中考数学压轴题基本母题(28题)示例(学生版无答案+教师板含答案).pdf

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1、1 中考数学必做的28 道压轴题（学生版，无答案） 1如图，在RtABC中， ACB=90 ， AC=8 ，BC=6 ，CD AB于点 D点 P从点 D出发，沿线段DC向点 C运动，点Q从点 C出发，沿线段CA向点 A运动，两点同时出发，速度都为每秒1 个单位长度，当点P 运动到 C时，两点都停止设运动时间为t 秒 （1）求线段CD的长； （2）当 t 为何值时， CPQ 与 ABC 相似？（ t 为何值时，可改为CPQ 为直角三角形？） （3）设 CPQ 的面积为S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使 得 SCPQ： SABC=9：100？若存在，求出

2、 t 的值；若不存在，说明理由 （4）当 t 为何值时，CPQ 为等腰三角形？ （5）又一动点M 从 D 点与 P、Q 同时出发，以每秒4/3 个单位的速度向A 点运动，是否存在某个时 间 t，使四边形PMAQ 为平行四边形，若存在，求出t 的值并求出此平行四边形的面积，若不存在，请 说明理由。若PMG 的面积为y，求 y 与 t 的函数关系示，并写出t 的取值范围（只列式不化简）。 2如图（左），在直角三角形ABC中， C=90， AC=4cm ， BC=3cm ，点 P由点 B出发沿 BA方向向 A点 匀速运动，速度为1cm/S；点 Q由点 A出发，沿AC方向向点 C匀速运动，速度为2cm

3、/S；连接 PQ ，若两 动点同时出发，设运动的时间为t（s）（ 0t 2），解答下列问题： t 为何值时， PQ BC ？（可升级为PQA为直角三角形？或PQA与 ABC相似？） 设 PQA的面积为y（cm 2），求 y 与 t 之间的函数关系式。 是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把 ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不 存在，说明理由。 如图（右），连接PC ，并把 PQC 沿 QC对折，得到四边形PQP C，那么是否存在某一时刻t ，使四边 形 PQP C为菱形，若存在，求出此时菱形的边长，若不存在，说明理由。 B C A P Q B C A P Q P 2 3已知

4、：如图，在ABCD中，AB3cm ，BC5cm ACAB 。ACD沿AC的方向匀速平移得到 PNM ，速度为 1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当PNM停止平移 时，点Q也停止运动如图，设运动时间为t(s) （0t4） 解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ MN？ （2）设QMC的面积为y(cm 2) ，求 y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S QMCS四边形 ABQP14？若存在，求出t的值； 若不存在，请说明理由 （4）是否存在某一时刻t，使PQMQ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 4抛物线y=ax 2+bx+c(a

5、 0)的顶点坐标为（2，-1） ，并且与y 轴交于点C（0,3） ，与 x 轴交于两点A、 B. （1）求抛物线的解析式； （2）设点 P 是位于直线BC 下方的抛物线上一动点。 1 如图 1，过点 P 做 PD BC，垂足为D，求垂线段PD 的最大值并求出此时点P的坐标； 2如图 2，抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 M， 过点 P做 y 轴的平行线PQ，与直线 BC 交于点 Q， 问是否以存在点P，使得 M、P、Q 为顶点的三角形与BCO 相似，若存在，直线写出点P 的坐标；若 不存在，请说明理由。 若抛物线的顶点为N，是否存在点P 使四边形PQMN 为平行四边形，若不存在，说明理由。若

6、 存在，求出P 点的坐标。 若图 2 中 PMC 的面积为S，求 S 与 t 的函数关系式。并判断S 有无最值，若有求出最值，若没 有，说明理由。 动点 M 在 x 轴上，动点N 在抛物线上，若以，M、 N、B、 C 为顶点的四边形为平行四边形，求 点 N 的坐标。 3 5.如图 , 在矩形 ABCD 中 ,AB=6cm,AD=8cm,点 P从点 A出发沿 AD向点 D匀速运动 , 速度是 1cm/s, 过点 P作 PE AC交 DC于点 E.同时 ,点 Q从点 C出发沿 CB方向 , 在射线 CB上匀速运动 , 速度是 2cm/s, 连接 PQ,QE,PQ 与 AC交与点 F,设运动时间为t

7、 （s）（ 0t 8） （1）当 t 为何值时 , 四边形 PFCE是平行四边形； （2）设 PQE的面积为s（cm 2），求 s 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t, 使得 PQE的面积为矩形ABCD面积的； （4）是否存在某一时刻t, 使得点 E在线段 PQ的垂直平分线上 6如图 ,顶点为 A 的抛物线y=a （x+2 ）24 交 x 轴于点 B（1,0）,连接 AB,过原点 O 作射线 OM AB， 过点 A 作 AD x 轴交 OM 于点 D,点 C 为抛物线与x 轴的另一个交点,连接 CD （1）求抛物线的解析式,直线 AB 的解析式； （2） 若动点 P 从点 O

8、 出发 ,以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点 D 运动 ,同时动点 Q 从点 C 出发 , 以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点 O 运动 ,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动. 问题一：当t 为何值时 , OPQ 为等腰三角形？ 问题二：当t 为何值时 ,四边形 CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长 4 7.如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线yax 2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴 上的点 B，AOBO2， AOB120 （ 1）求这条抛物线的表达式； （ 2）连结 OM，求 AOM 的大小； （ 3）如果点C 在 x 轴上，且

9、 ABC 与 AOM 相似，求点C 的坐标 （ 4）抛物线的对称轴上是否存在一点N，使 NAO 的周长最小，如果存在，请求出N 点的坐标。 （ 5）直接写出点K 的坐标，使点K、A、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形。 图 1 8操作：将一把三角尺放在边长为1 的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动， 直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC 相交于点Q，设 A、P 两点间的距离为x 探究： （1）当点 Q 在边 CD 上时，线段PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论； （2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为 y，求 y

10、 与 x 之间的函数关系式，并写出x 的取值 范围； （3）当点 P 在线段 AC 上滑动时， PCQ 是否能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应x 的值；如果不 可能，试说明理由 212世纪 *教育网 （备用图）（备用图） 5 9 6 10.如图一， ABC 为等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形， D、 F 分别在AB 、AC 上，此时， BD=CF ，BD CF 成立。 当正方形ADEF 绕点 A 逆时针旋转 （090）时，如图二， BD=CF 成立吗？若成立，请证明。 若不成立，请说明理由。 当正方形ADEF 绕点 A 逆时针旋转4

11、5时，如图三，延长BD 交 CF 于点 G， 求证： BDCF； 当 AB=4 ，AD= 2 时，求线段BG 的长。 C A B D EF C A B D E F C A B D E F G 11.如图，已知RtABC和 RtDEF按照图（ 1）摆放，（点C和点 E重合），点B、C （E）、F 在 同一条直线上，ACB= EDF=90 ， DEF=45 ， AC=8cm ，BC=6cm ，EF=9cm 。 如图（2），DEF从图（1）出发，以 1cm/s 的速度沿 CB向ABC 匀速运动，在 DEF 移动的同时， 点 P 从ABC的顶点 B出发，以 2cm/s 的速度沿 BA向点 A 均速运动

12、，当 DEF的顶点 D移动到 AC 边上时， DEF停止运动，点P也随之停止移动， DE与 AC交于点 Q ，连接 PQ ，设移动时间为t （S） （0t 4.5 ），则： t 为何值时，点A在线段 PQ的垂直平分线上？ 连接 PE ，设四边形APEC 的面积为 ycm 2, 求 y 与 t 的函数关系式。是否存在某一时刻 t ，使面积 y 最小？若存在，求出y 的最小值，若不存在，请说明理由。 是否存在某一时刻t ，使 P、Q 、F 三点在同一条直线上。若存在，请求出t 的值，若不存在，请 说明理由。 7 A B C (E) D F A B C D F E Q P 图（ 1）图（ 2） 12

13、. 如图， RtABC 中， ACB=90 ，AC=6cm ，BC=8cm ，动点 P从点 B 出发，在 BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点 C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运 动时间为t 秒（ 0t2），连接PQ （1）若 BPQ 与 ABC 相似，求t 的值； （2）连接 AQ，CP，若 AQ CP，求 t 的值； （3）试证明： PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上 13已知抛物线yax2bx c （a0）的图象经过点B （12,0 ） 和 C（ 0， 6） ，对称轴为x2 （1）求该抛物线的解析式； （2）点 D 在线段 AB

14、 上且 ADAC，若动点 P 从 A 出发沿线段AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速 运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说 明理由； （3）在（ 2）的结论下，直线x1 上是否存在点M 使， MPQ 为等腰三角形？若存在，请写出所 有点 M 的坐标（请直接写出答案），若不存在，请说明理由 【提示 ：抛物线cbxaxy 2 （a0）的对称轴是， a b x 2 顶点坐标是 a bac a b 4 4 2 2 ， 】 A B C P Q D O

15、x y 8 14.如图所示，已知抛物线y=ax 2+bx+c 过点 M（2， 3）和点 B（0， 3）及点 N（1， 4） ，与 x 轴 交于 C、D 两点（ C 点在 D 点的左侧），点 A 为抛物线的顶点。 【顺次为图】 C D B E A O X Y CD B E A O X Y 9 CD B E A O X Y CD B E A O X Y 求抛物线的关系式。 判定 ABD 的形状，并说明理由。 E 为对称轴与x 轴的交点，对称轴上是否存在点P，使 PED 与 ABD 相似？若存在，求出点P的坐 标，若不存在，说明理由。 在 x 轴上是否存在点P，使 PA+PB 最短，若存在，求出点P

16、 的坐标，若不存在，说明理由。 在 y 轴上是否存在P，使 PAD 的周长最小，若存在，求出点P的坐标及最短的周长，若不存在，说 明理由。 对称轴上是否存在点P，使 PBC 为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。 在直线BD 的下方的抛物线上是否存在点P，使 PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标，若不 存在，说明理由。 在直线BD 的下方的抛物线上是否存在点P，使四边形DOBP 的面积最大？若存在，求出点 P的坐标， 若不存在，说明理由。 在直线BD 的下方的抛物线上是否存在点P，使四边形DCBP 的面积最大？若存在，求出四边形的最 大面积，若不存在，说明理由。 在

17、直线BD 的下方的抛物线上是否存在点P，使 P 点到直线BD 的距离最大，若存在，求出点P的坐 标及最大距离，若不存在，说明理由。 在直线BD 的下方的抛物线上是否存在点P，使 P 点到直线BD 的距离等于 2，若存在，求出点P 的 坐标及最大距离，若不存在，说明理由。 在抛物线上是否存在点P，使S PBC=2S ABD，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由。 若点 P 在抛物线上，且PDB=90， 求点 P 的坐标。 若平行于x 轴的动直线I 与直线 BD 相交于点F，与抛物线相交于点P，若 ODF 为等腰三角形，则 求 P 点的坐标。 若点 Q 是线段 CD 上的一个动点（不与C、

18、D 重合） ，QHBD ，交 BC 于点 H，当 QBH 的面积最 大时，求Q 点的坐标。 若 E 为 x 轴上的一个动点，F 为抛物线上的一个动点，使B、D、E、F 构成平行四边形时，试求E 点 的坐标。 若 G（ 2， n）在抛物线上，平面内是否存在点K，使， K、G、O、D 为顶点的四边形为平行四边 形，若存在，请直接写出K 点的坐标，若不存在，请说明理由。 抛物线上是否存在点S，使点 S 到点 B 和点 D 的距离的差最小，若存在， 求出点 S 的坐标， 若不存在， 请说明理由。 15如图：【顺次为图】 10 A B C DE F AB C D E F A B C D F E AB C

19、 E F 如图， E、F 为正方形边BC 和 DC 上的两个动点，且EAF=45 ，连接EF，证明： EF=DE+BF 如图，四边形ABCD 中，若AD=AB ， DAB=90 ，且 EAF=45 ，连接EF，若要EF=DE+BF 仍然成立，则B 与 D 需要满足什么样的胆等量关系？简要说明。 如图，四边形ABCD中，若AD=AB ， DAB+ C=180则 EAF 满足什么条件时，EF=DE+BF 仍然成立？（不要求证明）。 如图， ABC 中， BAC=90 ， AB=AC ， EAF=45 ，猜想： EF、BE 与 CF 有什么数量关系， 并对你的猜想进行证明。 16如图，在梯形ABCD

20、 中， AD BC， ABC=90 ， AB=2 0 ， CD=25，动点P、Q同时从 A点出 发：点P 以 3 /s 的速度沿ADC 的路线运动，点Q 以 4 /s的速度沿ABC 的路线运动， 且 P、 Q两点同时到达C点， 求梯形ABCD 的面积。 设 P 、Q两点运动的时间为t( 秒) ，四边形 APCQ 的面积为S （ cm 2）, 试求出 S与 t 的函数关系，并写出 自变量 t 的取值范围。 在的条件下，是否存在t ，使得四边形APCQ 的面积恰好等于梯形ABCD 面积的 2/5 ，若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由。 11 A B C D P Q 17.如图 1，矩形 AB

21、CD 中，AB=7cm ， AD=4cm ，点 E为 AD上一定点， 点 F为 AD延长线上一点， 且 DF=acm ， 点 P从 A点出发，沿AB边向点 B以 2cm/s 的速度运动，连结PE ，设点 P运动的时间为ts ， PAE的面 积为 ycm 2，当 0t 1 时， PAE的面积 y（cm2）关于时间 t（ s）的函数图象如图2 所示，连结PF，交 CD于点 H （1）t 的取值范围为，AE= cm； （2）如图 3，将 HDF沿线段 DF进行翻折，与CD的延长线交于点M ，连结 AM ，当 a 为何值时，四边形 PAMH 为菱形？并求出此时点P的运动时间t ； （3）如图 4，当点

22、 P出发 1s 后， AD边上另一动点Q从 E点出发，沿ED边向点 D以 1cm/s 的速度运动， 12 如果 P， Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结PQ ，QH 若 a=cm ，请问 PQH能 否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t ；若不能，请说明理由 18如图 11-1，抛物线 3 2 bxaxy （ 0a ）与 x轴、 y 轴分别交于点A（ 1， 0） 、B（3， 0） 、 点 C 三点 （1）试求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）点 D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD 试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存 在一点 P，满足 PBC=DBC

23、？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图 11-2，在（ 2）的条件下，将BOC 沿x轴正方向以每秒1 个单位长度的速度向右平移，记 平移后的三角形为 B O C 在平移过程中，BOC与BCD 重叠的面积记为S，设平移的时间为t 秒（30t） ，试求 S与 t 之间的函数关系式？ 19如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（ 4，0） ，并且 OA=OC=40B ，动点 P 在过点 A、 B、C 的抛物线上。 求抛物线的关系式。 是否存在点P，使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐 标，若不存在，说明理由。 过动点

24、P 作 PE 垂直 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为F，连接 EF， 当线段 EF 的线段最短时，求出的P 的坐标。 若点 G（ 2，n）在直线 AC 上，线段 EF 在 x 轴上，且 EF=1，当四边形EFGC 的周长最小时，求E 点的坐标及四边形EFGC 周长的最小值。 图 11-1 图 11-2 13 图11-1图11-2 B A 20如图 1，已知抛物线的方程C1： 1 (2)()yxxm m (m0)与 x 轴交于点B、C，与 y 轴交 于点 E，且点 B 在点 C 的左侧 （ 1）若抛物线C1 过点 M(2, 2)，求实数m 的值； （ 2

25、）在（ 1）的条件下，求BCE 的面积； （ 3）在（ 1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得 BHEH 最小，求出点H 的坐标； （ 4）在第四象限内，抛物线C1 上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角形 与 BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 21如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形 OABC 的边 OA 、OC分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，且长分别 为 m 、4m （ m 0）， D为边 AB的中点，一抛物线L经过点 A、D及点 M （ 1， 1m ）。 （1）求抛物线L 的解析式（用含m的式子表示）； （2）把 OAD沿直线 OD折叠

26、后点 A落在点 A处，连接OA 并延长与线段BC的延长线交于点 E，若抛物线L 与线段 CE相交，求实数m的取值范围； （3）在满足（ 2）的条件下，求出抛物线L 顶点 P到达最高位置时的坐标。 14 22（平行四边形存在性变式训练） 15 23. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“ 中垂三角形 ” ，即两条中线互相垂 16 直的三角形称为“ 中垂三角形 ” 如图（ 1） 、图（ 2） 、图（ 3）中， AM 、BN 是 ABC 的中线， AM BN 于点 P，像 ABC 这样的三角形均为“ 中垂三角形 ” 设 BC=a，AC=b ，AB=c 【特例探究】 （1）如图

27、1，当 tanPAB=1，c=4时， a=4，b=4； 如图 2，当 PAB=30 ，c=2 时， a=，b=； 【归纳证明】 （2）请你观察（ 1）中的计算结果，猜想a 2 、b 2 、c 2 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证 明你的结论 【拓展证明】 （3）如图 4，? ABCD 中， E、F 分别是 AD 、BC 的三等分点，且AD=3AE ，BC=3BF ，连接 AF、BE、 CE，且 BECE 于 E，AF 与 BE 相交点 G， AD=3，AB=3 ，求 AF 的长 17 24 【几代融合】 如图，抛物线 2424 yxx4 55 与 x 轴相交于点A、B，与 y

28、轴相交于点C，抛物 线的对称轴与x 轴相交于点MP 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点 P、M、C 不在同一条直线上） 分 别过点 A、B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为D、E，连接点 MD、ME （1）求点 A，B 的坐标（直接写出结果），并证明 MDE 是等腰三角形； （2） MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由； （3）若将 “ P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P、M、C 不在同一条直线上）” 改为 “ P 是抛物线在x 轴下方的一个动点” ，其他条件不变，MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接 写出结果）；若不能，说明理

29、由 18 25二次函数动点问题与相似模型的结合 19 26如图，抛物线y=ax 2+bx+3 交 x 轴于 A（ 1，0）和 B（5，0），交 y 轴于点 C，点 D是线段 OB上一 动点，连接CD ，将 CD绕点 D顺时针旋转90得到线段DE，过点 E 作直线 l x 轴，垂足为H，过点 C 作 CF l 于 F，连接 DF，CE交于点 G （1）求抛物线解析式； （2）求线段DF的长； （3）当 DG=时， 求 tan CGD 的值； 试探究在x 轴上方的抛物线上，是否存在点P，使 EDP=45 ？若存在，请写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由 27 （2017? 包头）如图，在矩形AB

30、CD 中，AB=3，BC=4，将矩形 ABCD 绕点 C 按顺时针 方向旋转 角，得到矩形 ABCD ，BC 与 AD 交于点 E，AD 的延长线与 AD 交于点 F 20 （1）如图，当 =60时，连接 DD，求 DD和 AF 的长； （2）如图，当矩形ABCD 的顶点 A落在 CD 的延长线上时，求EF 的长； （3）如图，当 AE=EF 时，连接 AC，CF，求 AC?CF的值 28 （2017? 包头）如图，在平面直角坐标系中， 已知抛物线 y= x 2+bx+c 与 x 轴交于 A（1， 0） ，B（2，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）直线 y=x+

31、n 与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段 BC 交于点 E，与 x 轴交于 点 F，且 BE=4EC 求 n 的值； 连接 AC，CD，线段 AC 与线段 DF 交于点 G，AGF 与CGD 是否全等？请说明理由； （3）直线 y=m（m0）与该抛物线的交点为M，N（点 M 在点 N 的左侧） ，点 M 关于 y 轴的对称点为点 M，点 H 的坐标为（ 1，0） 若四边形 OMNH 的面积为求点 H 到 OM 的距离 d 的值 21 中考数学必做的28 道压轴题（教师版，含答案） 1如图，在RtABC中， ACB=90 ， AC=8 ，BC=6 ，CD AB于点 D点 P从点 D出发，沿线段

32、DC向点 C运动，点Q从点 C出发，沿线段CA向点 A运动，两点同时出发，速度都为每秒1 个单位长度，当点P 运动到 C时，两点都停止设运动时间为t 秒 （1）求线段CD的长；（ 4.8 ） （2）当 t 为何值时， CPQ 与 ABC 相似？（ t 为何值时，可改为CPQ 为直角三角形？） (3；1.8) （3）设 CPQ 的面积为S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使 得 SCPQ： SABC=9：100？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由 (S=2/5t 2+48/25；存在： 3；1.8) （4）当 t 为何值时，CPQ 为等腰三角形？(

33、2.4；144/55；24/11) （5）又一动点M 从 D 点与 P、Q 同时出发，以每秒4/3 个单位的速度向A 点运动，是否存在某个时间 t，使四边形PMAQ 为平行四边形，若存在，求出t 的值并求出此平行四边形的面积，若不存在，请说明 理由。 补充答案 (5)t=3时，四边形PMAQ 为平行四边形。面积为7.2 个平方单位 . 22 23 2如图（左），在直角三角形ABC中， C=90， AC=4cm ， BC=3cm ，点 P由点 B出发沿 BA方向向 A点 匀速运动，速度为1cm/S；点 Q由点 A出发，沿AC方向向点 C匀速运动，速度为2cm/S；连接 PQ ，若两 动点同时出发

34、，设运动的时间为t（s）（ 0t 2），解答下列问题： t 为何值时， PQ BC ？（可升级为PQA为直角三角形？或PQA与 ABC相似？） 设 PQA的面积为y（cm 2），求 y 与 t 之间的函数关系式。 是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把 ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不 存在，说明理由。 如图（右），连接PC ，并把 PQC 沿 QC对折，得到四边形PQP C，那么是否存在某一时刻t ，使四边 形 PQP C为菱形，若存在，求出此时菱形的边长，若不存在，说明理由。 B C A P Q B CA P Q P 24 3已知：如图，在ABCD中，AB3cm ，B

35、C5cm ACAB 。ACD沿AC的方向匀速平移得到 PNM ，速度为 1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当PNM停止平移 时，点Q也停止运动如图，设运动时间为t(s) （0t4） 解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ MN？ （2）设QMC的面积为y(cm 2) ，求 y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S QMCS四边形ABQP14？若存在，求出 t的值； 若不存在，请说明理由 （4）是否存在某一时刻t，使PQMQ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 解： （1）在 RtABC中，由勾股定理得：4 22 ABBCAC 由平

36、移性质可得 MN AB 25 因为 PQ MN ，所以 PQ AB ，所以 CB CQ CA CP ，即 54 4tt ，解得 9 20 t （2）作 PD BC于点 D，AE BC于点 E 由BCAEACABS ABC 2 1 2 1 可得 5 12 AE 则由勾股定理易求 5 16 CE 因为 PD BC ，AE BC 所以 AE PD ，所以 CPD CAE 所以 AE PD CE CD CA CP ，即 5 12 5 16 4 4PDCDt （备注，粗略通读题，用得着的计算一并先算出） 求得： 5 312t PD， 5 416t CD 因为 PM BC ，所以 M到 BC的距离 5 3

37、12t PDh 所以， QCM 是面积tt t thCQy 5 6 10 3 5 312 2 1 2 1 2 （2）因为 PM BC ，所以 MQCPQ C SS 若SQMCS四边形 ABQP14，则S QMCSABC1 5 即：6 5 1 5 6 10 3 2 tt，整理得：044 2 tt，解得2t 答：当 t=2 时，S QMCS四边形ABQP14 （4）若MQPQ，则 MDQ= PDQ=90 因为 MP BC ，所以 MPQ= PQD ， 所以 MQP PDQ ，所以 DQ PQ PQ PM ，所以DQPMPQ 2 即：DQPMDQPD 22 ，由 5 416t CD，所以 DQ =

38、CD-CQ 5 916t 故 5 916 5) 5 916 () 5 312 ( 22ttt ，整理得032 2 tt 解得 2 3 ),(0 21 tt舍 答：当 2 3 t时，MQPQ。 26 4抛物线y=ax 2+bx+c(a 0)的顶点坐标为（2，-1） ，并且与y 轴交于点C（0,3） ，与 x 轴交于两点A、 B. （1）求抛物线的解析式； （2）设点 P 是位于直线BC 下方的抛物线上一动点。 1如图 1，过点 P 做 PD BC，垂足为 D，求垂线段PD 的最大值并求出此时点P的坐标； 2如图 2，抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 M， 过点 P做 y 轴的平行线PQ，与直线

39、 BC 交于点 Q， 问是否以存在点P，使得 M、P、Q 为顶点的三角形与BCO 相似，若存在，直线写出点P 的坐标；若 不存在，请说明理由。 若抛物线的顶点为N，是否存在点P 使四边形PQMN 为平行四边形，若不存在，说明理由。若 存在，求出P 点的坐标。 若图 2 中 PMC 的面积为S，求 S 与 t 的函数关系式。并判断S 有无最值，若有求出最值，若没 有，说明理由。 动点 M 在 x 轴上，动点N 在抛物线上，若以，M、 N、B、 C 为顶点的四边形为平行四边形，求 点 N 的坐标。 答案： （1）由题意可设抛物线的表达式为12 2 xay. 点 C3, 0在抛物线上， 3120 2

40、 a，解得1a. 34 2 xxy,3分 （2）过 P作 y 轴的平行线交BC与 Q ， 直线 BC的解析式为：y=x+3 则 PQ=xxxxx3343 22 ）（）（,5分 PD=)3( 2 2 2 22 xxPQ, 当 x=1.5 时有最大值 8 29 ,7分 对应点 P( 4 3 - , 2 3 ),9分 过 Q做对称轴的垂线，垂足为M ，只要 QM=ME 即可 (1,0) ；122，,11 分 m=1或者 2 2（舍去） S=-m 2+3m 最值为 9/4 27 5.如图 , 在矩形 ABCD 中 ,AB=6cm,AD=8cm,点 P从点 A出发沿 AD向点 D匀速运动 , 速度是 1

41、cm/s, 过点 P作 PE AC交 DC于点 E.同时 ,点 Q从点 C出发沿 CB方向 , 在射线 CB上匀速运动 , 速度是 2cm/s, 连接 PQ,QE,PQ 与 AC交与点 F,设运动时间为t （s）（ 0t 8） （1）当 t 为何值时 , 四边形 PFCE是平行四边形； （2）设 PQE的面积为s（cm 2），求 s 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t, 使得 PQE的面积为矩形ABCD面积的； （4）是否存在某一时刻t, 使得点 E在线段 PQ的垂直平分线上 【解答】 解：（ 1）PD=8t，CQ=2t，根据题意得：8t=2t，解得： t=； （2）S 四边

42、形PDCQ=（PD+CQ）?CD= 6（8t+2t）=3（8+t） =3t+24， PEAC， =，则 DE=t+6，则 EC=6（t+6）= t， 则 SPDE= PD?DE=（8t） ?（t+6）， SCQE=CQ?EC= 2t? t=t 2， 则 s=3t+24（8t）?（t+6）t2，即 s=t 2+9t； （3）S 矩形ABCD=6 8=48，根据由题意得：t 2+9t= 48，解得： t=2 或 6； （4）在直角 PDE 中， PD 2=（8t）2+（ t+6） 2， 在直角 COQ 中， QE2=（2t） 2 +（ t） 2， 当点 E 在线段 PQ 的垂直平分线上时，PE2=

43、QE 2， 则（ 8t） 2+（ t+6） 2=（2t）2+（ t）2， 解得： t=或（舍去）则t= 28 6如图 ,顶点为 A 的抛物线y=a （x+2 ）24 交 x 轴于点 B（1,0）,连接 AB,过原点 O 作射线 OM AB， 过点 A 作 AD x 轴交 OM 于点 D,点 C 为抛物线与x 轴的另一个交点,连接 CD （1）求抛物线的解析式,直线 AB 的解析式； （2） 若动点 P 从点 O 出发 ,以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点 D 运动 ,同时动点 Q 从点 C 出发 , 以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点 O 运动 ,当其中一个点停止运动时另一

44、个点也随之停止运动. 问题一：当t 为何值时 , OPQ 为等腰三角形？ 问题二：当t 为何值时 ,四边形 CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长 解：（ 1）由顶点为A 的抛物线y=a（x+2） 2 4交 x 轴于点 B（1，0）可得： 0=a（1+2） 2 4，解得： a= ， 抛物线的解析式：，顶点 A（ 2， 4）， 设直线 AB ：y=bx+k ，带入点A，B 两点坐标得：，解得：， 直线 AB 的解析式： y=， （2）如图： 29 ODAB ，所以得直线OD：y=， AD x 轴，解得点D（ 3， 4）， 解得 OD=5 ，tanCOD=，sinCOD= ，cos COD=，

45、把 y=0 带入抛物线解析式得：0=， 解得： x=1，或 x=5，所以点C（ 5，0）， OC=5， 由 2t5，得t2.5，OP=t，OQ=52t， 当 OP=OQ时，有：t=52t，解得t= ， 当 OQ=QP 时，有： t=2（52t） ，解得 t=， 当 QP=OP 时，有： 52t=2t ，解得 t=， 综上所述，当t 为，时， OPQ 为等腰三角形； 四边形 CDPQ 的面积 =SQCDSOQP= 5 4 （52t） t =， 所以当 t= 时，四边形CDPQ 的面积有最小值， 此时， OQ=，OP= ，sinCOD=，cosCOD= ，可求得PQ= 7.如图 1，在平面直角坐标

46、系xOy 中，顶点为M 的抛物线yax2bx（a0）经过点A 和 x 轴正半轴 30 上的点 B，AOBO2， AOB120 （ 1）求这条抛物线的表达式； （ 2）连结 OM，求 AOM 的大小； （ 3）如果点C 在 x 轴上，且 ABC 与 AOM 相似，求点C 的坐标 （ 4）抛物线的对称轴上是否存在一点N，使 NAO 的周长最小，如果存在，请求出N 点的坐标。 （ 5）直接写出点K 的坐标，使点K、A、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形。 图 1 满分解答 （ 1）如图 2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为H 在 RtAOH 中， AO2， AOH30， 所以 AH1，OH3所以 A( 1, 3) 因为抛物线与x 轴交于 O、B(2,0)两点， 设 yax(x2)，代入点A( 1, 3)，可得 3 3 a图 2 所以抛物线的表达式为 2332 3 (2) 333 yx xxx （ 2）由 2232 333 (1) 3333 yxxx， 得抛物线的顶点M 的坐标为 3 (1,) 3 所以 3 tan 3 BOM 所以 BOM 30所以 AOM150 （ 3）由 A( 1,3)、B(2,0)、M 3 (1,) 3 ， 得 3 tan 3 ABO，2 3AB， 2 3 3 OM 所以 ABO30，3 OA OM 因此当点C 在点 B 右侧时， ABC AOM150