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1、郑州大学 2005级微积分下考试试题A 郑州大学 2005 级微积分 (下)( 理工)试题（ A卷） 一、填空题 （每小题 4 分，共 15 分） 1级数是否收敛？答： _ 2. 函数 z=xcosy, 求全微分_ 3.函数在区间上的 Fourier 级数为,则 =_ 4.=_ 5.曲线处的切线方程为 _ 二、计算题（前 4 题各 6 分，后 4 题各 8 分，共 56 分） 1.计算 2.设函数 z=z(x,y) 由方程确定，求微分 dz 3.计算第一型曲线积分,其中 为抛物线上从点 O(0,0) 到点 A(2,2) 的 一段弧。 4.计算第二型曲线积分取正向 5.计算第一型曲面积分被平面
2、z=1 截下的部分。 6.计算第二型曲面积分 取上侧 7.求幂级数的收敛区间与和函数（要讨论收敛区间端点处的敛散性） 8. 三、（ 10 分） 设函数满足且 求在区域的最大值。 四、（ 10 分） 设 f(x)在（-，）连续可导，且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲 线 五、（9 分）求曲面在点处的切平面与曲面 所围成立体的体积。 郑州大学 2005 级 高等数学（下）理工 课程试题及其参考答案 一填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1级数是否收敛？答： 2.函数求全微分 3函数在区间上的 Fourier 级数为， 则; 4 5曲线，在点处的切线方程为 二 计算题（前 4 题各 6 分，
3、后 4 题各 8 分，共 56 分） 1。计算其中 解： 2设函数由方程确定，求微分 解：方程两边微分，得： ，故。 3 计算第一型曲线积分， 其中 L 为抛物线上从点到点 的一段弧。 解： 4 计算第二型曲线积分， 其中 L 是圆周， 取正向。 解： 5计算曲面积分S 为圆锥面被平面截下的部分。 解：由圆锥面方程，得： 所以 6计算第二型曲面积分其中为上半球面 的上侧。 解：补充辅助平面取下侧。 则由高斯公式： 7求幂级数收敛区间及和函数（要讨论收敛区间端点处的敛、散性） 解：（一）由于所以， 又当时，发散；当时，收敛，收敛域 （二）令，则 ，故 8设有连续的二阶 偏导数，求 ： 三（ 10 分）设函数满足且 求在区域的最大值。 解：（一）由于所以， 又故 令，得 （二）在边界上， 令可得又。 所以，在区域的最大值 3。 四应用题（ 10 分） 设在连续可导，且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线， 都有试证明： 证明：（一）由于 所以即： 亦即 因对任意点若 x=0 ，y 不能为 0，要恒等必须 f (x) -1 =0 可得： 五（9 分）求曲面在点处的切平面与曲面所围 成立体的体积。 解：（一）令则曲面在点的切平面 之法向量为： 所以，切平面的方程为即 （二），消，得：，故切平面与曲面 所围成的立体在面上的投影区域为 (3)