初中数学《平行线的证明》超级名师原创导学案(各版本通用-学生、家长、教师必备).pdf

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1、正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 第七章平行线与证明 通关口诀： 定义命题和定理；命题真假是问题。 证明要用真命题；推理过程要清晰。 书写格式有三段；加强训练才能会。 八个公理要熟记；万能公式证明题。 条件结论逆命题；内角外角平行线。 正奇数学学堂 第一讲：推理与证明 【知识点一】为什么要证明 1. 实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手 段。 2. 实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也 可能不正确。 3. 要判断一个数学结论是否正确，仅依靠实 验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证 明。 4. 检验数学结论是否正确的常

2、用方法：实验验 证；推理。 母题示例 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由 （1）小红的数学成绩一向很好，因而后天 的竞赛考试中她必然能获一等奖 （2）因为阴天，所以今天一定会下雨 （3）小李买“天天彩”中了奖大家纷纷 劝说小李最近千万不要再买了，因为“天 天彩”的中奖率是千分之一，他已经中了 一次，最近是不可能中奖的 2. 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其 中某个箱子内，并且 （1）红箱子上写着：“苹果在这个箱子 里. ” （2）黄箱子上写着：“苹果不在这个箱子 里. ” （3）蓝箱子上写着：“苹果不在红箱子 里. ” 已知（ 1） 、 （ 2） 、 （3）中只有一句是真的， 则苹果应

3、在（）. A 红箱子 B黄箱子 C 蓝箱子 D不能确定 3. 已知如图所示的图形是由6 个大小一样 的正方形拼接而成的，此图形折 成正方体？（在横线上填“能”或“不 能”） 4. 当n为整数时， 22 ) 1() 1(nn的值一定 是 4 的倍数吗？ 5. 如图，已知AB=AC ，A=36 ， AB的中垂 线 MN 交 AC于点 D，交 AB于点 M ，下面 4 个结论：（1）射线 BD是ABC的平分线； （2）BCD是等腰三角形； （3）BCD是 等腰三角形； （4）AMD BCD ； （1）判断其中正确的结论是哪几个？ （2）从你认为是正确的结论中选一个加以 说明 【知识点二】定义与命题

4、1. 定义： 对名称和术语的含义加以描述，作出 明确的规定，也就是给出它们的定义。 2. 命题： 判断一件事情的句子，叫做命题。 3. 命题的条件和结论：一般地，每个命题都由 条件和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 由已知事项推出的事项。 4. 命题可以写成“如果- 那么 - ”的形式： 其中如果引出的部分是条件，那么引出的部分是结 论。 5命题有正确的也有错误的。命题改写要熟 练。 母题示例 1. 下列语句中，是命题的是( ). A. 两点确定一条直线吗？ B. 在线段 AB上任取一点

5、C. 作 A的平分线AM D. 两个锐角的和大于直角 2. 下列命题中，属于定义的是( ). A. 两点确定一条直线 B. 同角或等角的余角相等 C. 两直线平行，内错角相等 D. 点到直线的距离是该点到这条直线的 垂线段的长度 3. 命题“两直线平行，内错角相等”中，“两 直线平行”是命题的_， “内错角 相等”是命题的_. 4. 命题“直角都相等”的条件是_， 结论是 _. 5.把下列命题改写成“如果, ，那么 , ” 的形式： (1)平行于同一直线的两条直线平行. (2) 同角的余角相等. (3)绝对值相等的两个数一定相等. 【知识点三】真命题与假命题 1. 定义： 正确的命题称为真命题

6、；错误的命题 称为假命题。 2举反例： 要证明一个命题是假命题，只要 能举出一个例子，使其具备命题的条件，而不具备 命题的结论即可。这样的例子叫反例。 3错误的命题也是命题：命题不一定是正确 的。 母题示例 1. 下列命题中，是真命题的是( ). A. 内错角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 互补的两角必有一条公共边 D. 一个角的补角大于这个角 2. 下列命题中，假命题是( ). A. 垂直于同一条直线的两直线平行 B. 已知直线a、b、c，若 a b，ac，则 bc C. 互补的角是邻补角 D. 邻补角是互补的角 3.判断下列命题是真命题，还是假命题；如 果是假命题，举一个反例.

7、(1)若 a 2b2，则 a b. (2)同位角相等，两直线平行. (3)一个角的余角小于这个角. 4.下列选项中，可以用来证明“若a 21 则 a 1”的反例是（） 。 A.a=-2 B.a=-1 C.a=1 D.a=2 【知识点四】公理、定理、证明 1公理： 选择部分数学名词和部分公认的真 命题作为证明其它命题的出发点和依据，其中的数 学名词称为原名。公认的真命题称为公理。 2定理： 除了公理外，其它命题的真假都需 要经过演绎推理的方法进行判断。演绎推理的过程 称为证明。（认识：并学会使用） 3证明： 已知 已经学过的公理、定义、定理、推论、公式等真命题 结论 正奇数学教育工种室正奇数学立

8、体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 4经过证明的真命题称为定理。 5几何证明的步骤：一画（画图）；二写（写 出已知、求证；三写（写出证明过程）。 6万能公式：证明就是改条件：改条件，变 结论，找接口称为解决数学问题的万能公式。 母题示例 1. 命题“对顶角相等”是( ). A. 角的定义 B.假命题 C. 公理 D.定理 2. 下列命题中是真命题的是（）. A 平行于同一条直线的两条直线平行 B 两直线平行，同旁内角相等 C 两个角相等，这两个角一定是对顶角 D 相等的两个角是平行线所得的内错角 3. 下列语句中不是命题的是（）. A.延长线段 AB B.自

9、然数也是整数 C.两个锐角的和一定是直角 D.同角的余角相等 4. 下列语句中是命题的是（）. A.这个问题 B.这只笔是黑色的 C.一定相等 D.画一条线段 5. 下列命题是假命题的是（）. A.互补的两个角不能都是锐角; B.若 a b，ac，则 bc C.乘积是 1 的两个数互为倒数; D.全等三角形的对应角相等 【知识点五】本书所选的八个公理（无须证明即可 使用）。 1两点确定一条直线。 2两点之间，线段最短。 3同一平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直。 4两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么两直线平行（同位角相等两直线平行）。 5过直线外一点有且只有一条直线与

10、已知直 线平行。 6两边及夹角分别相等的两个三角形全等。 7两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 8三边分别相等的两个三角形全等。 9另外：数与式的运算规律和法则，等式的 有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可作为 证明的依据。 【知识点六】证明的步骤和书写格式。 1大框架：已知（条件）求证（结论） 证明（过程） 2两个符号改条件：（因为：条件）（所 以：结论） 3三段式演绎推理的一般模式。 大前提： 已知的一般原理（公式、定理、定 义写在证明步骤“因为- 所以”后面的括号 里，无特殊要求也可以不写） 小前提： 题目中的特殊情况（已知条件：在 “因为”符号的后面） 结论： 根据一般原理对“

11、特殊情况”作出判 断（在“所以”符号的后面）。 4三要素：大前提；小前提；结论大前 提和小前提正确，则结论一定正确。 5语言模式：一因一果式；多因一果式；一 因多果式 6书写格式：- 小前提- 结论 （-大前提）。但如果没有特殊要求。后面括号 里的大前提可以省略不写。 母题示例 1. 已知命题：两边及其一边上的中线对应相等的两 个三角形全等。 将命题改写为“如果- 那么 - ”的形式， 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 F A B C D E G 图 2 并指出其条件和结论。 用图形语言和符号语言表示这个命题。 证明这个命题是真

12、命题（写证明过程）。 2.求证：如果两角的两边分别垂直，那么这两个 角相等或者互补。 （四边形的内角和为360） 第二讲：平行线与三角形的内、 外角定理的的证明 【知识点一】平行线的判断与性质。 1平行线的判定。 判定公理：同位角相等，两直线平行。 判定定理1：内错角相等，两直线平行。 判定定理2：同旁内角互补，两直线平行。 三种语言：每个定理的文字、符号、图形语 言要熟练掌握。 用途： 用来证明两直线平行。通过平行间接 证明角相等。 推论： 两直线都和第三条直线平行，这两条 直线平行。 2平行线的性质。 公理： 两直线平行，同位角相等。 定理 1：两直线平行，内错角相等。 定理 2：两直线平

13、行，同旁内角互补。 母题示例 1. 如图 1，AB CD ，则下列结论成立的是 ( ). A A+C=180 B A+B=180 C B+C=180 D B+D=180 2. 若两个角的一边在同一条直线上，另一边 互相平行，那么这两个角的关系是( ) A 相等 B互补 C 相等或互补 D相等且互补 3. 如图 2，E、F 分别是 AB、AC上的点， G 是 BC的延长线上一点，且 B=DCG= D，则下列判断错误的是( ). A. ADF= DCG B.A=BCF C. AEF= EBC D . BEF+ EFC=180 4. 如图 3，下列推理正确的是( ). A MA NB ， 1=3 B

14、 2=4，MC ND C 1=3，MA NB D MC ND ， 1=3 5. 如图 4，ab，点 B在直线 b 上，且 AB BC ，1=55，则2 的度数为 ( ). A 35 B45 C 55 D. 125 6. 如图 5，已知 AB CD ，1=65， 2= 45，则 ADC=_ 7如图 6，已知 1=2，BAD=57，则 B=_. A B C D 4 3 2 1 M N 图 3 2 1 A B C a b 图 4 2 3 1 A B C D 图 5 图 1 A B C D 2 1 A B C D 图 6 F A B C D E 图 7 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩

15、游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立，以奇胜。 D C B A 8如图 7，若ABEF，BCDE，则B+ E=_ 9如图 8，由A测B的方向是 _ 10已知：如图，B=C. （1）若 AD BC,求证： AD平分 EAC; (2)若 B+C+ABC=180 ,AD 平分 EAC,求证 AD BC. 11已知：如图， 1=B，A=32 . 求： 2 的度数 12. 如图， B+BCD+ D=360， 求证： 1=2 13. 现有下列命题， 其中 真命题的个数是 （） （-5 ） 2 的平方根是 -5 ； 近似数3.14 10 3 有 3个有效数字； 单项式3x 2y 与单项式 -2xy2 是

16、同类项； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称 图形 A1 B2 C3 D 4 14 如图 , 在梯形 ABCD中,ADBC,D= 120, DCA=20 , 求BCA 和DAC的 度数 . 15如图，A、B之间是一座山，要修一条铁 路通过A、B两地，在A地测得铁路走向 是北偏东5811如果A、B两地同时 开工开隧道，那么在B地按北偏西多少度 施工，才能使铁路隧道在山腹中准确接 通？ A B 20 北 北 图 8 A B C D E 1 2 1 A B C D 2 A B C D E 1 3 2 4 A B C D 北 北 睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。睿待

17、睿其智，德其行。 6 图 1 D A B C 【知识点二】三角形内外角定理。 1三角形内角和定理 定理： 三角形三内角和等于180。 定理的证明：至少掌握两种证明方法。 “推论”： 直角三角形两锐角互为余角。 三角形中最多只有一个钝角。 任意四边形的内角和是360。 掌握“ 459” 、 “ 369”和“ 7236”三角形。 2三角形外角定理 推论的定义：由一个基本事实或定理直接推 出的定理叫做推论。 外角的定义：三角形一边与另一边的反向延 长线形成的角叫做三角形的外角。 两个定理： 三角形一个外角等于不相邻两内角的和。 三角形一个外角大于任何一个不相邻的内 角。 母题示例 1. 已知，如图1

18、，ABC中， B=DAC ，则 BAC和ADC的关系是 ( ). A BAC ADC BBAC= ADC C BAC ADC D 不能确定 2. 对于 ABC ，下列命题中是假命题的为 ( ) . A. 若A+B=C，则 ABC 是直角三角 形 B. 若A+BC，则 ABC 是锐角三角 形 C. 若A+BC，则 ABC 是钝角三角 形 D. 若A=B=C，则 ABC 是斜三角形 3. 在ABC中，已知 A+C=2 B，C A=80 ，则C的度数是 ( ). A 60 B 80 C100 D120 4. 如图 2，A、DOE和BEC的大小关系 是( ). A ADOE BEC B DOE ABE

19、C C BEC DOE A D DOE BEC A 5. 如图 3，B=C，则 ADC 与AEB的关 系是 ( ). A ADC AEB B. ADC= AEB C ADC AEB D 不能确定 6. 在ABC中， ABC=1 23， 则C=_ 7. ABC 中 ， 若 A=30 ， B= 2 1 C ， 则 B=_ ，C=_ 8. ABC中， B=40 ， C=60 ，AD是 A B C D E O 图 2 图 3 A B C D E 睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。睿待 睿其智，德其行。 7 F A B C D E 图 4 A 的平分线，则 DAC 的度数

20、为 _ 9ABC中， C=90 ，CD AB ，B=63 ， 则DCA=_ 10如图 4，点 D在ABC边 BC的延长线上， DE AB于 E，交 AC于 F，B=50 ， CFD=60 ，则 ACB=_ 。 11 已知：如图， AB CD ，AD BC ，1=50， 2=80求C的度数 12. 已知：如图，D是ABC的C 的外角平 分线与 BA的延长线的交点 求证： BAC B 13. 已知：如图，在 ABC 中， BD 、CE是B、 C 的平分线，且相交于点O 求证： BOC=90 + 2 1 A 14. 如图，已知DE BC ，CD是 ACB的平分 线， B70， ACB 50，求 ED

21、C 和 BDC的度数 . A B C DE 15. 如图， AB CD ，EFAB于 O ， 2135 ，求 1 的度数下面提供三个思路： （1）过 F 作 FH AB ， （2）延长 EF交 CD 于 I ； （3）延长 GF交 AB于 K请你利用 三个思路中的两个思路，求1 的度数 16. 如图 , ABC 中 , B= C, 外角 DAC=100 , 求 B、 C的度数 . D C B A 17. 如 图, ABC中, ABC= C=72,BD平分 ABC, 求 ADB的度数 . D CB A 2 1 A B C D D A B C E A B C D E O 睿德教育正奇数学立体通关学

22、案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。睿待 睿其智，德其行。 8 18. 如图 , ABC中 ,A=80, B、 C的角平分线 相交于点O, ACD=30 ,? 求 DOB的度数 . O D CB A 19. 如图 , ABC中, A=90, C的平分线交AB于 D,已知 DCB=2 B.?求 ADC的度数 . D C B A 20. 如图 ,P 是 ABC内的一点 , 连接PB 、PC, 求证 : BPC A. P CB A 21. 如图 ,E 是 BC 延长线上的点 , 1=2. 求证 : BAC B 2 1 E D CB A 22. 如图 , ABC 的两外角平分线交于点P,易证 P=

23、90- 1 2 A; ABC? 两内角的平分线交于点 Q,易证 BQC=90 + 1 2 A;那么 ABC 的内角 平分线 BM与外角平分CM? 的夹角 M=_ A. M Q P C B A 3. 如图，求证： A B C D E180 A B C F DE 23.D 为 ABC的边 AB上一点，且 ADC ACD.求 证： ACB B A DCB 24. 如图， D 在 BC延长线上一点，ABC.ACD平 分线交于E.求证： E 1 2 A A BCD E 睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。睿待 睿其智，德其行。 9 25. 如图， D为 AC上一点， E是

24、BC延长线上一点， 连 BD ，DE.求证： ADB CDE. 26. 如图，P是 ABC 内一点，请用量角器量出ABP. ACP.A和 BPC的大小 ， 再计算一下， ABP ACP A 是多少度？这三个角的和与 BPC 有什么关系？你能用学到的知识来解释其 中的道理吗？你能判断BPC和 A的大小吗？ 把你的 想法与同伴交流，看谁说得更有道 理 A B C P D 27.选一选： 三角形的一个外角等于和它相邻的内角, 则这个 三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B.钝角三角形； C.直角三角形 D.等腰直角三角形 下列叙述正确的是( ) A. 三角形 的外角等于两个内角的和 B.三角形的外角

25、大于内角 C. 三角形 任何两个内角的和都等于第三个角的 外角 D.三角形每一个内角都只有一个外角 下列说法正确的是( ) A.三角形的每一个外角都大于和它相邻的一个 内角 B.三角形的一个外角可以等于和它相邻的一个内 角 C.三角形的外角和等于180 D.三角形中至少有一个外角小于和它相邻的内角 在 ABC中,A、 B的外角分别是120、 150, 则 C=( ) A.120 B.150 C.60 D.90 如图 1, 1=2. 3=4, 则 5 是 1的( ) A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.6倍 5 43 2 1 (1) 6. 三角形的外角都大于和它相邻的内角, 则这个三 角形是 ( )三角形 . A. 锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 28. 如图 , 在 ABC中, B=30, C=65,AEBC 于 E,AD平分 BAC,求 DAE的度数 . E DC B A 29. 如图 , 已知 : A=C.求证 : ADB= CEB. E D C B A