高三数学人教A版理科一轮复习资料(WORD).pdf

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1、第一节集合的概念与运算 1集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系 (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题 2集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义 3集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 (3)能使用 Venn 图表示集合的关系及运算 1集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或

2、?表示 (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法 (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号NN *(或 N ) ZQR 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言记法 基本子集集合 A的 元素都是集合xA? xBA? B 或 B? A 关系B 的元素 真子集 集合 A 是集合 B 的子集， 且集合 B中 至少有一个 元素不属于A A? B，且? x0B，x0 ?A 相等 集合 A， B 的元素完全相 同 A? B，B? AAB 空集 不含 任何元素的集 合空集是任何集合A 的 子集 ? x， x?，? A ? 3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的

3、补集 图形语言 符号语言 AB x|x A，或 x B AB x|xA，且 x B ?UA x|xU，且 x?A 1集合的运算性质 并集的性质： A?A；A AA；ABBA；A BA? B? A. 交集的性质： A?； A AA；ABBA； ABA? A? B. 补集的性质： A(?UA)U；A(?UA)?；?U(?UA)A. 2判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察 (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元 素的特征判断集合关系 (3)数形结合法：利用数轴或Venn图 1(2017 全国卷 )已知集合Ax|x0 ，则 () AAB x x0 x x

4、3， Bx|x2，结合数轴可得：B? A. (2) B? A， 若 B?，则 2m10 时，Ax|10 ，B x|ylg( x1) ，则 (?UA)B () Ax|x2 或 x0，即 x(x2)0，得 x2，故 A x|x2 集合 B 是函 数 ylg(x1)的定义域，由x10，解得 x1，所以 B x|x1 易知 ?UAx|0x 2， 所以 (?UA)Bx|0x2 x|x1 x|10 (0，)，By|yx1 y|y11， )，所以 A(?UB)(0， )( ，1)(0,1) 答案：C 变式练 3 已知 A， B 均为集合U1,3,5,7,9 的子集，且 A B3 ， (?UB)A9 ， 则

5、A() A1,3 B3,7,9 C3,5,9 D3,9 解析：因为 AB3 ，所以 3 A，又(?UB)A9 ，所以 9 A.若 5 A，则 5?B(否则 5 AB)，从而 5 ?UB，则(?UB)A5,9 ，与题中条件矛盾，故5?A.同理 1?A,7?A，故 A 3,9 答案：D 4(2017 洛阳市第一次统一考试)已知全集UR，集合A x|x 23x40 ，Bx| 2x2 ，则如图所表示阴影部分所示的集合为() Ax|2x4 ，因为 ?RA x|1x4 ，题中的阴影部分所 表示的集合为(?RA)B x|1 x2 答案：D 拓展练 5 (2017 江西南昌模拟 )已知集合Mx|x 24x2

6、或 xm2 A? RB， m23 或 m25 或 m0 x|11，则集合Ax|xa 或 x1，利用数轴可知，要使A BR，需要 a 11，则 11， 即 20 即 m9 时， 集合 B有两个元素， 所以 BA， 所以 1 21 m3 ， 1 2 1m， 矛盾，舍去 所以实数m 的值构成的集合为1,9) 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 1理解命题的概念 2了解“若p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相 互关系 3理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. 1四种命题及其关系 (1)四种命题 若原命题为“若p，则 q”，则其逆命题是若q，则 p；否命题是若綈p，

7、则綈 q；逆否命 题是若綈q，则綈 p. (2)四种命题间的关系 2充分条件、必要条件与充要条件 (1)“若 p，则 q”为真命题，记作：p? q，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 (2)如果既有p? q，又有 q? p，记作：p? q，则 p是 q 的充要条件， q 也是 p 的充要条件 1四种命题间的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同 (2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系 2充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p 是 q 的充分条件，则q 是 p 的必要条件 (2)传递性： 若 p 是 q 的充分 (必要 )条件，q

8、 是 r 的充分 (必要 )条件，则 p 是 r 的充分 (必要 ) 条件，即“ p? q，且 q? r”? “p? r”或“ p?q，且 q?r”? “p?r” 1在 ABC 中， “ AB” 是“ sin Asin B” 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：由正弦定理知 a sin A b sin B2R(R 为 ABC 外接圆半径 ) 若 sin Asin B， 则 a 2R b 2R， 即 ab，所以 AB；若 AB，则 ab，所以 2Rsin A2Rsin B，即 sin Asin B，所以 “ AB” 是“ sin Asin B” 成立

9、的充要条件 答案：C 2设 mR，命题“若m0，则方程x 2xm0 有实根”的逆否命题是 () A若方程x 2xm0 有实根，则 m0 B若方程x 2xm 0 有实根，则 m0 C若方程x 2xm 0 没有实根，则 m0 D若方程x 2xm0 没有实根，则 m0 解析：根据逆否命题的定义，命题“若 m0，则方程x 2xm0 有实根 ”的逆否命 题是 “若方程 x 2xm0 没有实根，则 m0” 故选 D. 答案：D 3“ x1” 是“ x 22x0”的 ( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：由 x 22x0，得 x0 或 x1” 是“x22x0”的充

10、分不必要条件， 故选 A. 答案：A 4“在 ABC 中，若 C90 ，则 A， B 都是锐角”的否命题为：_. 解析：原命题的条件：在 ABC 中，C90 ， 结论：A、 B 都是锐角否命题是否定条件和结论 即“ 在 ABC 中，若C90 ，则A， B 不都是锐角 ” 答案：“在 ABC 中，若 C90 ，则 A， B 不都是锐角” 5在命题“若mn，则 m 2n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是 _ 解析：若 m2，n3，则 23，但 2 2 (2) 2，但 3b，则 acbc”的否命题是() A若 ab，则 acbcB若 acbc，则 ab C若 acbc，则 abD若 a

11、b，则 acbc 解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若 ab，则acbc”的 否命题是 “若 ab，则 acbc”，故选 A. 答案：A 2下列命题中为真命题的是() A命题“若x1，则 x 21”的否命题 B命题“若xy，则 x|y|”的逆命题 C命题“若x1，则 x 2x 20”的否命题 D命题“若 1 x 1，则 x1”的逆否命题 解析：对于 A，命题 “若 x1，则 x21”的否命题为 “若 x1，则 x21” ，易知当 x 2 时， x2 41，故为假命题；对于B，命题 “若 xy，则 x|y|”的逆命题为 “若 x|y|， 则 xy”， 分析可知为真命题； 对于 C

12、， 命题 “若 x1， 则 x 2x20”的否命题为 “若 x1， 则 x 2 x20”，易知当 x 2 时， x 2x20，故为假命题；对于 D，命题 “若 1 x1， 则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 1 x 1”，易知为假命题，故选B. 答案：B 3(2017 河北衡水二中模拟)命题“若 x，y 都是偶数，则x y 也是偶数”的逆否命题是 () A若 xy 是偶数，则x 与 y 不都是偶数 B若 xy 是偶数，则x 与 y 都不是偶数 C若 xy 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数 D若 xy 不是偶数，则x 与 y 都不是偶数 解析：将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命

13、题，因此 “若 x，y 都是 偶数，则 x y 也是偶数 ”的逆否命题是 “若 xy 不是偶数，则x，y 不都是偶数 ”，所以选 C. 答案：C 四种命题的关系及真假判断 (1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条 件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性 (2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二 是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断. 考向二充分必要条件的判定互动讲练型 (1)(2017天津卷 )设 xR，则“ 2x0”是“ |x1| 1”的 () A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不

14、充分也不必要条件 (2)(2017浙江卷 )已知等差数列 an的公差为d， 前 n 项和为 Sn， 则“ d0” 是“ S4S62S5” 的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 解析：(1)由 2x 0， 得 x2； 由|x1|1， 得 1x1 1， 即 0x2， 因为 0,2 ，2，所以 “2 x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件 (2)法一： S4S62S5等价于 (S6S5)(S4S5)0，等价于a6a50，等价于d0. 法二： Sn na1 1 2n(n 1)d， S 4S62S54a16d6a1 15d2(5a1 10d) d，即S4

15、S62S5等价于 d0. 答案：(1)B(2)C 充分、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断“若 p，则 q”，“ 若 q，则 p”的真假 (如本例 (1) (2)集合法：若 A? B，则“x A”是“x B”的充分条件或 “x B”是“ x A” 的必要条件； 若 AB，则 “x A”是 “x B”的充要条件 (如本例 (2) (3)等价转化法： 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假(如 跟踪训练3). 跟踪训练 1(2017 兰州市高考实战模拟)设向量 a(x1，x)，b(x2，x4)，则“ ab”是“ x 2”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充

16、要条件D既不充分也不必要条件 解析：a (x1，x)，b(x2，x 4)，若 a b，则 a b0，即 (x1)(x2)x(x4) 0，解得 x2 或 x 1 2， x2? a b，反之 a b? x2 或 x 1 2， “a b”是“x2”的 必要不充分条件 答案：B 2设 p：x 2x200，q：log 2(x5)0， x5 或 x5 或 x5 或 x3，即 m2. 答案：(2， ) 根据充要条件求解参数范围的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后 根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解 (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端

17、点值的检验，尤其是利用两个集合之间的 关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍(如本例 )，处理不当 容易出现漏解或增解的现象. 同类练 1已知不等式|xm| 1 2 或 m10 的必要条件？ 解析：欲使2x m0 的必要条件，则只要x|x3 ? x x0 的必要条件 拓展练 3已知命题p：x 2 2x30；命题 q：xa，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是() A1， ) B( ，1 C1， ) D( ， 3 解析：由 x22x 30，得 x1，由 綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知 綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于q 是 p

18、 的充分不必要条件故a1. 答案：A 微专题系列思想方法 等价转化思想在充要条件中的应用 等价转化是一种重要的数学思想，体现了“把未知问题化归到已有知识范围内可 解”的求解策略，对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一 个等价命题都能提供一个解题思路 设 p：|4x3|1；q：a xa1，若綈p 是綈 q 的必要不充分条件，则实数a 的 取值范围是 () A. 0， 1 2 B 0， 1 2 C(， 0 1 2， D(， 0) 1 2， 解析：设 Ax|4x3|1， 则 A x 1 2x1 ， Bx|axa1 由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，从而p 是 q 的充分

19、不必要条件，即AB， a 1 2， a11 或 a2，则 a 24，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个 数是 () A0 B1 C2 D3 解析：原命题显然是真命题，其逆命题为“若 a 24，则 a2”，显然是假命题，由互 为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题 答案：B 3 (2017 北京卷 )设 m， n 为非零向量，则“存在负数 ， 使得 m n”是“ m n0，b0 成立的一个必要不充分条件是() Aab0 Ba b0 Cab1 D a b1 解析：因为 a0，b0? ab0，反之不成立， 而由 a0，b0 不能推出 ab0，ab1， a b1. 答案：

20、A 5下列说法正确的是() A命题“若x 21，则 x1”的否命题是“若 x21，则 x1” B“ x 1”是“ x 2x2 0”的必要不充分条件 C命题“若xy，则 sin xsin y”的逆否命题是真命题 D“ tan x1”是“ x 4”的充分不必要条件 解析：由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若 x21，则 x1”，即 A 不正确；因为x 2x2 0? x 1 或 x2，所以由 “x 1”能推出 “ x2 x20” ，反 之，由“x 2x20”推不出 “x 1”，所以 “x 1” 是“x2x20”的充分不必要 条件，即B 不正确；因为由xy 能推得 sin xsin y，即原

21、命题是真命题，所以它的逆否命 题是真命题，故C 正确；由x 4能推得 tan x 1，但由 tan x1 推不出 x 4，所以 “ x 4” 是“tan x1”的充分不必要条件，即D 不正确 答案：C 6已知p(x)：x 22xm0，若 p(1)是假命题， p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围为 _ 解析：因为 p(1)是假命题，所以1 2m0，解得 m3；又 p(2)是真命题，所以4 4m0，解得 mb，则 a2b2”的否命题； “若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； “若 x21” 是 “ x1 得 x1 或 x1 或 x2，即 a4，则 a2，则 q：(x2)(xa)3(x

22、m)是 q： x2 3x4m3，q 对应的集合B x|40? b 24ac0? 二次方程 ax2bxc0 有实根 4已知 p：x 27x 120， q：(xa)(xa1)0. (1)是否存在实数a，使綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，若存在，求实数a 的取值范围； 若不存在，请说明理由； (2)是否存在实数a，使 p 是 q 的充要条件，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理 由 解析：因为 p：3x 4， q：axa1. (1)因为 綈 p 是綈 q 的充分不必要条件， 所以 綈 p? 綈 q，且 綈 q? / 綈 p， 所以 q? p，且 p? / q， 即 q 是 p 的充分不必要条

23、件， 故 x|axax|3x4 ， 所以 a3， a14 或 a3， a10”的否定是 ( ) A? xR，x 2x1 0 B? x R， x2 x10 C? x0R，x 2 0x0 10 D? x0R，x2 0x010 解析：依题意得，命题“? x0 R，x 2 0x010”的否定是 “ ? x R，x 2x10”， 选 A. 答案：A 2下列命题中为真命题的是() A? xR，x 20 B? x R， 10， 故 C 错 答案：D 3命题 p：? xR，sin x1；命题 q：? xR，cos x 1，则下列结论是真命题的是 () ApqB綈 pq Cp綈 qD綈 p綈 q 解析：p 是假

24、命题， q 是真命题，所以B 正确 答案：B 4 命 题 “ 所 有 可 以 被5整 除 的 整 数 ， 末 位 数 字 都 是0” 的 否 定 为 _ 答案：“有些可以被5 整除的整数，末位数字不是0” 5已知命题p：x 24x3 0，q：xZ，且“ p q”与“綈 q”同时为假命题，则x _. 解析：若 p 为真，则x1 或 x3， 因为 “綈 q”为假，则q 为真，即x Z， 又因为 “p q”为假，所以p 为假， 故 30，总有 (x1)e x1，则非 p 为( ) A? x00，使得 (x01)ex00 B? x00，使得 (x01)ex01 C? x0，总有 (x 1)e x 1

25、D? x0，总有 (x1)e x1 解析：命题 p 为全称命题，所以非p：? x00，使得 (x01)ex01. 答案：B 2已知 a0，函数 f(x) ax 2bxc，若 m 满足关于 x 的方程 2axb0，则下列选项中 的命题为真命题的是() A? x0R， f(x0)f(m) C? xR，f(x0)f(m) D? xR，f(x)f(m) 解析：由 2amb0，得 m b 2a， 又 a0， f(m)是函数 f(x)的最小值， 即? x R，有 f(x)f(m)，故选 D. 答案：D 3若命题“ ? xR，使得 sin xcos xm”是真命题，则m 的值可以是 () A 1 3 B1

26、C. 3 2 D 2 3 解析： sin xcos x1 2sin 2x 1 2， 1 2 ， m0 恒成立，? x R，x 2x1 0 成立故命题 p 为真 q：a 20， ab0， 解得 ab， ab， 故命题 q 为假，从而 綈 q 为真 p 綈 q为真，故选B. 答案：(1)A(2)B 判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 跟踪训练 1(2017 福建龙岩二模 )已知命题p：? x2，x 24，命题 q：? xR，cos xex，则下 列命题中为假命题的是() ApqBp q C綈 pqD綈 p綈 q 解析：命题 p：? x 2，x24，是假命题，例如取 x0 时，不成立命题q：? x R

27、， cos x e x，如图所示，是真命题 (或取 x0 即可判断出真假)，则下列命题中为假命题的是p q.故选 B. 答案：B 2(2017 山东青岛模拟)已知命题p：? x0R，使 tan x01，命题 q：x 23x 20，若 pq 为假命题，则实 数 m 的取值范围为() Am2 Bm 2 Cm 2 或 m2 D 2m2 解析：依题意知p， q 均为假命题，当p 是假命题时， mx210 恒成立，则有m 0； 当 q 是真命题时，则有 m 241(a0， a1)的解集是 x|x1(a0， a1)的解集为 x|x0 的解集 为 R， 则 a0， 14a 21 2. 因为 p q 为真命题

28、， p q 为假命题， 所以 p 和 q 一真一假，即“p 假 q 真” 或“p 真 q 假”， 故 a0或a1， a1 2 或 00，对一切 xR 恒成立；命题 q：函数 f(x)(3 2a)x是增函数，若p 或 q 为真， p 且 q 为假，则实数a 的取值范围为 _ 解析：p 为真： 4a2161，解得 a0 Cp 是真命题，綈p：? xR，log2(3 x1)0 Dp 是真命题，綈p：? xR，log2(3 x1)0 解析：因为 3x11，所以 log2(3x1)0 恒成立， 则命题 p 是假命题； 又綈 p：? x R， log2(3 x1)0. 答案：B 3 (2017 江西红色七

29、校联考)已知函数f(x) 3 x，x0，当 m0，由题意知， 其为真命题，则 (a 1) 2421 2x 1”，则命题p 是_ 解析：因为 p 是綈 p 的否定， 所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可 答案：? x0(0， )，x0x01 7命题“ ? xR，? mZ，m 2mlg x0；命题 q： ? xR， x 2 x1lg 10 成立，故命题p 为真命题；对于命题 q，方程 x 2x10，即 x2x10， 14 14， 故 m4， 故存在 m0， 使得命题q 成立，故命题q 为真命题所以p q 为真命题， p q 为假命题， 綈 p 为真命题 10已知命题p：存在一个实数x，

30、使 ax 2ax 10，当 aA 时，非 p 为真命题，求 集合 A. 解析：非 p 为真，即 “? x R，ax 2ax10”为真 若 a0，则 10 成立，即a0 时非 p 为真； 若 a0，则非 p 为真 ? a0， a 24a0 ? 0 a4. 综上知，所求集合A a|0a4 1(2017 广东深圳三校联考)已知命题p：不等式ax 2ax10 的解集为 R，则实数a (0,4)，命题 q：“ x22x80”是 “ x5” 的必要不充分条件，则下列命题正确的是() ApqBp (綈 q) C(綈 p)(綈 q) D(綈 p)q 解析：命题 p： a0 时，可得 10 恒成立；a 0 时，

31、可得 a0， a 24a0 解得 x4 或 x0”是“ x5” 的必要不充分条 件，是真命题故(綈 p) q 是真命题 答案：D 2(2017 湖北黄冈二模)下列四个结论： 若 x0，则 xsin x 恒成立； 命题“若xsin x0，则 x0”的逆否命题为“若x0，则 xsin x0”； “命题pq 为真”是“命题pq 为真”的充分不必要条件； 命题“ ? xR，xln x0”的否定是“ ? x0R，x0ln x00 时， xsin x000，即当 x0 时， xsin x 恒成立，故正确； 对于， 命题 “若 xsin x 0，则 x0”的逆否命题为“若 x0，则 xsin x0”，故 正

32、确； 对于，命题p q 为真即 p，q 中至少有一个为真，p q 为真即 p，q 都为真，可知“p q 为真 ”是“ p q 为真 ”的充分不必要条件，故正确； 对于，命题“? x R，xln x0”的否定为 “? x0 R，x0ln x00”，故错误 综上，正确结论的个数为3，故选 C. 答案：C 3已知命题p：“存在 a0，使函数f(x)ax 24x 在(， 2上单调递减”，命题 q： “存在 a R，使 ? xR, 16x216(a1)x 10”若命题“p q”为真命题，求实数a 的 取值范围 解析：若 p 为真，则对称轴x 4 2a 2 a在区间 (，2的右侧，即 2 a2. 00，若

33、 r 是綈 t 的 必要不充分条件，求正整数m 的值 解析：(1)若 p 为真，则 3a 9，得 a2. 若 q 为真，则函数f(x)无极值点， f(x) x 23(3a)x90 恒成立， 得 9(3a) 2490，解得 1a5. “p q”为假命题， “p q”为真命题， p 与 q 只有一个命题是真命题 若 p 为真命题， q 为假命题，则 a2， a5 ? a2， 1a5 ? 20， (am) a m1 2 0， am 1 2， 即 t：am 1 2，从而 綈 t：mam 1 2， r 是綈 t 的必要不充分条件，綈 t? r，r? /綈 t， m1， m 1 22 (两个不等式不能同时

34、取等号)， 解得 1m 3 2，又m N *， m1. 第二章函数概念与基本初等函数教师用书 第一节函数及其表示 1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数 3了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段). 1函数与映射的概念 函数映射 两集合 A、B 设 A，B 是两个非空数集设 A， B 是两个非空集合 对应关系f：AB 如果按照某种确定的对应关系 f， 使对于集合A 中的任意一个 数 x，在集合B 中都有唯一确 定的数 f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系

35、f， 使对于集合A 中的任意一个 元素 x，在集合B 中都有唯一 确定的元素y 与之对应 名称 称 f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数 称对应 f：AB 为从集合A 到 集合 B的一个映射 记法yf(x)(xA)对应 f：AB 是一个映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 yf(x)，xA 中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B 的子集 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系 (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函

36、数相等，这是判 断两函数相等的依据 (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法 3分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函 数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数 1函数的三种表示法的优缺点 优点缺点 解析法简明扼要，规范准确 1.有些变量与函数关系很难或不能用解 析式表示； 2求 x 与 y 的对应关系时需逐个计算， 比较繁杂 列表法 能鲜明地显示自变量与函数值之间的数 量关系 1.只能表示有限个元素的函数关系； 2元素较多时使用不方便 图象法 形象直观，能清晰地呈现函数的增减变 化、点的对称关系、

37、最大(小)值等 作出的图象是近似的、局部的，且根据 图象确定的函数值往往有误差 2.求函数值域的六种基本方法 (1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域 (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域 (3)换元法：形如yaxb cxd(a，b，c，d 均为常数，且a0)的函数常用换元法求 值域，形如yaxabx 2的函数用三角函数代换求值域 (4)分离常数法：形如y cxd axb(a0)的函数可用此法求值域 (5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增 减性进而求最值和值域 (6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域 1函

38、数 y lg x1 x1 的定义域是 () A(1， ) B1， ) C(1,1)(1， ) D1,1)(1， ) 解析：由题意得 x10， x1 0， 所以 x 1， x1， 选 C. 答案：C 2下列图形可以表示为以Mx|0x1为定义域，以N y|0y1 为值域的函数 的是 () 解析：A 选项，函数定义域为M，但值域不是N，B 选项，函数定义域不是M，值域 为 N，D 选项，集合M 中存在 x 与集合 N 中的两个y 对应，不构成函数关系 答案：C 3如果 f 1 x x 1x，则当 x0 且 x1 时， f(x)等于 ( ) A. 1 x B 1 x1 C. 1 1x D 1 x 1

39、解析：由 f 1 x x 1x ，知 x0 且 x1， 令 1 xt，得 x 1 t (t0 且 t1)， f(t) 1 t 1 1 t 1 t1 (t0 且 t 1)， f(x) 1 x1 (x0 且 x1) 答案：B 4设函数f(x) x， x0， x，x0， 解得 x 3.所以函数f(x)x3 log3x 的定义域是 3， ) 答案：C 2如果函数f(x)ln(2xa)的定义域为 (， 1)，那么实数a 的值为 () A 2 B 1 C1 D2 解析：因为 2xa0，所以 x0 ? 3 2x 3 01， f(a)a，f(a1)2(a 11)2a. 由 f(a) f(a1)得a 2a， a

40、 1 4. 此时 f 1 a f(4)2(4 1)6. 当 a1 时， a11， f(a)2(a1)， f(a1)2(a11) 2a. 由 f(a) f(a1)得 2(a1)2a，无解 综上， f 1 a 6. 答案：C 方向 2分段函数的方程、不等式问题 (2017 全国卷 )设函数 f(x) x1，x0， 2 x，x0， 则满足 f(x)f x 1 2 1 的 x 的取值 范围是 _ 解析：由题意知，可对不等式分x 0,0x 1 2，x 1 2三段讨论 当 x0 时，原不等式为x1x 1 21，解得 x 1 4， 1 4x 0. 当 0x1 2时，原不等式为 2 xx1 21，显然成立 当

41、 x 1 2时，原不等式为 2 x2x1 21，显然成立 综上可知， x 1 4. 答案： 1 4， 分段函数题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解 (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 的自变量的取值范围 跟踪训练 1(2017 安徽江南十校联考)已知函数f(x) 2 x1，x1， tan 3x ，x1， 则 f 1 f 2 () A3 B 3 3 C. 3 3 D3 解析： f(x) 2 x1，x1， tan 3x ， x1， f(

42、2)2 212， f 1 f 2 f 1 2 tan 6 3 3 . 答案：C 2已知 f(x) log3x，x0， a xb， x0， 且 f(0)2，f( 1)3，则 f(f(3)() A 2 B2 C3 D 3 解析：由题意得f(0) a0b1b2，解得 b1； f(1)a 1ba113， 解得 a 1 2. 故 f( 3) 1 2 3 19， 从而 f(f(3)f(9)log392. 答案：B 3设函数f(x) 2 1x，x1， 1log2x，x1， 则满足 f(x)2 的取值范围是() A1,2) B0,2 C1， ) D0， ) 解析：当 x1 时， 2 1x2，解得 x0. 又因

43、为 x1，所以 0x1； 当 x1 时， 1log2x2，解得 x 1 2. 又因为 x1，所以 x1. 故 x 的取值范围是 0， ) 答案：D 微专题系列思想方法 新定义下的函数问题 (2017 山东卷 )若函数 e xf(x)(e2.718 28是自然对数的底数 )在 f(x)的定义域上单调 递增，则称函数f(x)具有 M 性质下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为_ f(x)2 x； f(x)3x； f(x)x3； f(x)x22. 解析：对于， f(x)的定义域为 (，)， ex f(x)ex 2x e 2 x，函数y e 2 x 在( ， )上单调递增，符合题意 对于， f(x)

44、的定义域为 (， )，e x f(x)ex 3x e 3 x，函数 y e 3 x 在( ， )上单调递减，不符合题意 对于， f(x)的定义域为 (， )， e x f(x) ex x3， 令 y ex x3， 则 y (ex x3)ex x2(x 3)，当 x ( ， 3)时， y0，函数 y ex(x22)在( ， )上单调递增，符合题意 符合题意的为 . 答案： (1)解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题 求解如本例通过对M 函数的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件 (2)函数新定义问题主要包括两类：一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此 类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深