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1、西北工业大学 2005 至 2006 学年第一学期线性代数考试试题 （ 2005.11 ） 一、选择填空、计算填空、回答问题（ 21 分）： 1 设 2 不是方阵的特征值，则齐次线性方程组（ ） (1) 有非零解； (2) 没有非零解； (3) 不能确定是否有非零解 2 设是实对称矩阵，则（ ） (1)的特征值不一定是实数； (2)的特征值一定是正数； (3) 存在可逆矩阵使得为对角矩阵 3 设方阵满足，则（ ） 4 已知线性方程组有两个不同的解向量， 则数的 取 值为 （ ） 5 设为实矩阵，且为对称正定矩阵，则（ ） 6 将矩阵的第 列的倍加到的第 3 列得到矩阵 , 那么，其中矩阵 7
2、设为阶方阵，则为不可逆矩阵的3 个充分必要条件分别是： (1) (2) (3) 二、（ 9 分）计算行列式 三、（ 10 分）设，求矩阵使满足， 其中表示单位矩阵 四、（ 10 分）根据数的取值情况，求向量组 , 的秩和最大无关组 （每种情况求一个最大无关组即可） 五、（ 10 分）设向量组线性无关，令 ， 证明向量组线性无关 六、（ 15 分）设,，讨论取何值时线性方 程 组有解、无解 , 并在有无穷多解时求其通解（要求用向量形式 表示） 七、（ 10 分）在向量空间中 , 基 ( ), , ；基 ( ), , 设在基 ( ) 和基 ( ) 下的坐标分别为，且 (1) 求由基 ( ) 改变为
3、基 ( ) 的过渡矩阵； (2) 求基 ( ) ； (3) 判断是否存在非零向量，使得的坐标满足 八、（ 15 分）已知二次型 经过正交变换 化为 标准形 (1) 求参数的值及所用的正交变换；（要求写出正交变换的矩阵） (2) 求方程的解 西北工业大学 2005-2006 学年第一学期线性代数考试试题答案 一、 1. (2) 2.(3) 3.4.5. 6.7. 二、 三、方程右乘得，即 ，于是。可求得 故 四、 当时，向量组的秩为 2，最大无关组为； 当时，向量组的秩为3，最大无关组为 。 五、设，令，则有 ，即 因为线性无关，所以 ，（ * ） 由此可得，从而，故线性无关。 注 齐次方程组 ( * ) 的系数行列式，由此可得 ( * ) 只有零 解。 证法 2 可导出与等价，从而秩， 也 即线性无关。 六、 当时，方程组有惟一解； 当时，方程组有无穷多解，且通解为 当时，方程组无解。 七、(1) 坐标变换公式为，从而基变换公式为 故由基 ( ) 到基( ) 的过渡矩阵为 (2) 由得 ， (3) 由于，又有，所以，即；但 ，从而，故，即不存在坐标满足的非 零向量。 八、 (1) 二次型的矩阵， （正交）相似于 ，于是 4 ， 0 ， b 是的特征值。利用 解得 于是，。 可求得对应特征值 4 ， 0 ， 9 的 特征向量分别为， 故正交变换的矩阵为 (2) 由得，故