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1、上海交通大学2004 至 2005 第一学期线性代数期末考试试卷 线 性 代 数 试 卷(A) 2004-12-29 姓名_ _ _班级_ _ _学号 _ _ 题号一二三四总分 得分 一、选择题 （每题 3 分，共 15 分） 1. 设矩阵，则行列式 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 2. 设三阶矩阵，已知伴随矩阵的秩为 1，则必有 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 3. 设是维非零实列向量 , 矩阵,，则_ (A) 至少有1 个特征值为 1； (B) 恰有个特征值为 1； (C) 只有 1 个特征值为 1； (D) 没有 1 个特征值为 1 4. (A) ； (B) ； (
2、C) ； (D) 5. 已知解向量组是齐次线性方程组的基础解系，以下解 向量组中，也是的基础解系的是 ； ； ； 二、填空题 （每题 3 分，共 15 分） 1设 4 阶方阵的伴随矩阵为，且它们的秩为， 则秩_ ； 2. 设阶向量，；矩阵, 且 ，则_ _； 3. 已知实二次型正定, 则实常数 的取值范围为 _ ； 4. 设向量和都是矩阵对应特征值的特征向量，且 向量，则向量； 5. 设为阶实矩阵，且，则行列式 三、计算题 ( 每题 9 分, 共 54 分) 1. 计算 5 阶行列式： 2. 设 4 阶方阵满足方程，试求矩阵，其中 3. 已知为三阶实对称矩阵，, 是对应特征值 的特征向量，试求： （1） 的另一个特征值及其特征向量；（2） 矩阵 4. 已知实二次型=求正交变换, 化为标准形，并写出正交变换 5. 设的两个基，；， （1） 求由基的过渡矩阵； （2） 已知向量，求向量在基下的坐标 6. 设线性方程组为，问,各取何值时，线性 方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解 四、证明题 ( 每题 8分, 共 16 分) 1设为阶矩阵，且满足， 证明： 2. 设是阶实矩阵 , 证明：为正定矩阵的充分必要条件为存在阶正定矩 阵，使