题满分 6 分，第 3小题 满分 8 分 若函数( )f x满足 : 对于任意正数, s t，都有( )0,( )0f sf t，且( )( )()f sf tf st，则 称函数( )f x为“ L 函数” （1）试判断函数 2 1( ) fxx与 1
9、 2 2( )fxx是否是“ L 函数”； （2）若函数( )31(31) xx g xa为“ L 函数”，求实数a 的取值范围； （3）若函数( )f x为“ L 函数”，且(1)1f，求证：对任意 1 (2,2 )(*)N kk xk，都有 1 ( )( )f xf x 2 2 x x 高三数学参考答案与评分标准 一、填空题： （16 题每题 4 分； 712 题每题 5 分） 1. 0 2，；2. 2；3.1；4. 3 4 ；5. 2 1) 3 ，；6. 4； 7. 3 7，；8. 7 8 ；9. 3 7 ；10. 3 2 ；11. 4 (0, 3 ；12. 52 （或 31 2 ，或3
10、1） 二、选择题： （每题 5 分） 13. A 14. D15. C 16. B 三、解答题： （共 76 分） 17解：（1）以 A 为坐标原点、 AB 为 x 轴、AC为 y 轴、 1 AA 为 z轴建立如图的空间直角坐标系 由题意可知(0,0,0),(0,1,2),( 2,0,1),( 1,1,0)ADEF， 故( 2,0,1),( 1,0, 2)AEDF，4 分 由2( 1)1( 2)0AE DF， 可知AEDF，即 AEDF 6 分 （2）设( , ,1)nx y是平面 DEF的一个法向量， 又( 1,0, 2)(1,1, 1)DFEF， 故由 20, 10, n DFx n EF
11、xy 解得 2, 3, x y 故( 2,3,1)n 9 分 设AE与平面DEF所成角为，则 |570 sin 14| | 145 n AE nAE ， 12 分 x y z O 所以 AE与平面DEF所成角为 70 arcsin 14 ， 点A到平面 DEF的距离为 5 sin14 14 AE14 分 18解：（1）由cos , cos , cosbC aA cB成等差数列， 可得coscos2 cosbC cBaA+，2 分 故sincossincos2sincosBCCBAA+，所以sin()2sincosB CAA+， 4 分 又ABC，所以sin()sinBCA，故sin2sinco
12、sAAA， 又由(0, )A，可知sin0A，故 1 cos 2 A，所以 3 A6 分 （另法：利用coscosbC cBa+求解） （2）在 ABC 中，由余弦定理得 222 2cos(3 2) 3 bcbc，8 分 即 22 18bcbc，故 2 ()318bcbc，又6bc，故6bc，10 分 所以 2 22 2 ()2AB ACABACABACAB AC+ 22 |2| |cosABACABACA12 分 22 cbbc 2 ()30bcbc， 故30ABAC+14 分 19解：（1）由 11 () 22 f，可得 111 log 222 a ，解之得2a.2 分 由 32 种情形等
13、可能，故 1 (1,2,32) 32 k Pk，4 分 所以 2 11 32(log)5 3232 H， 答： “谁被选中”的信息熵为56 分 （2） n A获得冠军的概率为 111 11111 1+)1(1) 24222 nnn (，8 分 当1,2,k,1n时， 2 ()2log 2 2 kk k k k f p，又 1 1 () 2 n n n fp， 故 11 12311 24822 nn nn H，11 分 1 112211 + 248222 nnn nnn H， 以上两式相减，可得 11 111111 +1 224822 nn H，故 4 2 2 n H， 答： “谁获得冠军”的信
14、息熵为 4 2 2 n 14 分 20解：（1）由APOP，可知1 APOP kk， 又A点坐标为(,0),a故 11 22 1 11 + 22 a ，可得1a，2 分 因为椭圆M 过P点，故 2 11 +1 44b ，可得 21 3 b， 所以椭圆M 的方程为 2 2 1 1 3 y x 4 分 （2）AP 的方程为 01 11 01 22 yx ，即10xy， 由于Q是椭圆 M 上的点，故可设 3 (cos ,sin) 3 Q，6 分 所以 3 cossin1 3 12 222 APQ S8分 1 2 3 cos()1 436 当2() 6 kkZ，即2() 6 kkZ时， APQ S取最
15、大值 故 APQ S 的最大值为 31 64 +10 分 法二： 由图形可知，若 APQ S 取得最大值， 则椭圆在点Q处的切线l必平行于 AP，且在直线 AP的下方6 分 设l方程为(0)yxt t，代入椭圆M 方程可得 22 46310xtxt， 由0，可得 2 3 3 t，又0t，故 2 3 3 t8分 所以 APQ S的最大值 12 |1|31 22642 + t 10 分 （3）直线 AD方程为 1( 1)ykx，代入 22 31xy，可得 2222 111 (31)6310kxk xk， 2 1 2 1 31 31 AD k xx k ， 又1 A x，故 2 1 2 1 13 1
16、3 D k x k ， 2 11 1 22 11 132 (1) 1313 D kk yk kk ，12 分 同理可得 2 2 2 2 13 13 E k x k ， 2 2 2 2 13 E k y k ，又 12 1k k且 12 kk，可得 2 1 1 k k 且 1 1k， 所以 2 1 2 1 3 3 E k x k ， 1 2 1 2 3 E k y k ， 11 22 111 222 111 22 11 22 3132 3133(1) 313 ED DE ED kk yykkk k xxkkk kk ， 直线DE的方程为 2 111 222 111 2213 () 133(1)1
17、3 kkk yx kkk ，14 分 令0y，可得 22 11 22 11 133(1) 2 1313 kk x kk 故直线 DE过定点( 2,0) 16 分 （法二）若DE垂直于y轴，则, EDED xxyy， 此时 22 12 22 1 11133 DEDD DEDD yyyy k k xxxy 与题设矛盾 若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为+xty s，将其代入 22 31xy， 可得 222 (3)210tytsys，可得 2 22 21 , 33 DEDE tss yyyy tt ， 12 分 又 12 1 11(1)(1) DEDE DEDE yyy y k k xxtysty
18、s ， 可得 22 (1)(1)()(1)0 DEDE ty yt syys，14 分 故 2 22 22 12 (1)(1)(1)0 33 sts tt ss tt ， 可得2s或 1，又DE不过A点，即1s ，故2s 所以DE的方程为2xty，故直线 DE过定点( 2,0) 16 分 21解：（1）对于函数 2 1( ) fxx，当0,0ts时， 22 11 ( )0,( )0f ttfss， 又 222 111 ( )( )()()20f tf sf tstststs，所以 111 ( )( )()f sf tf st， 故 2 1( ) fxx是“ L 函数” . 2 分 对于函数 2
19、( ) fxx，当1ts时， 222 ( )( )22()ftfsfts， 故 2( ) fxx不是“ L 函数” . 4 分 （2）当0,0ts时，由( )31(31) xx g xa是“ L 函数”， 可知( )31(31)0 tt g ta，即(31)(3)0 tt a对一切正数 t恒成立， 又310 t ，可得3 t a对一切正数t恒成立，所以1a6 分 由( )( )()g tg sg ts，可得 + 3331(3331)0 s tsts tst a， 故(31)(31)(3)0+ sts t a，又(31)(31)0 ts ，故30+ s t a， 由30+ s t a对一切正数,
20、 s t恒成立，可得10a，即1a9 分 综上可知， a 的取值范围是 1 1，10 分 （3）由函数( )f x为“ L 函数”，可知对于任意正数, s t， 都有( )0,( )0f sf t，且( )( )()f sf tf st， 令s t，可知(2 )2( )fsf s ，即 (2 ) 2 ( ) fs f s ，12 分 故对于正整数k 与正数 s ，都有 1 12 (2)(2)(2)(2 ) 2 ( )(2)(2)( ) kkk k kk fsfsfsfs f sfsfsf s ，14 分 对任意 1 (2,2 )(*)N kk xk，可得 11 (2,2) kk x ，又(1)1f， 所以 1111 2 ( )(2)(2)(2)2(1) 22 k kkkk x f xf xfff，16 分 同理 11111112 ( )(2)(2)(2)2(1)2 kkkkk fffff xxx ， 故 1 ( )( )f xf x 2 2 x x 18 分