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1、正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 1 D C B A 第一章三角形的证明 通关口诀： 定义性质和判定；全等判定要证明； 等腰直角和等边；中垂角分原逆通。 基本作图要掌握；特殊模型记心中。 初步了解反证法；两线联系是两心。 正奇数学学堂 第一讲：等腰三角形 【知识点一】全等三角形等腰三角形性质。 1. 全等三角形判定：SSS ；SAS ；AAS ；ASA 。 2. 直角三角形全等：SS （含 HL）或者 AS 。 3. 全等三角形性质：对应边、角等元素均相等。 4. 全等三角形的类型：平移型 - 对称型 - 旋转 型。 5. 全等
2、的两不能：AAA ；SSA不能判断全等。 6. 等腰三角形的性质： 性质定理：两底角相等（等边对等角）。 其他性质：三个角知一求二；三个角一六皆 六；底角只能是锐角，顶角可锐、可直、可钝；等 腰直角三角形的两个底角都是45 度。 等腰三角形性质定理的证明。做辅助线：对 称轴。 母题示例 1已知： ABC是等腰三角形，AB=AC 求证： B=C ( 提示：利用三角形全等证明。 你能想到哪些方法？) 2等腰三角形的两边分别是7 cm和 3 cm，则周长 为 _ 。 3如图在 ABC中， AB = AC，AD AC ， BAC = 100 。求： 1、 B的度数。 4如图，已知D = C ， A =
3、B，且 AE = BF。 求证： AD = BC。 5 如图，在 ABC中，D为 AC上一点， 并且 AB = AD ， DB = DC，若 C = 29 ，求 A 。 6填空： （1）如图，在 ABC中， AB = AC，点 D在 AC上， 且 BD = BC = AD 。请找出所有的等腰三角形 _ 。 （2）等腰三角形的顶角为50，则它的底角为 _ 。 （3）等腰三角形的一个角为40，则另两个角为 _ 。 C B A 3 21 A B C D A D C B A AB C D EF 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 2 D
4、C B A F E 12 E A BC D E A BC D E A B C D （4）等腰三角形的一个角为100，则另两个角为 _ 。 （ 5）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都 等于 _ 度。 2、如图，在ABC中， AB = AC， D是 BC边上的中 点，且 DE AB ，DF AC 。 求证： 1 = 2。 【知识点二】 等腰三角形性质定理的推论及等边三 角形的性质。 1推论： 等腰三角形顶角的平分线，底边上 的高，底边上的中线相互重合（“三线合一” ） 。 2三线都是“一线” ：对称轴。 3应用： 证明角相等，线段相等或者垂直。 定理：等边三角形三个角都相等，都等于60 。 4
5、叙述： 图形语言符号语言文字语 言。 5定理的证明：略。 母题示例 1证明 ：等腰三角形的两底角的角平分线相等 已知： 如图， ABC中，AB=AC ，BD 、CE是 ABC 的角平分线，求证：BD=CE 证明： AB=AC （） _（等边对等角） 又 BD 、CE是 ABC的角平分线 , DBC= ABC,ECB=_, DBC= ECB 在 BCE与 CBD中， 2推理论证：等腰三角形两腰上的中线( 高)相等； （画图、写出已知、求证、证明过程） 已知：如图， 求证： 证明： 3在如图的等腰三角形ABC中， (1) 如果 ABD= 1 3 ABC，ACE= 1 3 ACB ， 那么 BD=C
6、E 吗?由此，你能得到一个什么结论? (2) 如果 AD= AC，AE = AB ，那么 BD=CE吗?由此 你得到什么结论? 4如图，ABC中， BD AC于 D，CE AB于 E， BD = CE。求证：ABC是等腰三角形。 5 如图， E是 ABC内的一点， AB = AC ，连接 AE 、 BE 、CE，且 BE = CE，延长 AE ，交 BC边于点 D。 求证： AD BC 。 2 1 2 1 2 1 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 3 E A B C D D C B A E A B N C 6已知：如图，点D,E
7、 在三角形ABC 的边BC 上,AD=AE,AB=AC,求证： BD=CE 【知识点三】等腰三角形的判断定理 1判定定理：有两个角相等的三角形是等腰 三角形。（简称：等角对等边）会证明。 2定理应用：证明一个三角形中两边相等。 3证明两条线段的长相等：放到同一个三 角形中证明角相等。放到可能全等的两个三角形中 证明全等。其它途径。 4反证法： 定义： 先假设命题的结论不成立，然后推导 出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明 方法称为反证法。 反证法常用的间接证明法。步骤： 假设命题的结论不成立。 从假设出发，推导出矛盾。 否定假设，从而肯定命
8、题的结论。 母题示例 1已知：如图， 在 ABC中，B=C,求证： AB=AC （提示：构造两个全等三角形证明） 2用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个 内角小于或等于60。 3 如图，在 ABC中， AB = AC，DE BC ，求证： ADE是等腰三角形。 4 如图， 在ABC中， ABC的平分线交AC于点 D，DE BC 。 求证： EBD是等腰三角形。 5如图，一艘船从A处出发，以18 节的速度向正 北航行，经过10 时到达 B处。分别从A、B望灯塔 C，测得 NAC=42 ， NBC=84 。求 B 处到灯塔 C 的距离。 C B A E A B C D 正奇数学教育工种室正奇数
9、学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 4 6已知：如图，在三角形ABC中， AB=AC,D是 AB 上的一点， E是 AC延长线上的一点且DB=CE,DE交 BC于 M.求证： MD=ME. 7用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。 【知识点四】等边三角形的判定定理及“3-6-9 ” 三角形。 1定理1：有一个角是60的等腰三角形是 等边三角形。 （等腰 +60= 等边） 2定理 2：三个角都相等的三角形是等边三角 形。 3定理 3：直角三角形中，如果有一个锐角是 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4定理3 的应用： 证明线段的倍、分、比关 系
10、。 5等腰三角形中的多解问题分类讨论。 ( 腰不定；角不定；高在三角形内外) 。 母题示例 1填空： （1）如图 1，BC = AC，若，则 ABC是 等边三角形。 （2） 如图 2， AB = AC ， AD BC ， BD = 4， 若 AB = ， 则 ABC是等边三角形。 （3） 如图 3， 在 RtABC中，B = 30，AC = 6cm ， 则 AB = ；若 AB = 7 ，则 AC = 。 图 1 图 2 图 3 2已知：如图，ABC是等边三角形，DE BC ，交 AB 、AC于 D、E。 求证： ADE 是等边三角形。 证明： DE BC 3如图，在RtABC中， B = 3
11、0 ， BD = AD， BD = 12 ，求 DC的长。 4已知：ABC中，90ACB，ABCD， 30A ， AB = 40 ，求 DB的长。 5如右图，已知ABC和 BDE都是等边三角形， 求证： AE=CD 。 6等腰三角形的两边长分别是4 和 5，这个三角形 的周长是（） 7等腰三角形的两边长分别是4 和 8，这个三角形 的周长是（） 8等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分 C B A A B C D A BC E A BC D C B A D 30? ? A B C D 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 5 为
12、12 和 15 两部分， 求该三角形各边的长。（8、 8、11；10、10、7） 9等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30 则等腰三角形的顶角为（） 第二讲：直角三角形 【知识点一】勾股定理及其证明。 1勾股定理：直角三角形两条直角边平方的 和。 2 直角三角形性质：两锐角互余；三边勾股 定理； 3、6、 9三角形； 45-9 三角形；以后学习其 它性质。 3方程思想和数形结合思想与勾股定理的综 合应用。 4知任两边求第三边，分类讨论：一直一斜 （大斜小直）或者两直。 5知两直角边求斜高：先求斜边，两直角边 的乘积除以斜边=斜高。 6应用小结：知二边求一边；知一边求另两 边关系；用来证明有关
13、平方的问题；数轴上做出带 二次根号如3 的实数对应的点；列方程等。 7勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平 方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三 角形。 母题示例 1用两种不同的方法表示右图梯形的面积。 解： S1= （上底 +下底）高 = S2= 因为 S1= S 2 ， 所以 2 已知：如图，ABC中，CDAB于D，AC=4，BC=3， DB= 5 9 。 （1）求DC的长； （2）求AD的长； （3）求AB的长； （4）求证：ABC是直角三角形 . 3某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生 物园，如图5 所示，ACB90，AC80 米，BC 60 米，若线段CD是一条小渠， 且
14、D点在边AB上， 已知水渠的造价为10 元/ 米，问D点在距A点多远 处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？ 4 直 角 三 角 形的 两 直角 边 为9、 12， 则 斜 边 为；直角三角形的两边分别为13 和 5 ，则 另一条边为。 如果三角形的三边长是6、 10、 8，则这个三角形是三角形。 5如图，ABBC，DCBC，E是BC上一点， BAE= DEC=60，AB=3，CE=4，求：AD 【知识点二】互逆命题与互逆定理。 1逆命题：两个命题中，如果一个命题的条 件和结论分别是另一个命题结论和条件，那么，这 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇
15、 以正立，以奇胜。 6 两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个 命题的逆命题。 2逆定理： 如果一个定理的逆命题经过证明 是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称 为另一个定理的逆定理。 3每个命题都有逆命题，但不是所有定理都 有逆定理。即：原命题真，逆命题不一定真。 母题示例 1说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真 假。 （1）如果ab=0, 那么a=0,b=0 ； （2）初三（ 6）班 有 62 位同学；（3）等边对等角； 2找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出 来。 （1）如果yx，则 22 yx（2）全等三角形对 应角相等（ 3）对顶角相等 【知识点三】勾股定理的逆定
16、理的证明。 1勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平 方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三 角形。 2直角三角形的判定：从角出发：两锐角和 为 90三角形为直角三角形；从边出发： 勾股定理 的逆定理。 3勾股数的概念及常见的勾股数：3、4、5； 6、8、10；12、13、5 等。 母题示例 已知：如图，在ABC ，AB 2+AC2=BC2，求证： ABC 是直角三角形。 证明：作出RtA B C ，使 A=90， A B =AB ， A C =AC ， 则B C 2=_（勾股定理） AB 2+AC2=BC2 ，A B =AB ，A C =AC ， BC 2= B C2 BC=_ 在 AB
17、C 和 A B C 中， A= A =90(全等三角形的对应角相等) ABC A B C (_) 因此， ABC 是直角三角形。 【知识点四】直角三角形全等的判定。 1HL： 斜边和一条直角对应相等的两个直角 三角形全等。 2SS： 两边（直直或直斜）对应相等的三角 形全等。 3AS： 一个锐角和任意一条对应边相等的三 角形全等。 4强调： 2 与 3中的对应很关键。课本中之所 以没有这样的定理这是主要原因。 母题示例 1已知：如图，ABC和 A B C中 C= C=90，且 AB=A B， BC=B C， 求证： ABC ABC 证明： RtABC和 Rt A BC中， AC 2=_ , A
18、 C2=_2, （勾股定理） 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 7 21 E F A B C D AB=A B， BC=B C， AC 2=_ AC=_ ABC ABC( ) 2如图， B = E = 90 ， AC = DF，BF = EC。 求证： BA = ED。 3在 RtABC中，C = 90，且 DEAB ，CD = ED ， 求证： AD是 BAC的角平分线。 4如图， ACB = ADB = 90， AC = AD， E 是 AB上的一点，求证：CE = DE。 5用三角尺可以作角平线，如图，在已知AOB 的两边
19、上分别取点M、N，使 OM=ON ，再过点M 作 OA 的垂线，过点N 作 OB 的垂线，两垂线交于 点 P，那么射线OP 就是 AOB 的平分线。 证明： 6如图， RtABC和 RtDEF，C=F=90。 （1）若A=D，BC=EF，则 RtABCRtDEF的 依据是 _. （2）若A=D，AC=DF，则 RtABCRtDEF的 依据是 _. （3）若AC=DF，CB=FE ，则 RtABCRtDEF的依 据是 _. 7如图， AD 是 BAC 的角平分线， DEAB ，DF AC ，BD = CD。 求证： EB = FC。 第三讲：线段的垂直平分线和角的平分线 【知识点一】线段垂直平分
20、线的性质定理及逆定 理： 1性质定理 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等。线段的垂直平分线又叫线段的 中垂线。 线段的中垂线：可以看作到线段两段距离相 等的点的集合。中垂线是直线不是线段。 线段是轴对称图形：中垂线其实就是线段的 对称轴。 应用： 证明两条线段相等；证明某直线垂直 （平分）一条线段。 2线段垂直平分线的性质定理的逆定理。 C B AD E F E D A B C C BA D E 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 8 E D A B C 逆定理： 到线段两端距离相等的点，在这条 线段的垂直平分
21、线上。 证明一线是一线段的中垂线： 垂直 +平分 =垂直平分（中垂线） 。 证明两点在中垂线上过这两点的直线是 中垂线。 作用： 中垂线不仅可以证明线段相等，还可 以间接证明角相等。 母题示例 1 已知：如图， 直线 MN AB ， 垂足是 C， 且 AC=BC ， P 是 MN 上的任意一点。 求证： PA=PB。 证明： MN AB ， PCA=_=90 在 PC 和 PCB 中， PCA PCB（） PA=PB（全等三角形的对应边相等） 2已知：如图，AB=AC 求证：点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 证明：（提示：利用等腰三角形三线合一） 【知识点二】作已知线段的垂直平分线。 1尺
22、规做图：是指用没有刻度的直尺和圆规 作图。 2线段垂直平分线的作法： 作弧： 别一线段的两个端点为圆心，一大于 线段长度二分之一长为半径画弧，两弧在线段两侧 相交于两点。 作直线： 过两点作直线，此直线即为所求的 垂直平分线。 母题示例 1已知：线段AB 解：作图如下： 求作：线段AB 的垂直平分线CD。 来源:Z_xx_k.Com 作法： （1）分别 以点 A、B 为圆心， 以大于 1 2 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C、D （2）作直线CD。 即直线 CD 就是线段AB 的垂直平分线。 2如图，在 ABC中， C = 90 ， DE是 AB的垂 直平分线。 1）则 BD = ； 2）
23、若 B = 40 ，则 BAC = ， DAB = ， DAC = ， CDA = ； 3）若 AC= 4， BC = 5 ，则 DA + DC = _ ， ACD的周长为 _ 。 C B A A B 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 9 E D A B C CB A D E DCB A O 3如图， DE为 ABC的 AB边的垂直平分线，D 为 垂足， DE交 BC于 E ， AC = 5，BC = 8，求： AEC 的周长。 4在 ABC中， AB = AC，AB 的垂直平分线交AC 于 D， ABC和 DBC的周长分别是6
24、0cm和 38cm， 求 AB 、BC 。 【知识点三】三角形三边垂直平分线的性质定理。 1定理： 三角形三条垂直平分线相交于一点， 这点到三个顶点的距离相等。（三角形外心 ） 2外心在三角形的位置：锐角三角形内部； 直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外部。 3注意： 三边垂直平分线与三条高等的区别。 母题示例 1已知：如图，在ABC 中，设 AB、BC 的垂直 平分线相交于点P， 求证： AB ，BC，AC 的垂直平分线相交于点P，且 AP=BP=CP 。 证明：连接AP、BP、CP， 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， PA=_（线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点距离相等） 点
25、P 在线段 BC 的垂直平分线上， 2已知：线段a、 h 求作： ABC ，使 AB=AC ，且 BC=a，高 AD=h. 作法： 3如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居 民区 A、B 提供牛奶，牛奶站建在什么地方，才能 使它到A、B 的距离相 等？ 4ABC的三条边的垂直平分线相交于点P，若 PA = 10 ，则 PB= _ ，PC=_ 。 5已知：线段a=3cm 、C=5cm 求作： RtABC ，使斜边AB = C 作法： 6已知： ABC中， AB=AC ，AD是 BC边上的中线， AB的垂直平分线交AD于 O 。 求证： OA=OB=OC 【知识点四】角平分线的性质定理及逆定理。
26、 1性质定理： 定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 10 离相等。（距离：垂线段的长） 应用： 证明线段相等的依据之一。 定理的条件简记为”一分二垂“：这也是符 号语言中必须满足的条件。 训练： 三种语言的应用。 2角平分线性质定理的逆定理。 逆定理： 在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上。 应用： 通过线段相等证明角相等而省略了证 明全等的步骤。垂线段相等证明角相等。 训练： 三种语言的应用。 母题示例 1已知：如图，OC是 AOB的角平分线，点P 在 OC上， P
27、D OB ，PE OA,垂足分别为D，E，求证： PD=PE 2已知：如图，点P为 AOB内一点， PE OA ，PD OB ，且 PD = PE， 求证： OP平分 AOB 。 3如图，在 ABC中， ACB=90 ,BE 平分 ABC ， DE AB于 D ，如果 AC=3 cm，那么 AE+DE 等于（） A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 4如图， CD AB ，BE AC ，垂足分别为D、E，BE 、 CD相交于 O， 1 = 2, 求证： OB = OC。 5如图， E是线段 AC上的一点， AB EB于 B，AD ED于 D，且 1 = 2，CB = CD。
28、求证： 3 = 4。 6如图，在 ABC中， AC = BC， C = 90 ， AD 是 ABC的角平分线，DE AB ，垂足为E。 （1）已知 CD = 4cm ，求 AC的长； （2）求证： AB = AC + CD。 7. 如右图，已知BEAC于 E，CFAB于 F，BE 、CF 相交于点D，若 BD=CD 。 求证： AD平分 BAC 。 O E D A B P O E D A B P 21 O ED A B C C 2 3 1E D A B C 4 E D A BC 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 11 A BC
29、M N P D E F 8.如图，在 ABC 中， BE AC ， AD BC ，AD 、 BE 相交于点P ，AE = BD。 求证： P在 ACB的角平分线上。 【知识点五 】角平分线的做法: 三弧定一点 . 两点作 射线 . 射线平分角 . 母题示例 1. 用尺规作图法作出图1 中各个角的平分线。 2. 如图 : 求作一点P ，使 PC = PD ，并且点 P到 AOB 两边的距离相等。 （用尺规作图） 【知识点六】三角形角平分线的性质定理。 1. 三角形的内心: 内心及性质：三角形三条角平分线相交于一 点，并且这点到三角形三边的距离相等。（也叫三 角形内心 ） 位置： 三角形角平分线的
30、交点一定在三角形 的内部。了解内心与外心的区别。 2. 三角形角平分线的性质定理。三 角形三条角 平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的 距离相等。 3. 三角形等积变形: 意义： 三角形的等积变形是多边形等积变 形的基础。 应知必会： (1) 等底等高的两个三角形面积相等 (2) 两个三角形面积之比，等于它们的底高乘 积之比 (3) 两个等底三角形面积之比，等于它们的高 之比 (4) 两个等高三角形面积之比等于它们的底之 比。 母题示例 1. 已知： 点 P是 ABC的两条角平分线BM 、CN的交 点，求证：A的平分线经过点P，且 PD=PE=PF 。 证明：过点P作 PE BC于 E
31、，PFAC于 F，PD AB 于 D， CN是 ABC的角分线，点P为 CN上一点， PE=_( ) BM是 ABC的角分线，点P 为 BM上一 点， PE=_( ) 2.（1）如图 4，点 P为 ABC三条角平分线交点， PD AB ， PEBC ，PF AC ， 则 PD_PE_PF. P CB A D E B A O B A O O AB 图 C B A D O 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 12 A B C F D E （ 2）如图5，P 是 AOB平分线上任意一点，且 PD=2cm ，若使PE=2cm ，则PE 与
32、OB 的关系是 _. 图 4 图 5 3. 已知：如图在 ABC中，C=90，AD平分 BAC ， 交 BC于 D，若 BC=32 ，BDCD=9 7，求： D 到 AB 边的距离 . 4.一张直角三角形的纸片，如图那 样折叠， 使两个锐角顶点A、B 重 合， 若 DE = DC, 则 A = 5. 已知 : 如图 , ABC的外角 CBDT 和 BCE的角平 分线相交于点F. 求证 : 点 F在 DAE的平分线上 . 6填空： （1） ABC 中， A B C=1 23，最小 边 BC=4 cm，最长边AB= 。 （2）直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其 斜边上的高是。 （3）
33、若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角 形的一个顶点，则此三角形是三角形。 （4）三角形三边分别为a、b、c，且 a 2bc=a(b c)，则这个三角形（按边分类）一定是_ 7. 已知：如图， D是 ABC的 BC边上的中点， DE AC ，DFAB ，垂足分别是E、F，且 DE=DF 。求 证： ABC是等腰三角形。 8. 在 ABC中，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC于点 E，已知 BCE的周长为8，AC BC=2. 求 AB与 BC 的长 . 9. 已知，在 ABC中， AD垂直平分BC ，且 CA = CE ， 点 B、D、C、E在同一条直线上。 求证： AB + DB = DE 10. 等腰三角形的底角为15, 腰上的高为16, 那么 腰长为 _ _ 图 1-36 E D C B A ED A BC E D C A B