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1、西北工业大学2005 至 2006 学年第二学期线性代数考试试题 （2006.05） 一、填空题（每空3 分） 1已知四阶行列式, 则的第二列元素的代数余子式的 和 2已知是二个三维列向量，则 3设方阵 A满足，则 4已知向量组则该向量组 线性无关的充要条件是 5设，为二阶方阵，且满足则 6已知向量组线性无关，向量组，其中， ，向量空间， 则的维数 7已知阶方阵满足，且，则的一个特征值 是 8 已知二次型是正定的， 问 应满足 二、（ 10分）计算阶行列式 三、（10分） 已知二阶方阵满足， 其中， 是二阶单位矩阵，是的伴随矩阵，求 四、（ 15分）已知线性方程组 问：为何值时， 方程组有唯一
2、解、无解、 无穷多解？在无穷多解时，求通解 五、（ 10分）已知方阵，是的伴随矩阵的一 个特征向量，求的值 六、（ 10分）已知上的二组基： （I ），（II ） （1）求：基（ I ）到基（ II ）的过渡矩阵； （2）问：是否存在非零向量，使在基（I ）下的坐标 x 与基（ II ）下的坐 标满足，其中？若存在，求 七、（15分）设二次型通 过正交变换化为标准形，求参数及所用的正交变换 八、（ 6 分）设分别是、矩阵，且 证明的列向量组与的列向量组等价 西北工业大学 2005-2006 学年第二学期线性代数考试试题答案 一、1. 42. -53. 4.两两互异 5.（任意） 6. 27.
3、-18. 二、 三、由得，由于 ，所以由上式得又由于，所 以可逆，故 四、可求得，于是 1) 当且时，有惟一解； 2) 当时， 可见，无解； 3) 当时， 可见时， 无解；而时， 有无穷多解此时，同解方程组为，通解为 ，即（任意） 五、法 1设，两边左乘得，即 ，也即 当时，解得 法 2当可逆时，与又相同的特征向量于是，设，即 ，也即 解得此时，所以也是的特征向 量 六、(1) 由于，其中 ， 所以 故由基 ( I )到基( II )的过渡矩阵为 （2）坐标变换公式为当时，有， 即由 于 同解方程组为，通解为（任意），故 （任意） 七、(1) 二次型的矩阵，（正交）相似于， 于是是的特征值利用 解得 于是可求得对应特征值的特征向量分别为 ， 将正交化 ， 再单位化得 ， 故正交变换为 八、设，又设 写成矩阵形式得 ， 其中，由于，方程组有解， 故的列向量组可由的列向量组线性表示又由于 方程组有解，故的列向量组可由的列向量组线性表示从而的列 向量组与的列向量组等价