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1、合肥工业大学2007 年复变函数与积分变换期末考试试题A 合肥工业大学2007 年复变函数与积分变换试卷 一、填空题（本小题共5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） （1）已知函数是解析函数，则 ， . （2）设的 Taylor 级数为，则该级数的 收敛半径为 . （3）已知，则 . （4）计算 . （5） 设则 . 二、选择题（本小题共5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） （1）下列说法正确的是（） （A）若在区域内可导，则在区域内解析。 （B）若在点解析，则在区域内可导。 （C）若在点连续，则在点可导。 （D）若在点可导，则在点解析。 （2）将平面上的曲线映射成平面上的图形为（）
2、 （A）。（B）。（C）。（D）。 （3）设为正向圆周，则积分（） （A）（B）（C ）（D） （4）级数（） （A）敛散性不定。（B）发散。（C）条件收敛。（D）绝对 收敛。 （5）是函数的（） （A）非孤立奇点。（B）可去奇点。（C）一级极点。（D ）本 性奇点。 三、（ 12 分）验证在右半平面内是调和函数，并求以此为虚部 的解析函数，且使. 四、计算下列各题（本小题共6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） （1）； （2），其中，取正向； （3），其中，取正向； （4），其中，取正向； （5），其中，取正向； （6）。 五、（ 12 分）将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数： （
3、1）；（2）；（3） 六、（ 12 分）用积分变换解微分方程，. 七、（ 4 分）设在上解析，且，证明 . 合肥工业大学2007 年复变函数与积分变换试题解答 一、（1） -3 ， 1， -3；（2）； （3）；（4） （5）. 二、（ 1）A；（2）D ；（3）C；（4）B；（5）C. 三、 由方程， 又，故有 ，. 所以， 由得，所以. 四、（ 1）原式 （2）因为在上及内部解析，由Cauchy-Coursat基本定理，原式 =0. （3）原式 （4）原式 （5）原式 （6）令，则 原式 记，则 Res, Res 原积分. 五、. （1）在内， （2）在内， （3）在内， 六、记，对方程两边取Laplace 变换， 解得 七、设曲线，取正向。由导数公式， 因为所以