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1、高等代数期中考试试题 一填空题（每小题 4 分，共 40 分）。 1. 设是上的线性变换，, 则下的矩阵为 2. 设的线性变换，其中 R 是实数域， ， 3已知中线性变换在基 矩阵为则在基下的矩阵为 4. 已知矩阵，则 A 的特征值为 -1 , 5 对应的特征向量分别为， ，；，. 5. 已知矩阵可对角化，则 k= . 6已知三级矩阵A 的三个特征值为 1，2，3，则的行列式 = . 7已知矩阵 A 的特征矩阵与矩阵等价，则 的标准形及 A 的 Jordan 标准形分别为 ， . 8已知矩阵 A 的 Jordan 标准形为，则 A 的有理标准形为 9设的特征多项式为，写出 A 的所有可能的 J
2、ordan 标 准形。 10设矩阵 A的特征多项式为 ，则A可逆，的特征多项 式为。 二（10 分）设 V 是数域 P 上的 4 维线性空间，是 V 上的线性变换，在基 下的矩阵，试求含的最小不变子空间 . 三（ 10 分）设是 n 维线性空间 V 上的线性变换，证明： 维维n 即, 的秩+的零度 =n 四.（15 分）求矩阵的 Jordan 标准形及 A 的最小多项式。 五（ 15 分）设 3 维线性空间 V 上线性变换在基下的矩阵 ，记 L（V）为 V 上线性变换全体，. 1）证明：是 L(V)的子空间； 2）求的一组基和维数 . 六(10 分) 设 A，B 为 n 级实矩阵，证明：若A，
3、B 在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。 参考答案 一填空题（每小题 4 分，共 40 分）。 1. 设是上的线性变换，, 则下的矩阵为 2. 设的线性变换，其中 R 是实数域， ， 3已知中线性变换在基 矩阵为则在基下的矩阵为 4. 已知矩阵，则 A 的特征值为 -1 , 5 对应的特征向量分别为， ，不同时为零且 ；，. 5. 已知矩阵可对角化，则 k= 1 . 6已知三级矩阵A 的三个特征值为 1，2，3，则的行列式 = 100 . 7已知矩阵 A 的特征矩阵与矩阵等价，则 的标准形及 A 的 Jordan 标准形分别为 ， . 8已知矩阵 A 的 Jordan 标准形为，则 A
4、 的有理标准形为 9设的特征多项式为，写出 A 的所有可能的 Jordan 标 准形。 10设矩阵 A 的特征多项式为，则 A 可逆，的特征多项 式为。 二（10 分）设 V 是数域 P 上的 4 维线性空间，是 V 上的线性变换，在基 下的矩阵，试求含的最小不变子空间 . 解：由题意可知， 设含的最小不变子空间 .为 W，则，因为W 是-不变子空间，则 ，由可知，即，所以，由 ，可知，即，而所以。 ，再由的最小性可知，因此， 证毕。 三（ 10 分）设是 n 维线性空间 V 上的线性变换，证明： 维维n 即, 的秩+的零度 =n 证明：见书中定理。 四.（15 分）求矩阵的 Jordan 标
5、准形及 A 的最小多项式。 解 所以A的不变因子为，。A的初等因子为，。 所以矩阵A的 Jordan 标准形为：。 A的最小多项式是A的最后一个不变因子，所以是A的最小多项式。 五（ 15 分）设 3 维线性空间 V上线性变换 在基下的矩阵 ，记 L（V）为 V 上线性变换全体，. 1）证明：是 L(V)的子空间； 2）求的一组基和维数 . 证明：1） 0， ， 即， ，所以为的 子空间。 3）设在下的矩阵为 B，则AB=BA。 =所以 =即， ，即=0 ，即 =，所以的一 组基为，其中， ， 的维数是 3。 六(10 分) 设 A，B 为 n 级实矩阵，证明：若A，B 在复数域上相似，则A，B 在实数域上也相似。 证明：由于 A，B 在复数域上相似，所以它们有相同的初等因子，因此它们有相 同的不变因子， 又因为 A,B 是实系数矩阵， 它的不变因子为实系数多项式，所以 在实数域上，不变因子相同，两矩阵相似。